河北省容城县雄安容西容兴高级中学等校2025-2026学年高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河北省雄安容西容兴高级中学等校高二（下）月考数学试卷（3月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.下列求导正确的是（）A.（-2）′=-1 B.（x3-sin2x）′=3x2-cos2x

C. D.2.已知函数，则f（-1）=（）A. B. C. D.3.设函数f（x）在定义域内可导，f（x）的图象如图所示，则其导函数f′（x）的图象可能是（）

A. B.

C. D.4.已知函数f（x）=ex-alnx在区间（2，3）上单调递增，则a的最大值为（）A.2e2 B.3e3 C. D.5.函数的部分图象大致是（）A. B.

C. D.6.已知P为抛物线y=x2-4x上一点，且该抛物线在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为（）A.[2，3] B. C.[4，5] D.7.已知x=0是函数的极大值点，则实数a=（）A.-2 B. C.-1 D.8.路边有一块区域，经过整理可以建一个花圃△ABC以供欣赏，其中三角形各顶点在同一条曲线上.如图，园艺师通过测量可知三角形各顶点分别为，，，其中t≥1，则△ABC的面积的最大值为（）A.

B.

C.

D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.若函数f（x）在区间[a,b]上连续，且∀x1∈[a,b]，x2∈[a,b]，x1≠x2，有，则称函数f（x）在[a,b]上是“下凸函数”，记f″（x）为导函数f′（x）的导函数，如f（x）=-x3，则f′（x）=-3x2，f″（x）=-6x.性质：若f″（x）＜0在给定的区间上恒成立，则函数f（x）在给定的区间内的“下凸函数”.下列选项中所给的函数在给定定义域内的“下凸函数”的有（）A.g（x）=log3x（x＞0） B.

C.g（x）=-e-x-3x（x∈R） D.g（x）=3cosx+2x2（x∈R）10.已知函数，若f（x）=a有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1f（x1）+x2f（x2）+x3f（x3）的值可能为（）A.-1 B.0 C. D.11.已知函数，，，，则（）A.a＜b B.b＞c C.g（a）＜g（b） D.g（b）＞g（c）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.放射性同位素技术已经在医学上取得了广泛的应用.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系式，其中N0为t=0时钍234的含量.已知t=24时，钍234含量的瞬时变化率为-4ln2，则N（72）=

.13.若曲线y=lnx+2与曲线y=ln（x+a）有相同的切线，则a=

.14.已知函数在（a,11-a2）上有最大值，则a的取值范围是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

2026年2月6日至22日冬奥会在意大利举办，某高山滑雪运动员在冬奥会期间的一次滑雪比赛中滑行的路程S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为

（1）求该运动员从1s到3s时滑雪的平均速度；

（2）求该运动员在t=5s时滑雪的瞬时速度；

（3）当该运动员的滑雪路程为90m时，求此时的滑雪速度.16.(本小题15分)

已知函数.

（1）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）讨论函数f（x）的单调性.17.(本小题15分)

我国将深化“人工智能+”行动，“十五五”末人工智能相关产业规模将增长到10万亿元以上.某“人工智能+”设备的能量转换值f（t）关于运行时间t（单位：s）的函数解析式为f（t）=3t2-lnt+at+1，a为常数.

（1）当a=1，且设备运行时间时，求能量转换值f（t）的最小值与最大值；

（2）若运行时间，能量转换值f（t）随着t的增大而增大，求a的取值范围.18.(本小题17分)

已知定义在（0，+∞）上的函数.

（1）求函数的最大值；

（2）若对于任意的x∈（0，+∞），f（x）≥lnx+ax恒成立，求整数a的最大值.19.(本小题17分)

已知函数.

（1）当a=-2时，判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性.

（2）设函数f（x）存在两个极值点x1，x2.

（ⅰ）求a的取值范围；

（ⅱ）证明：.

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】BC

11.【答案】ACD

12.【答案】24

13.【答案】4

14.【答案】（-3，2）

15.【答案】10m/s

23m/s

27m/s

16.【答案】4x-y+1=0

当a=1时，f（x）在R上单调递增；当a＞1时，f（x）在（-∞，-2a）和（-2，+∞）上单调递增，在（-2a，-2）上单调递减；当a＜1时，f（x）在（-∞，-2）和（-2a，+∞）上单调递增，在（-2，-2a）上单调递减

17.【答案】解：（1）当a=1时，f（t）=3t2-lnt+t+1，，

当时，f′（t）＜0，函数单调递减，当时，f′（t）＞0，函数单调递增，

而，f（4）=53-ln4，易知，

又，所以，f（t）max=53-ln4．

（2）由f（t）在上单调递增，得，对恒成立，

所以6t2+at-1≥0，可得，

令，得，

则g（t）在上单调递减，

则g（t）max=g（）=，所以，

故a的取值范围为．

18.【答案】解：（1）由已知得，

求导得g′（x）==，

当时，令g′（x）＞0，解得；

令g′（x）＜0，解得；

可知函数g（x）在上单调递增，在上单调递减，

则；

当时，

，

所以；

（2）因为对于任意的x∈（0，+∞），f（x）≥lnx+ax恒成立，

即对于任意x∈（0，+∞），恒成立，

设，

则，

令φ（x）=（x-1）ex-2-2+2lnx（x＞0），

则恒成立，

可知φ（x）在（0，+∞）上单调递增．且φ（1）=-2＜0，φ（2）=2ln2-1=ln4-1＞0，

则存在x0∈（1，2），使得，

即，

当0＜x＜x0时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0；

当x＞x0时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0；

可得h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

则=，

设，

可知p（x）在（1，2）上单调递增．

且，p（2）=0，即，

则，

又因为a≤p（x0），且，

所以整数a的最大值为-1．

19.【答案】在[1，+∞）上单调递增

（ⅰ）；（ⅱ）证明如下，

根据题意得，x1，x2是方程的两个不等实根，

根据（ⅰ）可知，，t1，t2是方程的两个不等实根，同样令，根据g（1）=0，可得1＜t1＜e＜t2．

要证，需证t1+t2＞2e，令函数h（t）=g（t）-g（2e-t），t∈（1，e），

那么函数．

令φ（t）=（2e-t）lnt-tln（2e-t），