湖南省岳阳市汨罗市第二中学2025-2026学年高二上学期开学数学试卷（含解析）

湖南省汨罗市第二中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数满足（其中i为虚数单位）,则z的虚部是()A. B. C. D.2．设a,,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3．从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球,下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是()A.都是蓝球 B.都是黄球 C.恰有一个蓝球 D.至少有一个蓝球4．已知向量,,满足,则()A. B. C.20 D.55．已知,,若,则实数m的值为()A. B. C.3 D.26．如图,已知四棱锥,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱长相等且为4,E为CD的中点,则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为(

)A. B. C. D.7．在如图所示的电路中,5个盒子表示保险匣,盒子中所示数值表示通电时保险丝熔断的概率,则下列结论正确的是(

)A.A,B两个盒子并联后FG段畅通的概率为B.D,E两个盒子串联后GH段畅通的概率为C.C,D,E三个盒子混联后GK段畅通的概率为D.当开关合上时,整个电路畅通的概率大于整个电路不通的概率8．在中,M为BC上一点且满足,,,若,则的外接圆半径为(

)A. B. C.1 D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．如图,在正方体中,P为线段的中点,Q为线段上的动点（不包括端点）,则(

)A.存在点Q,使得 B.存在点Q,使得平面C.三棱锥的体积是定值 D.二面角的余弦值为10．把函数的图象向右平移个单位长度,得到的函数是一个奇函数,则下列说法正确的是(

)A.的最小正周期为B.C.当时,的值域为D.若方程在区间上恰有六个不等实根,则实数m的取值范围为11．已知正四棱台（上下底面都是正方形的四棱台）.下底面ABCD边长为2,上底面边长为1,侧棱长为,则(

)A.它的表面积为B.它的外接球的表面积为C.侧棱与下底面所成的角为60°D.它的体积比棱长为的正方体的体积大三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若事件A和B互斥,且,,则________.13．如图1是古希腊数学家阿基米德的墓碑图文,碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个球,圆柱的底面直径和高都等于这个球的直径,相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现.如图2是这个图形的示意图,那么图2中圆锥与球的表面积的比值为________.14．如图,在四边形中,的面积为,记的面积为,,设,,若存在常数,使成立,则的值为________________四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）甲袋子中装有2个红球、1个白球,乙袋子中装有1个红球、2个白球（袋子不透明,球除颜色外完全一样）.（1）现从甲、乙两个袋子中各任选1个球,求选出的2个球的颜色相同的概率;（2）从甲、乙两袋6个球中任选2个球,求选出的2个球来自同一袋子的概率.16．（15分）已知锐角的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.（1）求A;（2）若,求周长的取值范围.17．（15分）已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且.（1）求A;（2）若.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求b,c.条件①:中线AD长为;条件②:的面积为.18．（17分）如图,四面体中,O、E分别BD、BC的中点,,.（1）求证:平面;（2）求点D到平面的距离.19．（17分）设函数,.（1）判断函数的奇偶性,并讨论其单调性（不需证明单调性）;（2）求证:;（3）若在区间上的最小值为,求t的值.参考答案1．答案：B解析：由题意,得,所以z的虚部为,故选:B.2．答案：A解析：由,则,即可以推导出,故充分性成立;由推不出,如,,满足,但是,故必要性不成立;所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A3．答案：A解析：事件“至少有一个黄球”的对立事件是“没有黄球”,即都是“都是蓝球”,所以与事件“至少有一个黄球”互为对立的是“都是蓝球”.故选:A4．答案：A解析：,,故.故选:A.5．答案：C解析：,即,,故,则,由于,故,解得或,因为,所以,故,即,解得.故选:C6．答案：D解析：取的中点F,连接EF,AF,由E为CD的中点,得,,则是异面直线CM与AE所成的角或其补角,正方形中,,在中,,,,于是,所以异面直线CM与AE所成的角的余弦值为.故选:D7．答案：D解析：对于A,A,B两个盒子并联后FG段畅通的概率为,A错误;对于B,D,E两个盒子串联后GH段畅通的概率为,B错误;对于C,由选项B知,GH熔断的概率为,因此C,D,E三个盒子混联后GK段畅通的概率为,C错误;对于D,由选项AC知,整个电路畅通的概率为不通的概率为,D正确.故选:D8．答案：D解析：设,则,因为,所以,由三角形面积公式得,解得,在中,由余弦定理得,故,在中,由余弦定理得,故,在中,由余弦定理得,故,则的外接圆半径为.故选:D9．答案：BD解析：对于A,若,因为平面,平面,所以平面,矛盾,故A错误.对于B,以D为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则,,,,,因为,,,故,,故,,因为,,平面,故平面,当Q为的中点时,,此时平面,故B正确.对于C,Q在线段上运动,若三棱锥的体积为定值,则平面,,,,设平面的法向量为,则,解得,令得,故,故,故与不垂直,故平面不成立,故C错误;对于D,二面角即二面角,连接BP,DP,BD,由于,为等边三角形,则,,所以为所求二面角的平面角,不妨设正方体的棱长为2,则,的棱长为,故,,由余弦定理可得,二面角的余弦值为,故D正确.故选:BD10．答案：BCD解析：由,得,故,由于为奇函数,故,,由于,故取,则,故,对于A,最小正周期为,A错误,对于B,由于,故B正确,对于C,当时,则,故,故的值域为,C正确,对于D,时,则,要使在区间上恰有六个不等实根,则,解得,故D正确,故选:BCD11．答案：ACD解析：由题意得:上底面的面积,下底面的面积,侧面为等腰梯形,过、分别做AB的垂线,垂足为E、F,如图所示所以,则,所以,所以梯形的面积为,所以正四棱台的表面积,故A正确;连接,且交于点,连接AC、BD交于点,连接,则垂直底面ABCD,过作于G,则底面ABCD,则四边形为矩形,由题意得,所以,同理,,又,所以,在中,,所以,即侧棱与下底面所成的角为60°,故C正确所以.连接,在中,,所以点到A、B、C、D、、、、的距离相等,均为,所以点即为正四棱台外接球的球心,且外接球半径,所以外接球的表面积,故B错误;正四棱台的体积,棱长为的正方体的体积,所以,所以,所以正四棱台的体积比棱长为的正方体的体积大,故D正确;故选:ACD12．答案：0.8/解析：因事件A和B互斥,则,解得,故.故答案为:0.8.13．答案：解析：设球半径为R,则圆锥的表面积为,球O的表面积为,故圆锥与球的表面积之比为.故答案为:.14．答案：解析：在中,由余弦定理,,因为,所以,即,又因为,所以.设,则,,,在中,由正弦定理,,在中,由正弦定理,,两式作商,得,即,因为,所以,,,,假设,所以,解得.故答案为:15．答案：（1）（2）解析：（1）甲袋子中2个红球分别用A,B表示,白球用C表示,乙袋子中红球用D表示,2个白球分别用E,F表示.从甲、乙两袋中各任选1个球的所有可能结果为,,,,,,,,,共9种,从中选出的2个球的颜色相同的有,,,,共4种,故选出的2个球的颜色相同的概率.（2）从6个球中任选2个球的所有可能结果为,,,,,（B,C）,,,,,,,,,,共15种,从中选出2个球来自同一袋子的结果有,,,,,,共6种,所以选出的2个球来自同一袋子的概率.16．答案：（1）（2）解析：（1）由正弦定理得,则,所以,即,由于,所以,所以,则,,由于,,所以,.（2）若,由正弦定理得,所以,所以三角形的周长为,由于三角形是锐角三角形,所以,所以,所以,所以,所以三角形周长的取值范围是.17．答案：（1）（2）,或,.解析：（1）中,已知,由正弦定理得,又,则有,由,,得,则有,由,有,所以,得.（2）若选择条件①:由,余弦定理得,由,有,得,由,解得:,或,.若选择条件②;由,得,的面积,得,由,解得:,或,.18．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）连接,,,,,,,在中,由题设知,,,,,即,,平面,平面;（2）由,且由（1）知平面,则三棱锥的体积,又,,可得,设点D到平面的距离为h,即三棱锥的高为h,则三棱锥的体积