吉林省延边朝鲜族自治州珲春市第二高级中学2025-2026学年高一上学期9月第一学程考试数学试卷（含解析）

珲春市第二高级中学校2025-2026学年高一上学期第一学程考试数学试卷一、单选题1．已知全集，，则（

）A． B． C． D．2．下列整式由左到右的变形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．3．已知集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}，则如图中的阴影部分表示（

）A．{2，4} B．{3，5} C．{5} D．{2，3，4，5}4．命题“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，5．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．若a＞b，c＞d，则（

）A． B．a－c＞b－dC．a－d＞b－c D．ac＞bd7．已知全集为R，集合，，则（

）A． B．C． D．二、多选题8．已知，，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．9．下列表述正确的是（

）A． B． C．-3 D．10．命题“，”是真命题的必要不充分条件可以是（

）A． B． C． D．11．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（

）A．23 B．38 C．128 D．233三、填空题12．已知集合，则的真子集的个数是_________.13．若，则_______.14．定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”.已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有_____个.四、解答题15．请回答下列问题．(1)已知，求的值．(2)已知，，，求的值．16．已知集合，.(1)当时，求；(2)若，求a的取值范围.17．已知，，且．(1)求的最小值；(2)证明：．18．已知命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是假命题.(1)求实数的取值集合；(2)设集合，其中，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.19．设集合．求证：（1）一切奇数属于集合；（2）偶数不属于；（3）属于的两个整数，其乘积仍属于．

1．B【详解】因为全集，集合，所以，故选：B2．B【详解】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式.A.该变形是整式乘法，是因式分解的逆运算，故A错；B.把化为与的积的形式，故B对；C.右边不是积的形式，故C错；D.只是交换了两个因式的位置，不是因式分解，故D错.3．C【详解】因为集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}，所以图中的阴影部分表示的是属于不属于的元素组成的集合，即故选：C4．A【详解】存在量词命题的否定格式：首先存在量词改为全称量词，然后否定命题的结论，故原命题的否定为：，.故选：A.5．B【详解】由不能推出，但由必有，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B6．C【详解】选项A：若，则.所以选项错误.选项B：若,满足，但是.所以选项B错误.选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确选项D：若,满足，但是,所以选项D错误.故选：C.7．D【详解】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误.B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误.C中，，错误.D中，由，则，，正确.故选：D．8．BCD【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时，等号成立，故A错误；对于B，由A可知，，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C，因为，，所以，当且仅当即时等号成立，故C正确；对于D，由A可知，，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：BCD9．BD【详解】表示整数集，故A不正确、C不正确；表示自然数集，故B正确；表示有理数集，故D正确.故选：BD10．ABC【详解】当时，，当且仅当时取等号，由命题“，”是真命题，得，显然，，，ABC是；，D不是.故选：ABC11．ACD【详解】因为，故，故A正确；因为，则，故B错误；因为，故，故正确；，故，故D正确．故选：ACD12．3【详解】依题意，，所以的真子集的个数是.故答案为：313．【详解】依题意可得或，且，所以，.故答案为：.14．15【详解】由题意，集合的子集中，、、、一定成组出现，当集合的子集中只有1个元素时，即为，共1个；当集合的子集中有2个元素时，即为，共3个；当集合的子集中有3个元素时，即为，共3个；当集合的子集中有4个元素时，即为，共3个；当集合的子集中有5个元素时，即为，共3个；当集合的子集中有6个元素时，即为，共1个.当集合的子集中有7个元素时，即为，共1个.则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有15个.故答案为：15.15．(1)(2)【详解】（1）原式．，，所以原式．（2）原式，，当，，时，原式16．(1)；(2).【详解】（1）当时，，而，所以.（2）由（1）知，显然，由，得，解得，所以a的取值范围是.17．(1)(2)证明:，当且仅当，即时取等号，所以.【详解】（1）因为，所以，，，故，当且仅当，即时取等号，所以，即的最小值为8；（2）略18．(1)(2)【详解】（1）若命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题，则，解得或，故实数的取值集合.（2）∵“”是“”的充分不必要条件，∴⫋，又，故，等号不能同时取得，解得，故的取值范围为.19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【详解】证明：（1）设为任意奇数，则，因为且均为整数，．由的任意性知，一切奇数属于．（2）首先我们证明如下命题：设：，则与具有相同的奇偶性．以下用反证