陕西省延安市子长市秀延初级中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

陕西省延安市子长市秀延初级中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题一、单选题1．已知的直径为，是中最长的弦，则的长为（

）A． B． C． D．2．“琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．二次函数的对称轴为（

）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线4．已知一元二次方程配方后可变形为，则的值为（

）A．8 B．7 C．6 D．55．方程的根的情况为（

）A．没有实数根 B．有个相等的实数根C．有个不相等的实数根 D．无法确定6．将抛物线向左平移2个单位长度，所得到的新抛物线过点，则原抛物线的解析式为（

）A． B． C． D．7．如图，将绕点顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），点恰好落在的延长线上，连接，若，，，则的长为（

）A． B． C． D．8．已知二次函数（为常数，且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．B．C．若点、都在该二次函数的图象上，则D．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根二、填空题9．若抛物线（为常数）的开口向下，则的值可以是______．（写出一个即可）10．若是方程的一个根，则代数式的值为______．11．子长洋芋是陕西省子长市特产，获国家地理标志农产品认证．某网店6月份子长洋芋的销量200斤，8月份子长洋芋的销量为242斤，设该网店6月到8月子长洋芋销量的月平均增长率为，则可列方程为______．12．如图为某桥梁模型的示意图，其中与关于点成中心对称，点、分别是、的中点，横梁的长度为，则模型中的主承重钢梁的长是______．13．若二次函数（为常数）的图象过，，三点，则，，的大小关系是______．（用“”连接）14．如图，为等边三角形，点P为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转至线段，点M是边的中点，连接．若，则的最小值为______．三、解答题15．解方程：．16．已知二次函数，求二次函数图象与轴交点的坐标．17．已知二次函数（为常数）的图象经过点，请问当为何值时，的值随着值的增大而增大？18．如图，已知，请用尺规作图法作，使得为的直径．（不写作法，保留作图痕迹）19．如图，与关于点成中心对称，延长至点，使得，连接、、，，求证：四边形是矩形．20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．作出将绕点顺时针旋转得到的（点、的对应点分别为点、），并直接写出点、的坐标．21．茶在中国文化中占有重要地位，茶文化融合了佛教、儒教和道教的思想，体现了中国哲学中的“和合”思想．某茶庄有一块长40米，宽24米的矩形空地，现计划在空地内铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分），并在剩余部分种植茶树（阴影部分），若茶树的种植面积为836平方米，求小路的宽度．22．陕西的水果种类繁多，品质优良，成为了当地经济的重要支柱．随着苹果的大量上市，某水果销售商以每箱30元的价格购进了一批苹果进行销售，经过一段时间后，发现以每箱40元的价格销售这批苹果时，平均每天可以售出80箱，若每箱苹果的售价每提高1元，则平均每天少售出2箱．(1)求销售这批苹果平均每天的利润元与每箱的售价（元）之间的函数关系式；(2)当每箱苹果的售价为55元时，求销售这批苹果平均每天的利润．23．定义新运算“”，对于实数、、有．例如：．(1)若实数满足，求的值；(2)关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．24．如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形（点、、的对应点分别是点、、），使得点落在边上，的延长线与交于点，连接．(1)求证：平分；(2)试判断与的长度是否相等，并说明理由．25．如图为某学校大门的示意图，门拱的形状可以近似地看作抛物线，将门拱底部与地面的交点记为、，最高点记为点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组的成员测得，，，且于点，点在此抛物线上．(1)求门拱所在抛物线的解析式；(2)线段和线段分别表示大门两侧的钢笔造型的建筑（点、在轴上，点、在抛物线上，该造型建筑物的宽度忽略不计）．已知与等高，、均垂直于轴，且与之间的水平距离为，求这两个钢笔造型的建筑的高度（即线段和线段的长）．26．【问题探究】（1）已知点是等边的边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，已知等边的边长为．【特例分析】如图，点是边的中点，求的长；【深入探究】如图，点是等边的边上的动点（不与端点、重合），连接，若，，求线段的长；【问题解决】（2）如图，在现代化智能农场中有一块等边三角形实验田，为了更好的观察实验田中的植物状态，该农场计划在边上修建一个智能化为一体的观察室（不与端点、重合），并沿铺设一条小路，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的中点处修建一个研究员休息室，并沿、铺设两条水泥路，已知水泥路的长为米，求水泥路的长．（路的宽度忽略不计）参考答案1．B解：是中最长的弦，是中的直径，的直径为，．故选：B．2．D解：选项A、B、C不能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项D能找到一个点（即黑棋的圆心），使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．3．B解：是顶点式，根据顶点式的坐标特点可知对称轴是直线．故选：B．4．A解：∵，∴，则∴，故选：A5．A解：，方程没有实数根．故选：A．6．B解：抛物线向左平移2个单位长度可得，把点代入，可得，则原抛物线的解析式为，故选：B．7．A解：将绕点顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），，，，，．，，，，，是直角三角形，且，，，，是等腰直角三角形，．故选：A．8．D解：，由图象可知：抛物线开口向下，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，，，，故选项A错误，不符合题意；由图象知，当时，，即，故选项B错误，不符合题意；抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，，，∴点较点更靠近对称轴，，故选项C错误，不符合题意；由图可知：与轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根，即方程有两个不相等的实数根，故选项D正确，符合题意．故选：D．9．0（答案不唯一）【详解】∵抛物线的开口向下，∴，解得，a的值是0（答案不唯一）.故答案为：0.10．4解：∵n是方程的一个根，∴，∴，即，故答案为：4．11．解：设该网店从6月份到8月份每月销量的平均增长率为x，根据题意得，故答案为：．12．解：点、分别是、的中点，是的中位线，，与关于点成中心对称，．故答案为：．13．解：二次函数的开口方向向下，对称轴是，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，点距离对称轴的距离为：，点距离对称轴的距离为：，点距离对称轴的距离为：，到对称轴的距离大于到对称轴的距离大于对称轴的距离，二次函数的开口方向向下，点到对称轴的距离越远，函数值越小，．故答案为：．14．解：取的中点，连接，∵为等边三角形，∴，∵的中点，点M是边的中点，，∴，∵线段绕点A逆时针旋转，得到线段，∴，∴，∵，∴∴，过点N作于点G，则的最小值为，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．15．解：，，解得：．16．解：令，则，即，解得；∴二次函数图象与轴交点的坐标为．17．当时，y随着x的增大而增大解：∵二次函数经过点，∴，解得，∴二次函数关系式为，∴抛物线开口向上，对称轴是直线，当时，函数有最小值，∴当时，y随着x的增大而增大．18．如下图即为所求作：19．证明：∵与关于点C成中心对称，∴，∴四边形是平行四边形.∵，且，∴，即，∴四边形是矩形.20．如图所示：，则．21．小路的宽度为2米解：设小路的宽度为米，则可得，解得，，，答：小路的宽度为2米．22．(1)(2)销售这批苹果平均每天的利润为元（1）解：；（2）解：当时，，所以销售这批苹果平均每天的利润为元．23．(1)(2)（1）解：∵，∴，即，∴；（2）解：∵，∴，即一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得.24．(1)证明：根据旋转得，∴.∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴平分；(2)与的长度相等将矩形旋转得到矩形，∴，∴，∴，∴.25．(1)(2)这两个钢笔造型的建筑的高度为（1）解：由题意垂直平分，，，，且，∴，，设抛物线的表达式为，将分别代入得，，抛物线的表达式为；（2）∵，∴对称轴为轴，由题意，关于对称轴对称，∴，当时，；故这两个钢构造型的建筑的高度为．26．（1）；（2）；（