陕西省榆林高新中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷(含答案)

陕西省榆林高新中学2025-2026学年上学期九年级月考数学试卷一、单选题1．下列方程中是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（

）A． B． C． D．3．根据下列表格中关于的代数式的值与的对应值，判断方程＝0(≠0，，，为常数)的一个解的范围是(

)A．5.14＜＜5.15 B．5.13＜＜5.14C．5.12＜＜5.13 D．5.10＜＜5.124．下列关于四边形的说法，正确的是（

）A．四个角都是直角的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．有两边相等的平行四边形是菱形 D．两条对角线相等的菱形是正方形5．已知一元二次方程的两个根分别是，那么的值为（

）A． B．0 C．1 D．36．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（）A．9.6 B．4.8 C．10 D．57．某社区服务中心学习十九届六中全会精神，贯彻落实“为民办实事”．社区服务中心为解决居民停车难的问题，准备利用社区内一块矩形空地修建一个停车场（如图）．已知停车场的长为52米，宽为36米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道．设通道的宽是x米，若停车位的面积为1104平方米．依题意可列出方程（

）A． B．C． D．8．如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（

）

A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④二、填空题9．若关于x的一元二次方程有一个根是0，则________．10．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，且∠ACD＝60°，AB＝2，则矩形ABCD的面积等于_____．11．如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是_____________．12．某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是________.13．如图，在菱形中，，，点E是边的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是______．

三、解答题14．解方程：；15．如图，菱形中，点在边上，点在边上，且．求证：．

16．如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）17．已知，关于x的一元二次方程，求证：方程有两个不相等的实数根．18．如图，已知△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）当∠BAC＝90°时，求证：四边形ADCE是菱形．19．中国邮政于2025年3月14日国际数学日发行了《数学之美》的邮票，主题包括圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带．某班就此开展了“讲述数学之美”的数学活动，下面是印有《数学之美》邮票图案的四张卡片，卡片除图案外其它均相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．(1)小明从中随机抽出1张卡片，抽到的卡片主题是勾股定理的概率为_______；(2)小明和小红分别从中随机抽出1张卡片（放回），用列表或画树状图的方法，求两人抽到相同卡片的概率．20．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？21．一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶，若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AB，垂足为B，BE=CD连接CE，DE.（1）求证：四边形CDBE是矩形（2）若AC=2，∠ABC=30°，求DE的长23．如图，在中，∠，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．运动多少时间时，能使的面积为？

24．阅读与思考：【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．例如：求代数式的最小值．，可知当时，有最小值，最小值是．再例如：求代数式的最大值．．可知当时，有最大值．最大值是．(1)【直接应用】代数式的最小值为______；(2)【类比应用】若多项式，试求的最小值；(3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．

25．【综合与实践】（1）如图1，在正方形中，点、分别在、的延长线上，，连接、，则线段与长度的大小关系为______．（填“＞”“＜”或“＝”）【问题解决】（2）为响应国家“乡村振兴”号召，李伯伯计划将一块五边形空地开发成农业休闲旅游基地．如图2，，，，．过点作于点，过点作于点，，，李伯伯将四边形区域设置为休闲区，四边形区域设置为住宿区，区域设置为餐饮区，为吸引游客，现要沿线段修一条景观水渠，请你求出景观水渠的长．参考答案1．B解：A．由（x-2）2+4=x2，得-4x+8=0，那么（x-2）2+4=x2不是一元二次方程，故不符合题意．B．根据一元二次方程的定义，x2+2x+2=0是一元二次方程，故符合题意．C．根据一元二次方程的定义，x2+-3=0不是一元二次方程，而是分式方程，故不符合题意．D．根据一元二次方程，xy+2=1不是一元二次方程，故不符合题意．故选：B．2．A解：∵袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球，∴摸出的球是白球的概率是．故选：A．3．B解：当时，；当，，∴当在5.13＜＜5.14的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即，∴方程＝0(≠0，，，为常数)的一个解的大致范围为：5.13＜＜5.14，故选B．4．D解：四个角都是直角的四边形是矩形，但不一定是正方形，故选项A不符合题意；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，如梯形的两条对角线可能互相垂直，故选项B不符合题意；有两边相等的平行四边形不一定是菱形，如这组边是对边的时候就不一定是菱形，故选项C不符合题意；两条对角线相等的菱形是正方形，故选项D符合题意；故选：D．5．C解：∵的两个根分别是，∴，∴；故选C．6．A解：∵四边形ABCD为菱形，，，∴，AC、BD互相平分，∴，，在中，，∴，∴，∴，故选：A．7．C解：设通道的宽是x米，根据题意得：．故选：C8．D解：∵四边形是正方形，是等边三角形，∴，∴，∴，故①正确；

∵，∴，故②正确；∴，过点P作于H，于G，如图所示：∵是等边三角形，，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∵，，∴和的面积比为，故③正确；过点C作交的延长线于N，如图所示，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故④正确，综上所述：①②③④．故选：D．

9．【详解】把代入中得：，解得：，∵方程是一元二次方程，，，，故答案为：．10．4解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，∴CD＝AB＝2，∵∠ACD＝60°，∴AD＝CD•tan60°＝2，∴矩形ABCD的面积为AD•CD＝2×2＝4，故答案为：4．11．/80度【详解】∵四边形是菱形∴由折叠可得，∴∴∵四边形是菱形∴∴．故答案为：．12．解：设药品每次降价的百分率为，根据题意，得，解得，（不合题意，舍去）．答：这件药品每次降价的百分率是．故答案为：13．解：连接、，四边形是菱形，，，，，是等边三角形，，连接交于点，当点P在位置上时，此时D、P、E三点共线，有最小值，最小值为的长，点E是边的中点，，，由勾股定理得：，即的最小值为，故答案为．

14．解：，，，，，解得．15．证明：四边形是菱形，，，，，即，，．16．如图，点即为所求；解：理由如下：由作图可知：是的平分线，∴，∵，∴，∴点即为所求．17．证明：根据题意有，，，，∴无论a取何值时，方程总有两个不相等实数根．18．（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵AD是边BC上的中线，∴BD＝DC，∴AE＝DC，又∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，（2）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线．∴AD＝CD，∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形．19．(1)(2)（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到的卡片主题是勾股定理的结果有1种，∴从中随机选取一张卡片，抽到是的卡片主题是勾股定理的概率为．故答案为：．（2）解：将圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带卡片分别记为A，B，C，D，用表格列出所有可能的结果：

小红结果小明ABCDABCD共有16种等可能的结果，其中4种符合题意．（两人抽到相同卡片）．20．花卉带的宽度应为2米解：设花卉带的宽度应为米，由题意，得，整理，得，解得或（不合题意，舍去）；答：花卉带的宽度应为2米．21．每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元解：设每顶头盔的售价为x元，则，整理得：，解得：，∴每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元．22．（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AB，∴CD∥BE,∵BE=CD,∴四边形CDBE是矩形,（2）DE=2解：（1）略（2）在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，AC=2，∴AB=4,（30°角所对直角边是斜边的一半）∴DE=BC=2（勾股定理）23．运动秒时，能使的面积为．解：设运动时间为t秒，则，依题意，得：，解得：，∵，∴，∴．答：运动秒时，能使的面积为．24．(1)(2)2018(3)围成的菜地的最大面积是（1）解：，当时，代数式有最小值，