安徽省安庆市2026届高三下学期4月模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省安庆市2026届高三下学期4月模拟考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】，∴，∴的虚部为1.2.是的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】可得，可得，即是的必要条件；由时，可得，因对数的真数必须为正数，故不一定成立，故是的必要不充分条件.3.已知函数，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】当时，函数在上都单调递增，而函数在上单调递增，因此函数是上的增函数，，所以.4.已知四边形为平行四边形，、、，，若，则n的值为（）A. B. C.-7 D.7【答案】D【解析】设，因为四边形为平行四边形，、、，所以，即,则，∴，∴，∴，而，，∴5.若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中第3项的系数为（）A.112 B.224 C.56 D.28【答案】A【解析】由得，∴，∴第3项系数为.6.甲、乙、丙等5人被安排到三个社区做志愿者，每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则甲和乙不去同一个社区的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，甲、乙、丙等五人被安排到三个社区做志愿者，每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则可按和分组，再分配到三个社区，共有种不同的安排方法，其中甲乙在一个社区的共有种，则甲乙不去同一个社区的概率为.故选：.7.过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设切点为，据题意：这样的切点有两个，即关于的方程有且仅有两根.因为，所以切线方程为，即为过切点的切线，又在此切线上，所以，即，所以，令，所以，所以，则或，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值为，极小值为，当趋于时，趋于，当趋于时，趋于，作出函数的图象，如图所示：又不在曲线C上，所以，由的图象可知.8.已知等比数列的公比大于1，，.则下列判断正确的是（）A.任意，有B.数列中，，，则C.，在区间中项的个数记为，则D.任意，，则整数的最小值为4【答案】C【解析】设等比数列的公比为，由，得，而，则，，对于A，，A错误；对于B，，则，即，而，当时，，，而满足上式，则，，B错误；对于C，，，则，C正确；对于D，令，由，得，数列单调递增，而，则当时，，令函数，求导得，函数在上单调递减，则，即当时，，于是，因此，则，，所以，D错误.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（）A.若，则事件A与B为对立事件B.若，则C.若，则D.若，，则【答案】CD【解析】对A：由，故，则、互斥，但不能得到、对立，故A错误；对B：由，则，故或，故B错误，对C：，，若则，故C正确；对D：，则，所以.10.在中，、、所对应的边分别是a、b、c，且，下列结论正确的有（）A.B.若，，则满足条件的有2个C.如，M为中点，则最大值为D.若有两解、，则【答案】BCD【解析】对于A，由正弦定理可得，，即，故A错误；对于B：过点B作，则，在上存在点A，使.且，故有两个.（，），故B正确；对于C：已知且，∴①，延长至Q，使.设，则，连、易知四边形为平行四边形.由，得，由①得，∴，即，故C正确；对于D：由，得，所以，又，故或，或或或（舍），∴，，∴，故D正确.11.正三棱锥中，点、、分别是侧棱、、的中点，，则下列结论中正确的有（）A.平面B.过的平面截该三棱锥所得截面三角形周长的最小值为C.棱长为的正四面体可以在棱台内随意转动D.在三棱台中，若一质点从A出发，每次等可能地沿着三棱台的棱向相邻的另一个顶点运动，设在次运动后质点仍停留在下底面的概率为，则【答案】ABD【解析】因为三棱锥为正三棱锥，又，可得为正四面体，所以、均为等边三角形，又、均为中点平面，故A正确.又因为平面，所以，故是到的最短距离，同理可得，故也是C到最短距离，∴是所有截面中周长最短的且此时周长为，故B正确.对C：假设C成立，则以为棱长的正四面体的外接球能在三棱台内任意转动，设外接球的半径为，可得该正四面体底面三角形内切圆的半径为，所以该正四面体的高为，所以解得，那么该外接球直径，又三棱锥底面三角形的内切圆半径为，所以三棱锥底面上的高为，所以三棱台的高为，所以三棱台内能放下的球直径不大于，又，故放不下，故C错误.对于D：记若一质点从A出发，在次运动后“在下底面”为事件，“在上底面”为事件.显然，当，时，，.由全概率公式，即，，所以，，所以，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一组数据19、5、4、13、a、b、1、2、16、3的第60%分位数为9（其中），则最小值为____.【答案】【解析】对10个数先排序：1、2、3、4、5、a、b、13、16、19，，则，由，则，当且仅当时，等号成立.13.在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆O相交于点A，把角按顺时针方向旋转后与单位圆O相交于点，则_____.【答案】【解析】设，，则，所以，又.14.焦点在x轴上的椭圆与双曲线有公共左、右焦点、，点M是与的公共点且，点N在x轴上，满足，若，则与的离心率之积为____.【答案】【解析】由条件可得，，因、、三点共线，则得，则，即，故，因，而表示与同方向的单位向量，表示与同方向的单位向量，由菱形的性质可得平分，故.设，则，因点是与的公共点，故得（为椭圆的长半轴长），（为双曲线的实半轴长）.则得，即在中，由余弦定理得，解得，设椭圆，双曲线的离心率分别为、，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.解：（1）因为与的等比中项为3，，所以，所以，即，设等差数列的公差为d，因为，所以，即，，所以，即.当时，，当时，，满足上式，所以.（2）由（1）知，则.所以数列的前项和为.16.在一次元宵节三角函数公式竞答决赛活动中，甲、乙两人角逐冠军.规则如下：①共5次竞答机会，每次竞答两人均从A，B两个箱子中选择一个公式回答，答完放回；②甲答对A、B箱中一个公式的概率分别为，；乙答对A、B箱中一个公式的概率均为；③每答对A箱中一个公式得20分，每答对B箱中一个公式得30分；④5次竞答后总得分最高者获得冠军.（1）规定甲前两次都从A箱中选择，后三次都从B箱中选择，五次竞答完成后，求甲总分得分至少110分的概率.（2）若前两次甲、乙均从B箱中选择公式，两次竞答后甲得总分60分，乙得总分30分.后三次竞答在即，深思熟虑后甲决定后三次都在A箱子中选择公式竞答，乙决定后三次仍然都在B箱子中选择公式竞答，请问最终冠军最有可能是谁?解：（1）甲至少110分有两种情况：前两次甲得40分，后三次甲得90分；前两次甲得20分，后三次甲得90分；故概率为.（2）后三次甲选A箱，甲五次总得分X可能为60、80、100、120，，，，，随机变量X的分布列为：6080100120分.后三次乙选B箱，乙五次总得分Y可能为30、60、90、120，，，，，随机变量Y的分布列为：306090120分，所以，故甲获得冠军的可能性更大.17.如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面.（1）求证：平面；（2）若，，，，是线段上一点且，线段与过、、、四点的球面是否有公共点?若有公共点，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：平面内取一点P，作于点E，作于点.因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.又平面，所以.同理，，平面，所以平面.（2）解：假设线段上与过、、、四点的球面有公共点，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系.则，即,,，，所以，设，则，所以，所以，所以.设球心，半径，因为,.所以球心一定在线段的中垂面上.所以，，则球心.由得，解得.则球心，半径，设，则，所以，解得或（舍），所以，所以存在点N满足题意.，平面法向量，设与平面所成角为，则.18.已知点为圆上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知点、，为直线上的动点，连接交曲线于，连接交曲线于.（i）证明直线过定点；（ii）若线段上存在点，有，连接与.交于点，求证：.（1）解：设，由过点作轴的垂线，垂足为，得.又因为，且，所以，即，又因为在圆上，所以圆，整理得曲线的方程：.（2）证明：（i）设点，当时，则的方程：.如图：联立可得，解得或.所以，∴.同理得：的方程：，联立，可得，解得或.所以，所以，∴，∴直线的方程：，，即直线的方程，故过定点.当时，易得直线为轴，显然直线过定点.综上：过定点.（ii）证明：若，不妨设，设，设，所以，∴，∴——①又∵，所以，解得，∴因为在曲线上，所以，∴，，代入①可得：.若，则，所以重合，不符合题意，故.∴，∴，即故点在直线上，过.联立，解得，所以.因为共线，所以线段的长度比等于它们纵坐标差的绝对值，即，，所以，得证.19.已知函数，.（1）若仅有一个零点时，求a的取值范围；（2）函数，且.（i）讨论的单调性；（ii）若存在，使得，证明：.（1）解：由得，当时，，显然不成立，则，令，则，令，解得；令，解得；的递