2026年秋季新教材北师大版小学数学五年级上册全册第5-8单元每课教学设计（附目录p220）

2026年秋季新教材北师大版小学数学五年级上册(全册）第5-8单元教学设计目录第五单元多边形的面积比较图形的面积认识底和高探索平行四边形面积探索三角形面积探索梯形面积组合图形的面积公顷、平方千米成长的脚印整理与复习数学好玩鸡兔同笼第六单元图形的位置与运动（一）确定位置摆图案国庆阅兵可爱的小猫第七单元倍数与因数倍数与因数探索2，5的倍数特征探索3的倍数特征最大公因数和最小公倍数质数与合数寻找质数整理与复习第八单元可能性不确定性谁先走摸球游戏综合实践多少落叶能铺满校园的落叶测量地面的面积估测落叶的面积研究报告分享会总复习第5-8单元每课教学设计第五单元多边形的面积比较图形的面积一、学情分析五年级学生已经掌握长方形、正方形的面积计算方法，认识基本平面图形，具备一定的观察、动手操作能力。学生已经理解面积的含义，能够数方格得到规则图形面积，但对于不规则图形、形状不同面积相等的图形认识不足，容易把图形的周长和面积概念相互混淆。学生乐于动手剪拼、小组讨论，但图形转化、割补思想属于初次系统接触，空间想象能力存在个体差异，部分学生只能直观判断大小，不能用严谨方法验证图形面积关系，需要借助方格纸、动手操作搭建认知台阶，逐步建立转化思想，为本单元后续平行四边形、三角形、梯形面积学习做好铺垫。二、教材分析《比较图形的面积》是北师大版2026秋季新教材五年级上册第五单元《多边形的面积》的起始课时。本节课不直接推导多边形面积计算公式，重在借助方格纸开展图形面积比较活动，引导学生体验数方格、重叠、割补、平移等比较面积的方法，感知“形状改变，面积不变”的数学本质，渗透转化这一核心数学思想。教材以方格纸中一组形态各异的平面图形为探究载体，设置观察比较、动手验证、交流发现等学习活动，通过不同图形面积相等的实例，打破学生“图形样子不一样，面积就一定不一样”的固有认知。本课作为单元起始课，承担思想方法奠基作用，学生习得的割补、平移转化方法，是后面学习平行四边形、三角形、梯形面积公式推导的重要基础，在整个单元知识体系中起到承上启下的作用。三、核心素养教学目标依据2022版义务教育数学课程标准以及2026秋季北师大版新教材要求，立足数学核心素养设定目标：1.数感与量感：借助方格纸，能够运用数方格、重叠、割补平移等多种方法比较图形面积大小，能准确判断方格纸上图形面积的相等关系，建立面积大小的直观量感。2.几何直观：通过观察、剪拼、平移图形等课堂活动，直观感知图形在割补前后面积不变，学会利用图形的转化分析面积问题，发展几何直观。3.推理意识：经历观察猜想、动手操作、验证结论的完整探究过程，能够有理有据说明两个图形面积相等的理由，初步形成简单的合情推理意识。4.应用意识：会用本节课学到的比较面积的方法分析方格纸上的各类图形，体会转化思想在图形学习中的价值，为后续多边形面积探究积累活动经验。四、教学重难点教学重点：掌握数方格、重叠、割补平移等比较图形面积的方法，能正确比较方格纸上图形面积大小，理解割补之后图形面积不变。

教学难点：理解“形状不同，面积可以相等”；能灵活运用割补转化的思想去分析复杂图形的面积关系。五、教学过程第1课时：探究比较图形面积的基本方法活动一：复习旧知，导入新课教师出示教材本课方格主题图，把教材的主题图形投影展示在黑板，方格纸每个小方格代表1个面积单位。

师：同学们，之前我们已经学习过面积的含义，谁来说一说，什么叫做图形的面积？

生：物体表面或者封闭图形所占平面的大小，就是图形的面积。

师：说得很好。那我们之前学过长方形、正方形，我们可以直接用公式算出它们的面积。大家请看教材上面这一幅方格图，上面摆放了很多大小、样子各不相同的封闭图形。请大家仔细看一看，这些图形形状差别很大，如果不给公式，我们怎么知道哪一些图形面积大，哪一些图形面积小？今天我们就一起来学习——比较图形的面积。

板书课题：比较图形的面积。

【设计意图】复习面积概念，直接对接教材主题情境，抛出核心问题，引发学生思考，明确本节课学习任务，激活学生已有的面积相关旧知。活动二：观察教材主题图，大胆猜想图形面积关系师：请同学们翻开教材，认真观察课本方格纸上的这些图形。大家先不着急动手，只用眼睛观察，猜一猜，哪些图形的面积可能是相等的？把你的猜想，在心里面想一想，也可以简单和同桌小声说一说你的判断依据。

给学生留出观察思考、同桌简短交流的时间。

师：谁愿意分享你的猜想？说一说你觉得哪两个图形面积可能相等，你是怎么看出来的。

生1：我猜测图①和图③面积是相等的，看着两个图形看起来大小差不多。

生2：我猜想图②和图⑤面积一样。

生3：我感觉图⑤和图⑥拼在一起，会和图⑧的面积差不多。

师：大家都给出了自己直观观察得到的猜想。老师要提醒大家，眼睛看到的不一定完全准确，我们的猜想需要经过验证。那我们可以用哪些办法，来验证我们猜想到的面积关系呢？结合我们手上的方格纸、学具，小组之间相互讨论。

学生4人小组讨论交流。

师：哪个小组来汇报，你们想到了哪些比较图形面积的办法？

生1：我们可以数方格，数一数每个图形占了多少个小方格，方格数量一样，面积就相等。

生2：可以把图形剪下来，把两个图形叠在一起，如果能够完全重合，面积就相等。

生3：有的图形形状不规则，剪一剪、拼一拼，把它变成熟悉的图形，再去对比。

师：大家思考非常全面，数方格、重叠、剪拼，这些都是比较图形面积很重要的方法。接下来，我们就借助这些方法，结合教材上面的图形，一步步开展验证。

【设计意图】依托教材原图引导学生先观察猜想，再引出验证的必要性，让学生自主生成比较面积的几种基本方法，落实几何直观素养，避免教师直接灌输方法。活动三：方法一——数方格法验证图形面积关系师：我们先来使用第一种方法，数方格。请同学们对照教材的方格图，我们先来数图①占多少方格。大家注意，数方格的时候，完整的一格算1，不满一格的我们按半格来算。请大家跟着老师一起数。

教师带领学生集体数图①方格数量，学生在自己课本上边标记边数。

师：图①数完一共是4.5个方格。接下来大家独立数一数图③，看看它是多少格。数完之后举手告诉老师结果。

生：图③也是4.5格。

师：图①和图③数出来方格数量完全一样，这就说明什么？

生：说明图①和图③面积相等。

师：非常好，数方格可以直观得到图形所占面积单位的数量，方格数量相等，图形面积就相等。老师在这里有个小问题要考考大家：数方格的时候，周长一样的图形，面积会不会一定相等？大家观察教材当中的图形，找一找例子。

学生观察思考。

师：大家看，有的图形外围轮廓长短接近，但是内部占有的方格数量不一样，所以周长相等，面积不一定相等，我们区分好周长和面积。

师：请同学们继续使用数方格的方法，自主验证教材当中图②和图⑤的面积关系，数完之后小组内核对结果。

学生自主数方格，小组核对。

生汇报：图②、图⑤都占6个方格，两个图形面积相等。

【设计意图】紧扣教材图形示范数方格操作，教会学生完整格、半格的计数规则，同步辨析周长与面积的易错混淆点，落实量感培养。活动四：方法二——重叠法验证图形师：刚刚我们用数方格验证了几组图形。除了数方格，刚才同学们还提到重叠法。什么是重叠法？就是把两个图形拷贝下来，进行平移，完全叠合在一起，如果能够完全重合，证明面积相等。

教师利用教具，把教材图②、图⑤的纸质学具拿出来，在黑板演示平移重叠操作。

师：大家请看，我把图⑤向右平移，叠放到图②上面，两个图形刚好严丝合缝，全部重合。这再次证明图②与图⑤面积相等。那大家想一想，重叠法适合什么样的图形？

生：适合两个图形形状完全一样的图形。

师：总结得很好。如果两个图形形状完全相同，经过平移、翻转之后可以重叠，直接就可以确定面积相等。那如果两个图形形状不一样，还能不能用重叠法直接判断？

生：形状不一样就没办法直接完全重叠。

师：没错，形状不同的图形，直接重叠行不通，那就要用到我们接下来的割补的办法。

【设计意图】演示教材实例，明确重叠法适用条件，制造认知冲突，自然引出割补转化，为下一环节做铺垫。活动五：课堂小结，布置课时任务师：第1课时快要结束，我们梳理一下今天收获。我们今天学习了两种比较图形面积的方法，分别是数方格法和重叠法。数方格通过数面积单位的多少判断面积；重叠法适合形状完全相同的图形，平移翻转后重合即面积相等。我们借助教材的主题图，验证了①=③，②=⑤。但是课本方格图里还有很多形状不一样，但面积可能相等的图形，比如有的图形剪开之后重新拼接，就可以变成另一个图形，这种割补的方法，我们留到第2课时重点探究。请同学们课后继续观察课本主题图，找一找还有哪些图形，猜测它们面积之间存在联系。第2课时：割补转化，深化面积相等的认识活动一：复习回顾，衔接新知师：上一节课，我们研究教材方格纸上的图形，学习了数方格、重叠两种比较面积的方法。谁来回顾，数方格要注意什么？重叠法适合什么情况？

生1：数方格完整格子算1格，不满一格算半格，数出总方格数对比面积。

生2：重叠法要图形形状一样，平移翻转能够完全重合，面积就相等。

师：很好。可是教材主题图中，有不少图形形状完全不一样，没有办法直接重叠。比如教材上的图④和图⑦，它们样子差别很大，那怎么去判断它们面积是否相等呢？今天我们重点学习割补法。板书：割补（平移、转化）。

【设计意图】复习第1课时旧知，针对教材中形状不同图形的矛盾点，引出本节课核心方法割补转化。活动二：依托教材案例，探究割补法（移补法）师：请大家看向课本，观察图④。大家先数一数图④方格数。

师生共同数方格，得出图④面积是6个方格。

师：再来看图⑦，我们直接观察，图⑦是一个不规则图形，边上有突出和凹陷。我们尝试不改变它的大小，只改变它的形状。如果我们把图⑦右侧凸出来的小三角形剪下来，平移填补到图形左侧凹陷的缺口位置，请大家想象，拼接之后，这个图形会变成什么样子？

教师使用教具演示教材图⑦割补操作：剪下凸出部分，水平平移填补凹陷处。

师：大家看，经过剪一剪，移一移，补一补，图⑦转化成了一个长方形。现在这个长方形和图④的长方形形状大小完全一样。请大家思考一个关键的问题：我们只是剪开再移动拼接，图形有没有增加纸片，有没有去掉纸片？

生：没有增加，也没有减少。

师：既然图形材料没有增加也没有减少，那么图形的什么是不变的？

生：面积不变。

师：非常重要的结论，割补之后，图形形状发生改变，面积保持不变。这种剪开、平移、填补的方法，就叫割补法，也叫移补法。我们通过割补，把陌生不规则图形，转化成我们熟悉的规则图形，就可以进行面积比较。经过割补转化之后，我们就可以确定教材中图④和图⑦面积相等。

【设计意图】严格使用教材原图开展割补演示，引导学生理解割补法的操作与数学本质，渗透转化思想，发展几何直观。活动三：小组合作，用割补法继续研究教材图形关系师：教材方格图中还有图⑤、图⑥、图⑧。请同学们看课本，观察这三个图形。猜想：图⑤和图⑥拼合起来，面积和图⑧是什么关系？请大家以四人小组开展活动，可以利用学具剪拼，也可以直接在课本方格纸上画图分析。思考两个问题：第一，图⑤加图⑥拼在一起总面积是多少；第二，图⑧的面积是多少。

学生小组动手操作探究，教师巡视课堂，参与小组讨论。

师：哪个小组上台来分享你们的研究成果。

小组代表：我们把图⑤和图⑥两个图形拼在一起，拼接完成之后刚好可以和图⑧重合，数方格算出来，图⑤是6格，图⑥是6格，加起来12格，图⑧数出来正好也是12格，所以图⑤加上图⑥的面积等于图⑧的面积。

师：这个小组既用了拼合操作，又搭配数方格验证，结论有理有据。这就是图形的拼合，把几个小图形拼在一起得到大图形，大图形的面积等于各个小图形面积之和。

师：那老师再抛出教材当中的一组图形，大家观察图⑨和图⑩，两个图形外形不一样，请同学们试一试，能不能用割补的办法，把其中一个图形转化，看看二者面积关系。大家可以在课本方格上画一画割补的痕迹。

学生自主画图操作。

生汇报：把图⑩上面突出部分切割，向下填补缺口，可以转化成和图⑨一样的图形，所以图⑨与图⑩面积相等。

师：很好，大家已经可以独立运用割补转化，解决形状不一样的图形面积比较问题。

师：我们一起来总结割补法的要点：割，把图形某一部分分割开；补，把分割的部分平移，填补到图形别的空缺位置。整个过程图形总面积不会发生改变，仅仅改变图形外在的形状。我们可以把复杂、不规则图形转化成长方形这类熟悉的规则图形，方便我们比较面积。

【设计意图】围绕教材全部主要图形开展小组探究，将割补、拼合、数方格多种方法综合使用，让学生经历猜想、操作、验证完整推理过程，发展推理意识。活动四：辨析易错题，巩固本节课三类比较方法师：结合课本学习，我们梳理本节课学到的全部比较图形面积的方法。

教师板书梳理：

1.数方格法：数完整格与半格，统计总面积单位数量，数量相等面积相等。

2.重叠法：适合形状完全一样图形，平移翻转能够重合，则面积相等。

3.割补（移补）法：分割、平移、填补，形状改变，面积不变；不规则图形转化为规则图形。

4.拼合法：多个图形拼接，总面积等于各个图形面积相加。师：现在我们来看教材上的思考问题：两个图形面积相等，形状是不是一定相同？请结合课本图形说一说你的理由。

生：不一定，比如图④和图⑦面积相等，但是原来的形状不一样。

师：说得非常到位。面积相等，图形形状可以完全不同。反过来，如果两个图形形状不一样，面积也有可能是相等的。这是本节课我们得到最重要的认识。这里老师再抛出一个容易出错的问题：一个图形割补前后，周长会不会也不变？大家拿图⑦来观察，割补变成长方形之后，大家对比原来图形外围边线长度。

学生观察对比。

师：大家能够发现，割补之后，面积不变，但是周长有可能发生变化。再次提醒大家，面积和周长是两个完全不同概念，千万不要混淆。

师：现在，请同学们翻开教材，看一看课本上的问题串，跟着老师过一遍教材当中的对话与问题。

师：教材第一个问题：观察下面的图形，比一比它们的面积，说一说你发现了什么？就是我们第1课时观察猜想环节，我们发现很多图形面积存在相等关系。

教材第二个问题：我们是用什么方法比较图形面积的？对应我们今天总结的四种方法，数方格、重叠、割补、拼合。

教材第三个问题：拼一拼，哪两个图形拼起来可以得到另外一个图形？就是我们刚刚研究的⑤和⑥拼合得到⑧。

教师带领学生完整解读教材文本，把课堂探究和教材文字一一对应，帮助学生吃透课本内容。

师：请同学们独立完成课本当中跟随的例题，运用今天学习的方法完成判断，学生自主做题，教师课堂巡视，个别答疑。

【设计意图】汇总本节课全部方法，辨析易错点，对接教材问题串，把课堂操作回归教材文本，夯实新知，落实量感与推理意识。活动五：课堂小结师：两课时的学习到这里接近尾声，我们一起回顾整个学习过程。本节课我们学习比较图形的面积，借助教材方格纸上的多组图形，我们经历观察猜想，动手操作，验证猜想。掌握了数方格、重叠、割补移补、拼合这四种比较图形面积的方法。我们得到核心认识：图形在割补平移之后，形状改变，面积不变；面积相等的图形，形状不一定相同。割补转化是非常重要数学思想，在后面学习平行四边形、三角形、梯形面积的时候，我们还会继续使用这种思想，把未知图形转化成我们熟悉的长方形，推导面积计算公式。希望同学们课后可以多观察方格纸上的图形，灵活运用今天学到的方法分析图形面积关系。认识底和高一、学情分析学生在之前的学习中已经认识长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等平面图形，能够直观区分各类图形的外形特征，掌握垂线的画法，理解垂直的含义。五年级学生具备一定动手操作、观察对比的能力，但对“高”的本质内涵理解存在困难，容易将图形的边和高混淆，片面认为高一定是竖直方向的线段；对于三角形、梯形不止一条高认知模糊，画高时经常出现不垂直、找不到对应底边的问题。学生习惯于直观感知图形，需要依托动手操作、图形标注等具象活动，建立底与高一一对应的关系，为后续多边形面积公式推导做好铺垫。二、教材分析《认识底和高》是北师大版2026年秋季新教材小学数学五年级上册第五单元《多边形的面积》的起始课时内容。本单元后续将学习平行四边形、三角形、梯形的面积计算，而底和高是推导面积公式的核心基础。教材以“限高”生活情境导入，引出梯形的底和高，随后依次呈现平行四边形、三角形的底与高的定义，配套图形示范标注底和高，安排画高的课堂活动。教材没有直接灌输文字定义，而是结合直观图示，引导学生理解：底和高是一组相互对应的概念，高是垂直于底边的垂线段。本节课重在建立底与高的对应关系，掌握规范画高的方法，落实空间观念的培养，是多边形面积学习的前置奠基课。三、核心素养教学目标依据2022版义务教育数学课程标准及2026秋北师大新版教材要求，立足小学数学核心素养设定目标：1.空间观念：结合限高情境与图形直观，认识平行四边形、三角形、梯形的底和高，理解底与高相互对应的本质，能在图形中准确识别底和高。2.几何直观：借助三角板、画图操作，掌握平行四边形、三角形、梯形规范画高的方法，能用垂线段表示图形的高。3.推理意识：在观察、辨析、画图对比中理解高的核心属性——垂直于对应底边，能够判断线段是否为指定底边对应的高。4.应用意识：能够根据要求，选择合适底边画出对应高，为后续多边形面积计算储备基础认知。四、教学重难点教学重点：认识平行四边形、三角形、梯形底和高的含义，明确底与高一一对应，掌握三类图形画高的基本方法。教学难点：理解高不一定是竖直线段，能正确画出三角形任意一条底边对应的高，理解三角形有三条高、平行四边形和梯形有无数条高。五、教学过程第1课时情境导入，出示教材“限高”主题情境师：同学们，请大家翻开教材，观察课本上的桥洞限高情境图。图上写着限高4.5米，大家想一想，“限高4.5米”是什么意思？这条4.5米的线段指的是桥洞这个梯形图形中哪一段的长度？

预设生1：就是车辆最高不能超过4.5米，太高就过不去桥洞。

预设生2：应该是桥洞上下两条平行边之间垂直的距离。

师：大家说得很有道理。桥洞横截面可以看成一个梯形，限高的这条线段，就是梯形的高。今天我们就一起来认识平行四边形、三角形、梯形的底和高。（板书课题：认识底和高）

师：我们先聚焦梯形，教材给出了梯形各部分名称。梯形中互相平行的两条边叫作梯形的底，通常较短的底叫作上底，较长的底叫作下底。上底和下底之间垂直的线段，就是梯形的高。

师同步在黑板画出标准梯形，标注上底、下底，再画出垂直于上下底的垂线段标注高。

师提问：如果我在梯形上下底之间画一条斜着的线段，这条线段能不能叫作梯形的高？为什么？

预设生：不能，高必须和上下底互相垂直，斜着的线段不垂直，不是高。

师继续追问：梯形的高只能画这一条吗？能不能在上下底其他位置再画垂线段？

学生自主思考，同桌交流想法。

预设生：可以画很多条，只要垂直于上底和下底就行。

师小结：梯形的上底和下底互相平行，两条平行线之间可以画出无数条垂线段，所以梯形有无数条高，所有高的长度都相等。

设计意图：依托教材“限高”真实情境，自然引出梯形的底和高，从生活感知过渡到数学概念，初步建立“高是垂线段”的核心认知，明确梯形底和高的定义，为本节课后续学习平行四边形、三角形的底和高做好铺垫。探究新知：认识平行四边形的底和高（教材图示内容）师：教材接下来出示了平行四边形的底和高示意图，请大家认真观察图中的标注。谁来说一说，平行四边形的底和高是怎么规定的？

预设生：平行四边形的一条边作为底，从这条底边对边上任意一点，向这条底边画垂线段，这条垂线段就是平行四边形这条底对应的高。

师板书平行四边形示意图，选定一条水平的边标注为底，从对边取一点，用三角板画出垂直的高。

师示范画法讲解：我们把平行四边形其中一条边当作底，用三角板的一条直角边和底边重合，另一条直角边向对边平移，在对边上确定一点，沿着直角边画出垂线段，这条垂线段就是对应底的高，垂线段和底边的直角处要标注直角符号。

师提问：平行四边形只有这一组底和高吗？能不能以平行四边形倾斜的侧边作为底，画出对应的高？

学生尝试在草稿纸上画图，教师巡视指导。

师挑选学生作品展示：没错，平行四边形两组对边都可以作为底，每一组底边都可以画出无数条高，同一组底对应的所有高长度相等。

师继续出示辨析图：在平行四边形里画一条不垂直于底边的线段，提问学生：这条线段是不是这个底对应的高？

生集体回答：不是，没有和底边垂直，不符合高的要求。

师总结平行四边形底和高要点：平行四边形任意一条边都可以作为底，高必须垂直于这条底，平行四边形有两组底，每组底对应无数条高。

设计意图：依托教材平行四边形示范图，教师示范标准画高步骤，强化“底和高相互对应、高必须垂直底边”核心属性，纠正学生“高必须竖直”的固有误区，区分不同底边对应的高。基础巩固，教材即时小练习：识别底和高师：教材配套出示几道识图判断题，请同学们独立判断，说一说图中的线段是不是图形指定底对应的高。

出示第一组图：梯形，线段斜跨上下底，无直角符号。

生判断：不是高，没有垂直。

第二组图：平行四边形，底边是斜边，画出竖直的线段，没有和斜边垂直。

生判断：不是高，线段没有和选定的底边互相垂直。

师引导总结判断标准：判断一条线段是不是某条底对应的高，要满足两个条件，第一，线段的两个端点分别在底边和底边的对边；第二，线段和底边互相垂直。两个条件缺一不可。

师安排学生在教材图形上，自主标出梯形、平行四边形一组底和对应的高，教师巡视，及时纠正学生漏标直角符号、高不垂直的问题。

设计意图：借助教材识图辨析题，及时巩固梯形、平行四边形底和高的概念，固化判断高的两条核心标准，落实几何直观素养，为下一课时学习三角形的底和高以及综合画高训练打好基础。第1课时小结师：第一课时我们认识了梯形和平行四边形的底和高，谁来梳理今天学到的重点内容？

预设生1：梯形互相平行的两条边是上底和下底，上下底之间垂直的线段是高，梯形有无数条高。

预设生2：平行四边形任意一条边都可以做底，从对边向底边画垂线段就是高，平行四边形有两组底，无数条高。

预设生3：高一定要和对应的底互相垂直，还要画上直角符号。

师总结：我们今天重点理解了梯形、平行四边形底与高的含义，抓住了高的本质是垂线段，知道底和高是一一对应的关系。下一节课我们重点研究三角形的底和高，同时综合练习三类图形规范画高。第2课时复习回顾，衔接教材内容师：上一节课我们学习了梯形和平行四边形的底和高，老师出示图形，大家快速说一说判断高的两个条件是什么？

生齐答：端点在底边和对边上，线段与底边互相垂直。

师快速出示平行四边形图形，指定一条斜边作为底，请一名学生上台板演画出对应的高，其余学生在草稿纸上同步画。

学生板演完成后，师生共同订正，重点强调：底边倾斜时，高不再是竖直线段，要跟着底边调整三角板方向，保证垂直，必须标注直角符号。

师过渡：梯形、平行四边形我们都已经掌握了底和高，今天我们重点学习教材里三角形的底和高，同时综合练习三类图形画高。探究新知：认识三角形的底和高（教材核心内容）师：请大家看向教材中三角形底和高的示意图，仔细阅读教材文字定义，想一想三角形的底和高是什么？

预设生：三角形的一条边作为底，从这条底边相对的顶点，向这条底边画垂线段，这条垂线段就是三角形这条底对应的高。

师在黑板画出锐角三角形，选定底边，示范画高：先找到底边相对的顶点，把三角板一条直角边与底边重合，另一条直角边平移到顶点位置，从顶点向底边画垂线段，垂线段就是高，标注直角符号。

师提问：这个三角形除了这条底边，另外两条边能不能当作底，画出对应的高？

学生小组讨论，动手尝试画图。

小组汇报成果：三角形三条边都可以当作底，每一条底都对应一个顶点，都能画出一条高，所以三角形一共有三条高。

师继续出示教材拓展图示，依次展示直角三角形、钝角三角形的高。

师讲解直角三角形：直角三角形的两条直角边互为底和高。比如一条直角边作为底，另一条直角边就是这条底对应的高，不需要额外画垂线段；斜边也可以作为底，从直角顶点向斜边画出对应的高。

师重点讲解钝角三角形的高，这是本节课的难点：钝角三角形有两条高画在图形外面。以钝角相邻的短边为底时，需要先延长底边，再从对应的顶点向延长后的底边作垂线段，这条垂线段才是高，教材示意图里清晰展示了这个画法。教师同步板演钝角三角形外部高的画法，强调延长线一般用虚线。

师梳理总结三角形高的核心要点：三角形有三条边，因此对应三条高；锐角三角形三条高都在图形内部；直角三角形两条高和直角边重合；钝角三角形两条高在图形外部，一条高在内部。无论哪种三角形，高都必须垂直于对应的底边。

设计意图：紧扣教材三角形底和高内容，分层研究锐角、直角、钝角三角形的高，重点突破钝角三角形外部高这一难点，完善三类图形底和高的完整认知，落实空间观念。教材配套“练一练”讲解与画图实操师：接下来我们完成教材“练一练”习题，大家跟着题目要求依次操作。第1题：标出下面各图形中指定底对应的高。依次出示梯形、平行四边形、锐角三角形、直角三角形图形，标注指定底边，学生独立在教材上画出高。教师巡视，收集典型问题：漏画直角符号、钝角三角形没有延长底边、高没有对准对应顶点。集中统一订正，再次强调底高一一对应。第2题：任选一个底，画出下面三角形的高。师提示学生：同一个三角形可以选择不同底边画高，画完之后互相检查是否垂直、顶点是否对应。学生完成后，指名展示不同底边对应的三条高。第3题：判断题，辨析表述对错。平行四边形只有一条高。（×）三角形有三条高。（√）钝角三角形的高都在图形外面。（×）高一定是竖直的线段。（×）学生逐题作答，并结合图形说明理由，巩固概念。设计意图：依托教材配套习题，从标注高、自主画高到概念辨析，层层递进实操训练，把抽象概念转化为画图技能，夯实本节课核心操作目标。易错辨析，梳理核心认知师：老师整理了同学们画高时经常出现的错误，我们一起来辨析错因。

错例1：画三角形高时，不从对应顶点出发，随便在边上取点画垂线段。

生辨析：三角形的高必须从底边相对的顶点出发，不能随便找点，底和顶点是固定对应的。

错例2：画钝角三角形高，没有延长底边，直接在图形内部画线。

生辨析：钝角三角形部分底边需要先延长，高落在图形外侧，延长线要用虚线。

错例3：画高之后忘记标注直角符号。

师总结核心提醒：①先找准指定的底，再找到对应的顶点或对边；②用三角板保证线段和底边互相垂直；③直角符号不能遗漏；④钝角三角形注意底边延长，延长线画虚线。

设计意图：集中梳理高频易错问题，直击学生认知盲区，进一步强化底高对应、垂直这两个核心本质，规范画图的标准格式，纠正思维误区。六、全课小结师：两课时的《认识底和高》内容已经学习完毕，大家整体梳理收获。

预设生1：我们认识了梯形、平行四边形、三角形的底和高，知道高本质是垂直于底边的垂线段。

预设生2：梯形和平行四边形有无数条高，三角形只有三条高，不同类型三角形高的位置不一样。

预设生3：画高的时候要找准对应的底，用三角板保证垂直，钝角三角形有的高要画在图形外面，记得标直角符号。

师整体总结：底和高是一一对应的一组概念，判断和画高的核心就是“垂直”。本节课学习的底和高知识，是接下来推导平行四边形、三角形、梯形面积计算公式的重要基础，只有准确找到图形的底和对应的高，才能理解后续面积公式的由来，大家要熟练识别、规范画出各类图形的高。探索平行四边形面积一、学情分析学生在之前的学习中已经熟练掌握长方形、正方形面积计算公式，能够准确计算长方形与正方形的面积，认识平行四边形的基本特征，知道平行四边形底和高的概念，具备基本的动手操作、观察对比能力。五年级学生已经初步接触转化的数学思想，但容易产生认知误区：很多学生会直观认为平行四边形面积等于相邻两条边长度相乘，混淆平行四边形和长方形的面积计算逻辑。学生动手剪拼、归纳推导公式的能力参差不齐，对于“转化前后图形各部分之间的对应关系”理解存在困难，需要借助动手操作、直观演示逐步突破认知难点，建立图形转化的思维模型，为后续三角形、梯形面积推导做好铺垫。二、教材分析《探索平行四边形面积》是北师大版2026年秋季新教材五年级上册第五单元《多边形的面积》的起始课时内容，是多边形面积系列学习的基础。教材以校园平行四边形草坪为真实情境引出面积问题，提供方格纸计数、剪拼转化两种探究路径，核心内容是通过割补转化法，把平行四边形转化成长方形，推导得出平行四边形面积计算公式：平行四边形面积=底×高，用字母表示S=ah。教材编排遵循“提出问题—猜想验证—动手转化—归纳公式—基础应用”的逻辑，渗透转化这一核心数学思想。本节课的学习，承接长方形面积知识，同时是后续三角形、梯形、组合图形面积推导的重要基础，在整个多边形面积知识体系中起到承上启下的关键作用。教材配套情境图、方格纸素材、试一试、练一练等内容，引导学生自主操作探究，避免直接灌输公式，突出学生自主建构知识的过程。三、核心素养教学目标（依据2022版新课标）1.空间观念：通过观察、剪拼、转化平行四边形，理解平行四边形与转化后长方形各要素之间的对应关系，建立平行四边形面积的直观表象。2.几何直观：能借助方格纸、动手割补操作，把未知的平行四边形面积问题转化为已知的长方形面积问题，感受图形转化的方法。3.推理意识：经历猜想、操作、对比、归纳的完整过程，推导出平行四边形面积计算公式，感悟演绎推理与合情推理。4.运算能力：掌握平行四边形面积计算公式，能找准对应的底和高，规范列式计算平行四边形的面积。5.应用意识：能从教材情境和基础习题中提取数学信息，运用平行四边形面积公式解决简单的实际面积问题。四、教学重难点教学重点：理解并掌握平行四边形面积计算公式，能够利用公式正确计算平行四边形面积。教学难点：理解割补转化后长方形的长、宽与原平行四边形底、高之间的对应关系；纠正“平行四边形面积=邻边相乘”的错误认知。五、教学过程第1课时：提出猜想，借助方格初步感知平行四边形面积复习旧知，情境导入教师板书长方形面积公式。

师：同学们，我们以前学习过长方形的面积，谁来说一说长方形面积怎么计算？字母公式是什么？

预设生：长方形面积=长×宽，字母公式S=ab。

师：很好。大家看教材中的情境图，学校里有一块平行四边形的草坪，后勤老师想要知道这块草坪的面积有多大，能不能直接用长方形的面积公式来计算呢？

教师出示教材平行四边形草坪情境图，标出平行四边形两条邻边长度分别是6m、5m，底边上的高是4m。

师：大家先大胆猜一猜，这个平行四边形草坪的面积可能是多少？

预设学生出现两种猜想：猜想一，6×5=30平方米，用两条邻边相乘；猜想二，6×4=24平方米，用底乘高。

师：现在出现了两种不同的猜想，到底哪一个是正确的？我们不能只靠猜测，需要想办法验证。教材给我们提供了方格纸这个工具，我们可以用数方格的方法数一数平行四边形的面积。

设计意图：依托教材原生情境引出核心问题，抛出学生典型的认知误区，制造认知冲突，激发学生探究验证的需求，自然引出方格计数的探究方法。教材方格纸探究，数方格验证猜想师：请大家翻开教材对应的方格素材，方格纸中每个小方格的边长代表1m，1个小方格面积就是1平方米，不满一格的都按半格计算。大家独立数出这个平行四边形一共占多少方格，算出面积。

学生独立数方格，教师巡视，观察学生数方格的方法。

师：谁来说一说你数出来的面积是多少？你是怎么数的？

预设生：我数出来一共24平方米。我先数满格的，再把左右两边不满一格的拼在一起凑成整格，合起来一共24格，也就是24平方米。

师：大家对比刚才的两个猜想，24平方米对应的算式是6×4，也就是底×高；而邻边相乘6×5得到30平方米和数方格结果不一致，说明平行四边形面积不能直接用两条邻边相乘。

师追问：方格纸上平行四边形的底是6m，高是4m，面积刚好是底乘高的结果。那是不是所有平行四边形的面积都等于底乘高呢？仅仅依靠这一个图形的方格结果还不能确定，我们需要进一步探究，能不能把平行四边形转化成我们已经会算面积的长方形。

设计意图：利用教材方格素材直观验证猜想，初步否定邻边相乘的错误思路，初步感知底、高与面积的联系，引出割补转化的探究方向。初步感知转化思路，认识底与高的对应师：我们想一想，长方形有直直的直角，平行四边形没有直角。能不能通过剪一剪、拼一拼，把平行四边形变成长方形？大家先观察教材示范的剪拼提示：沿着平行四边形的高剪开。

教师出示教材示意图：沿着平行四边形一条高剪下直角三角形，平移拼接到另一侧，形成长方形。

师：为什么一定要沿着高剪开？不沿着高剪开行不行？大家可以先想象一下。

预设生：沿着高剪开才能出现直角，拼出来才是长方形。如果斜着剪，拼出来还是平行四边形。

师小结：想要转化成长方形，关键就是沿着平行四边形的高进行分割。下一节课我们就动手实操，完整完成割补转化，推导平行四边形的面积公式。第1课时小结梳理师：本节课我们借助校园平行四边形草坪的问题提出猜想，通过数方格的方法发现这个平行四边形面积是底乘高的结果，同时知道平行四边形面积不能用邻边相乘计算，还初步了解可以沿着高剪拼，把平行四边形转化成长方形来研究面积。第2课时：动手割补转化，推导平行四边形面积公式回顾旧知，明确探究任务师：上一节课我们通过数方格知道，这块平行四边形草坪面积是24平方米，猜想平行四边形面积可能等于底乘高，还知道可以沿着高把平行四边形剪开拼成长方形。今天我们就动手操作，验证这个猜想，推导出通用的平行四边形面积计算公式。

教师提前准备平行四边形纸片、剪刀、直尺，同步出示教材中的标准剪拼示意图。

师：请大家拿出准备好的平行四边形纸片，按照教材提示，先用直尺画出平行四边形的一条高，沿着这条高剪开，再试着平移拼接，看看能不能拼成一个长方形。操作完成后，仔细对比：拼成的长方形和原来的平行四边形相比，什么变了？什么没有变？长方形的长、宽和原来平行四边形的底、高之间有什么关系？大家独立动手操作后小组交流。

学生动手剪拼、小组讨论，教师巡视指导，重点关注学生能否找准高、正确平移拼接。

设计意图：依托教材操作任务，让学生亲身经历割补转化全过程，自主观察图形变化，自主寻找图形要素之间的对应关系，落实几何直观与推理意识的培养。汇报交流，梳理图形对应关系师：哪个小组愿意上台展示你们的拼法，说一说你们的发现？

预设小组学生上台展示：沿着平行四边形底边的高剪下左侧直角三角形，向右平移，拼接在图形右侧，拼成一个长方形。

师提问：拼成之后，图形的面积有没有发生变化？

预设生：面积没有变，只是形状改变了，平行四边形拼成了长方形，二者面积相等。

师继续追问：拼成的长方形的长，对应原来平行四边形的什么？长方形的宽又对应原来平行四边形的什么？

预设生：长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。

教师同步板书对应关系：

长方形的长↔平行四边形的底

长方形的宽↔平行四边形的高

长方形面积=长×宽

平行四边形面积=底×高

师：除了沿着顶点处的高剪开，能不能沿着平行四边形中间任意一条高剪开？教师出示教材第二种剪拼样式：沿着平行四边形中间的高剪出直角梯形，平移拼接成长方形。

师：大家看教材这种剪法，剪开之后是两个直角梯形，平移之后同样拼成一个长方形，大家思考，这个长方形的长和宽还和平行四边形的底、高对应吗？

预设生：依然对应，长方形的长还是平行四边形的底，宽还是平行四边形的高，面积依旧相等。

师总结：无论沿着平行四边形哪一条高剪开，通过平移都可以拼成长方形，转化前后面积不变，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。根据长方形面积公式，我们就可以推导出平行四边形面积公式：平行四边形面积=底×高。

师介绍字母表达：数学上一般用S表示面积，a表示底，h表示高，字母公式写作S=ah。

师重点强调：公式当中底和高必须是一组相互对应的底和高，高必须是这条底边上垂直的高，不能随意搭配底和高。教材试一试基础例题教学师：我们来看教材试一试第一题：一个平行四边形底是5cm，这条底对应的高是3.6cm，计算它的面积。

师：谁来说一说列式的时候要注意什么？

预设生：找准底5cm和对应的高3.6cm，直接用底乘高。

教师板书规范书写：

S=ah

=5×3.6

=18（平方厘米）

师继续出示教材配套辨析小题：平行四边形一条底6cm，斜边上的高4cm，另一条底边4cm，对应的高6cm，能不能直接6×6计算面积？

引导学生辨析：底和高不对应，不能直接相乘，必须找到底所垂直对应的高才能计算。

设计意图：教学教材试一试例题，规范公式书写格式，着重突破“底与高要相互对应”这一易错点，巩固刚刚推导得出的面积公式。第2课时小结梳理师：本节课我们动手割补平行四边形，将它转化成长方形，推导出平行四边形面积公式：平行四边形面积=底×高，字母公式S=ah，同时记住计算面积时底和高必须一一对应。第3课时：公式巩固应用，辨析易错题型复习回顾公式，夯实核心知识师：前两节课我们一起探索了平行四边形的面积，谁能完整说一说平行四边形面积公式是什么？字母怎么表示？计算的时候最需要注意什么？

预设生：平行四边形面积等于底乘高，S=ah，底和高必须是一组对应的底和高。

师：很好。这一节课我们结合教材练一练习题，进一步熟练运用平行四边形面积公式，辨析容易出错的题目，学会在不同情境中准确找到对应的底和高。

设计意图：快速回顾核心公式与关键注意事项，为本课时综合应用做好铺垫。教材基础应用题讲解师：我们看教材练一练第1题：一块平行四边形菜地，底长12米，这条底边上的高是8米，如果每平方米可以收获蔬菜6千克，这块菜地一共可以收获蔬菜多少千克？

师：大家先独立审题，想一想这道题要先算什么，再算什么。

学生独立思考列式，教师巡视。

师提问学生：第一步要先求什么？

预设生：先求出平行四边形菜地的面积，再用总面积乘每平方米收获蔬菜的质量，算出总收成。

教师板书解题过程：

S=ah

=12×8

=96（平方米）

96×6=576（千克）

师追问：这道题目里能不能用其他的数字组合计算面积？为什么？

预设生：题目只给出底12m对应的高8m，没有其他底和高的数据，只能用12×8计算面积。辨析易错题，深化底高对应认知师：出示教材配套辨析习题：一个平行四边形相邻两条边分别是10分米和6分米，其中10分米底边对应的高是4.8分米，6分米底边对应的高是8分米，下面算式哪些可以算出这个平行四边形的面积？①10×6②10×4.8③6×8

学生独立判断之后集体交流。

师：谁来说一说哪些算式是正确的，错误的错在哪里？

预设生：②和③正确，10和4.8是一组对应的底和高，6和8是一组对应的底和高；①错误，10和6是相邻的两条边，不是底和高，不能相乘算面积。

师进一步引导学生观察：同一个平行四边形，用两组对应的底和高计算出来的面积是相等的，10×4.8=48，6×8=48，结果一致。我们可以利用这个特点，已知平行四边形面积和其中一组底、高，求出另外一条底对应的高。

师出示教材衍生习题：平行四边形面积48平方厘米，底10厘米，这条底对应的高是多少？

引导学生根据S=ah，推导出h=S÷a，列式48÷10=4.8厘米。

教师板书变形公式：a=S÷h，h=S÷a，说明可以利用公式逆推，已知面积求底或者高。等底等高平行四边形规律探究（教材图形题）师：观察教材中的图形题，方格纸上画出三个平行四边形，它们底都是4格，高都是3格，形状不一样。大家猜想这三个平行四边形面积相等吗？动手算一算。

学生独立计算后汇报：三个图形面积都是4×3=12，面积相等。

师提问：形状不同的平行四边形，面积为什么会相等？

预设生：它们底相等，高也相等，也就是等底等高，所以面积相等。

师小结教材知识点：等底等高的平行四边形，面积一定相等；反过来，面积相等的平行四边形，底和高不一定相等，形状也不一定相同。

设计意图：依托教材图形习题，引导学生发现等底等高平行四边形面积规律，进一步深化对面积公式本质的理解，区分形状与面积的不同概念。第3课时小结梳理师：本节课我们练习运用平行四边形面积公式解决实际问题，记住底和高必须对应，学会根据面积公式逆推求底或者高，还发现了等底等高的平行四边形面积相等这一规律。六、全课小结师：我们用3个课时完成《探索平行四边形面积》的学习，请同学们整体梳理全部学习内容。

师生共同汇总核心知识点：我们通过猜想、数方格验证、割补转化的方法，把平行四边形转化成长方形，推导出平行四边形面积计算公式：平行四边形面积=底×高，字母公式S=ah；可以逆推得到a=S÷h，h=S÷a。计算平行四边形面积的关键：底和高必须是相互垂直对应的一组底和高，不能用相邻两条边相乘计算面积，这是最容易出错的地方。数学方法上，我们用到了重要的转化思想，把陌生、未知的图形面积问题转化为已经学会的长方形面积问题，这种方法后续还会用来推导三角形、梯形的面积。规律结论：等底等高的平行四边形，面积一定相等；面积相等的平行四边形，形状不一定相同。师补充：平行四边形面积的探索，是我们学习多边形面积的起点，熟练掌握公式和转化思想，才能更好地学习之后其他图形的面积计算。探索三角形面积一、学情分析五年级学生已经掌握长方形、正方形、平行四边形面积计算方法，经历过平行四边形面积公式的推导过程，熟悉割补转化的数学思想，能够借助动手拼摆、剪拼操作探究图形问题。学生已经认识三角形，能够辨认锐角、直角、钝角三角形，会测量三角形的底和对应的高。但学生存在明显难点：容易混淆三角形底与高的对应关系；推导面积公式时，很难自主想到“两个完全一样的三角形拼成平行四边形”；容易忘记公式当中的“÷2”，经常直接套用平行四边形面积公式计算三角形面积。同时部分学生动手操作后，不能把操作过程转化为数学推理，说不清图形之间的等量关系。2026新版教材重视动手实践，依托操作活动落实推理意识，本课设置3个课时，由拼摆推导公式、公式简单应用、变式综合练习层层推进，贴合学生认知梯度。二、教材分析《探索三角形面积》属于北师大版（2026秋新教材）小学数学五年级上册第五单元《多边形的面积》，本单元是小学阶段平面图形面积学习的重要内容。本节课安排在平行四边形面积之后，是后续学习梯形面积、组合图形面积的基础。

教材开篇创设实际情境，给出交通警示标志牌，提出求三角形标志牌面积的现实问题，引出本课探究任务。教材主体部分安排动手操作活动，提供多组三角形学具，引导学生用两个完全相同的三角形拼摆平行四边形，观察三角形和拼成平行四边形底、高、面积之间的联系，推导出三角形面积计算公式。

教材配有操作记录表格，引导学生记录三角形的底、高，拼成平行四边形的底、高，分别计算二者面积，发现数量关系。教材给出三角形面积字母公式，紧跟着设置基础例题，直接代入公式计算三角形面积。之后设置不同类型三角形（锐角、直角、钝角三角形）的计算例题，强化底和高一一对应的关系。后续教材出现逆向题型：已知三角形面积和底，求高；已知面积和高求底。

新版教材弱化直接给出公式，突出动手操作、推理归纳，重视让学生理解为什么公式里要除以2，减少机械刷题，强化几何直观与推理意识。三课时层层递进：第一课时动手拼摆，推导三角形面积计算公式；第二课时基础应用，巩固公式，找准对应底和高；第三课时变式练习，解决逆向问题与生活实际问题。三、核心素养教学目标依据2022版义务教育数学课程标准与北师大版2026秋季新教材要求，立足图形与几何领域，确立本课核心素养教学目标：几何直观：借助拼摆、转化操作，观察三角形与平行四边形之间的图形关系，看懂教材中的拼摆图示，能找到三角形对应的底和高，建立三角形面积的图形表象，发展几何直观。运算能力：理解三角形面积计算公式的由来，掌握三角形面积=底×高÷2，能够正确代入数据计算三角形面积；也能根据公式逆向求解底或者高，规范完成图形相关计算，提升运算能力。推理意识：经历“两个完全一样的三角形拼成平行四边形”的操作探究，对比图形底、高、面积的联系，推理得出三角形面积公式，明白算式中“÷2”的意义，发展初步的演绎推理意识。应用意识：读懂教材生活情境问题，能够提取三角形图形信息，运用三角形面积公式解决标志牌、红领巾等现实生活问题，体会平面图形面积在生活中的实际用途。四、教学重难点教学重点：经历操作探究，掌握三角形面积计算公式，能利用公式正确计算三角形面积。

教学难点：理解三角形面积公式的推导过程，理解为什么计算面积要除以2；能够找准三角形相互对应的底与高；会利用公式逆向计算底或者高。五、教学过程第1课时：探索三角形面积——动手操作推导面积公式（一）情境导入，出示教材现实情境教师出示教材当中交通警示标志牌情境图，教材文本：一块三角形交通警示标志牌，底是9分米，高是7.8分米，想要制作这块标志牌，需要多大面积的铁皮？

师：同学们，请大家阅读教材上的情境，说一说，图中是什么物体？题目想要我们解决什么数学问题？

生：是三角形的交通警示牌，要求这块三角形标志牌的面积。

师：说得很好，我们之前已经学习平行四边形的面积，谁还记得平行四边形面积怎么求？

生：平行四边形面积=底×高，字母表达式S=ah。

师：平行四边形我们是用剪拼转化成长方形的方法推导出公式。那三角形的面积我们还没有学，直接数方格也不方便，我们该怎样求出这个三角形标志牌的面积呢？

生：是不是也可以转化成我们学过的图形？

师：这个想法非常有价值。今天我们就一起来探索三角形的面积。设计意图：利用教材真实生活情境，抛出真实问题，唤醒学生已有平行四边形面积的知识储备，引出转化思想，明确本节课探究任务。（二）研读教材活动，动手拼摆探究图形关系师：翻开教材，看一看教材给我们的探究活动。教材准备多组三角形：完全一样的锐角三角形、完全一样的直角三角形、完全一样的钝角三角形。请大家拿出学具，两人一组，尝试把两个三角形拼一拼，看看可以拼成我们学过的哪些图形。

学生分组动手拼摆学具，教师巡视课堂，观察各组操作情况。

师：哪个小组愿意展示你们拼摆的成果？先用两个完全一样的锐角三角形试一试，你拼成了什么图形？

生：我拿两个完全一样的锐角三角形，把相等的边重合拼在一起，拼成了一个平行四边形。

师：很好。那如果拿两个完全一样的直角三角形呢？

生：两个完全一样的直角三角形，可以拼成平行四边形，也可以拼成一个长方形。

师：长方形其实是特殊的平行四边形。那两个完全一样的钝角三角形呢？

生：同样可以拼成一个平行四边形。

师：老师这里有一个关键问题，如果拿两个大小不一样的三角形，能不能拼成平行四边形？请大家试一试。

学生动手操作，发现不能拼成。

师：所以我们想要拼成平行四边形，对三角形有什么要求？

生：必须是两个完全一样的三角形。教师出示教材配套探究记录表格，投影展示表格内容，引导学生边操作边填写。三角形拼成的平行四边形底/cm底/cm高/cm高/cm面积/cm²面积/cm²师：仔细观察拼好之后的图形，想一想，拼成的平行四边形的底，和原来三角形的底是什么关系？

生：拼成平行四边形的底等于三角形的底。

师：拼成平行四边形的高，和原来三角形的高是什么关系？

生：拼成平行四边形的高等于三角形的高。

师：那一个三角形的面积，和拼成之后整个平行四边形的面积又有怎样的关系？同桌互相说一说。

生：一个三角形的面积是拼成平行四边形面积的一半。

师：为什么是一半？

生：因为这个平行四边形就是由两个完全一样的三角形拼出来的。

师：那平行四边形面积=底×高，三角形是它的一半，那三角形面积该怎样列式？

生：三角形面积=底×高÷2。设计意图：严格跟随教材探究活动，学生动手拼摆三类三角形，借助教材记录表格，一步步对比底、高、面积的关系，让学生自主推理得到公式，理解÷2的由来，不是直接灌输公式。（三）结合教材例题，书写字母公式，解决导入情境问题师：我们通过拼摆得到三角形面积计算公式：三角形的面积=底×高÷2。如果用大写S表示三角形面积，a表示底，h表示高，那字母公式该怎么写？对照教材看一看。

生：S=a×h÷2，也就是S=ah÷2。

教师板书文字公式与字母公式，对照教材上的公式示范。

师：回到我们课一开始教材的交通警示牌问题，底9分米，高7.8分米，现在大家能不能算出标志牌的面积？

生：可以，直接代入公式计算。

师：谁来口述计算过程？

生：9×7.8÷2，先算9乘7.8等于70.2，再用70.2÷2=35.1，单位平方分米。

师：所以制作这块标志牌需要35.1平方分米的铁皮。大家翻开教材，核对教材上面完整解答过程。

师：老师要提问，算式当中为什么一定要除以2？不除以2算出来的是什么？

生：不除以2算出来的就是拼成的平行四边形的面积，是两个三角形的总面积，不是一个三角形。

师：这是我们本节课最容易出错的地方，计算三角形面积千万不要忘记÷2。设计意图：回到教材开篇情境，运用刚刚推导出的公式解决开课提出的问题，强化学生对“÷2”的理解，落实公式记忆。（四）第一课时局部小结师：这节课我们借助两个完全一样的三角形拼摆成平行四边形，推导出三角形面积公式，三角形面积=底×高÷2，字母公式S=ah÷2，计算的时候千万不能忘记除以2。第2课时：探索三角形面积——找准对应底和高，巩固公式计算（一）复习旧知，衔接教材新内容师：上一节课，我们通过拼摆三角形得到面积计算公式，谁来说一说三角形面积公式是什么？

生：三角形面积=底×高÷2，S=ah÷2。

师：谁还记得公式里面为什么要除以2？

生：因为两个完全相同的三角形拼成平行四边形，单个三角形面积是平行四边形面积的一半。

师：很好。今天我们继续学习《探索三角形面积》，看教材当中几组不同的三角形，我们学习找准底和它相对应的高，正确计算各类三角形的面积。教师出示教材例题，第一个图形：锐角三角形，底是8cm，这条底对应的高是5cm。

师：大家观察这个锐角三角形，底是8厘米，高5厘米，这个高是不是这条底边对应的高？

生：是的，高垂直于8厘米这条底边。

师：请大家代入公式，算出这个锐角三角形面积。

学生独立计算。

生：8×5÷2=20（平方厘米）。设计意图：复习第一课时公式与推导原理，直接过渡教材例题，开启第二课时重点：底与高的对应关系。（二）研读教材，辨析底与高的对应关系师：教材接下来出示直角三角形。直角三角形两条直角边分别是6厘米和4厘米。

师：大家观察这个直角三角形，它的底和高在哪里？

生：两条直角边可以一组作为底，另一组就作为高，两条直角边互相垂直。

师：说得非常好。直角三角形的两条直角边互为底和高。那我们来算一算这个直角三角形的面积。

生：6×4÷2=12平方厘米。师：我们继续看教材上的钝角三角形。三角形底10cm，这条底对应的高是4cm。

师：大家看教材的图示，钝角三角形的高画在了三角形的外面。很多同学在这里容易看错。这条4厘米的高，是哪一条底边的高？

生：是10厘米这条底边对应的高。

师：也就是说，高不一定画在图形内部，只要垂直于哪一条底边，就是这条底边对应的高。计算面积，必须使用一组相互对应的底和高。如果底和高不对应，算出来结果就是错的。教师出示教材表格，两组不同底和高的数据，引导学生辨析。三角形底边长度对应高的长度是否为一组对应底高10cm4cm是另一条边7cm4cm否师：如果我们拿10厘米的底，搭配7厘米边上的高，可以计算吗？

生：不可以，底和高不对应，不能相乘。

师：计算三角形面积，核心条件：必须找到一组互相对应的底和高，再代入底×高÷2。设计意图：依次处理教材锐角、直角、钝角三角形，重点突破钝角三角形外部的高，落实本课难点，明确只有对应底和高才能相乘计算面积。（三）教材例题实操，课堂练习巩固师：教材出示生活例题：红领巾，底边长100厘米，高33厘米，求这条红领巾的面积。请同学们阅读题目，独立完成计算。

学生独立做题。

师：谁来汇报你的解题过程？

生：100×33÷2=1650（平方厘米）。红领巾的面积是1650平方厘米。

师：我们一起核对，底100，对应高33，相乘之后除以2，计算正确。

师：老师把题目改一改，如果有同学列式100×33，没有除以2，得到3300平方厘米，错在哪里？

生：忘记除以2，算的是两个红领巾拼起来平行四边形的面积。师：再看教材当中的一道图形题，三角形底是12分米，对应高是6分米，请大家计算面积。

生：12×6÷2=36平方分米。

师：老师在这里给大家总结做题步骤：第一步，找到一组对应的底和高；第二步，套入公式底×高÷2；第三步，算出结果，带上面积单位。师：对比平行四边形和三角形面积计算，如果底和高都相等，三角形面积和平行四边形面积是什么关系？结合教材插图想一想。

生：等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。设计意图：利用教材红领巾生活例题，巩固基础计算，强化学生不要遗漏÷2，同时梳理做题的标准化步骤，建立等底等高图形大小关系认知。（四）第二课时局部小结师：本节课我们练习不同类型三角形的面积计算，重点明白计算三角形面积，一定要选取一组相互对应的底和高，牢记公式底×高÷2，等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。第3课时：探索三角形面积——逆向计算与综合实际问题（一）复习回顾，导入教材逆向问题师：前两课时我们学会三角形面积公式，谁复述公式？

生：S=ah÷2。

师：知道底和高，我们可以求出三角形面积。那如果反过来，教材提出新的问题：已知三角形的面积和底，怎么求高？已知面积和高，怎么求底？今天我们继续学习教材上三角形面积的逆向计算问题。

出示教材例题：一个三角形，面积是24平方厘米，底是8厘米，求这条底对应的高是多少厘米。

师：同学们读题，这道题和之前的题目有什么不一样？

生：面积已经告诉我们，底告诉我们，要求高。设计意图：复习正向公式，引出教材逆向题型，开启第三课时探究内容，实现由正向计算到逆向推理的过渡。（二）依托公式，推理逆向计算方法师：我们已知S=ah÷2，现在S等于24，a等于8，h未知。我们该怎样求出h？大家可以结合拼摆图形来思考。

师：三角形面积是拼成平行四边形的一半，那如果把三角形面积先乘2，得到的是什么图形的面积？

生：得到和这个三角形等底等高的平行四边形的面积。

师：非常好。三角形面积×2，就还原出平行四边形面积。平行四边形面积=底×高，那平行四边形的高就等于面积÷底。这个高，也就是三角形的高。

师：所以求三角形的高，我们可以先用面积乘2，再除以底。列式：h=S×2÷a。

师：回到例题，面积24平方厘米，底8厘米，求高，我们列式计算。

生：24×2÷8=48÷8=6（厘米）。高是6厘米。

师：那如果告诉我们三角形面积和高，求底呢？按照同样的道理，谁来说一说？

生：先用面积乘2，再除以高，a=S×2÷h。教师出示教材整理的关系式表格：已知条件求什么计算公式底a、高h面积SS=ah÷2面积S、底a高hh=2S÷a面积S、高h底aa=2S÷h师：大家仔细看教材表格，逆向计算的时候，第一步一定要把面积先乘2，还原平行四边形的面积，之后再做除法。很多同学逆向计算的时候，直接拿面积除以底，忘记乘2，这样算出来的结果就是错误的。师：我们验证一下，底8厘米，高6厘米，三角形面积8×6÷2=24平方厘米，和题目给出的面积一致，计算正确。设计意图：结合图形转化的道理，不直接死记逆推公式，让学生明白为什么逆向计算要先把面积乘2，依托教材表格梳理三类数量关系，突破逆向计算的易错点。（三）教材综合生活问题，课堂实操练习师：看教材当中的实际应用题：一块三角形菜地，面积是45平方米，菜地的底边长是10米，这条底边对应的高是多少米？请同学们独立列式计算。

学生独立演算。

师：哪位同学分享你的计算过程？

生：45×2÷10=90÷10=9（米），菜地这条底对应的高是9米。

师：我们验算一遍，底10米，高9米，10×9÷2=45平方米，和题目给出面积相等，答案正确。师：教材还有一道对比思考题：两个三角形，底相等，高也相等，它们的面积会是什么情况？

生：底和高对应相等，面积就相等。

师：那两个三角形面积相等，它们的底和高就一定分别相等吗？小组简单交流。

生：不一定，底大一点，高小一点，乘积不变，面积也可以相等。师：我们再来处理教材综合习题：一块三角形花圃，底12m，如果把底延长4m，高不变，面积就增加8平方米。求原来三角形花圃的面积。

师：大家读懂题目，增加出来的部分也是一个三角形，增加三角形底是4m，面积8平方米。我们可以先求出三角形花圃的高。

生：增加部分三角形面积8平方米，底4米，高=8×2÷4=4米。原来三角形底12米，高4米，原来面积12×4÷2=24平方米。

师：这道题借助增加部分的三角形，先求出公共的高，再算原来图形面积，是三角形面积常见综合题型。设计意图：利用教材的生活应用题、思考题，训练逆向计算，处理稍微复杂的综合题型，巩固学生对三角形面积数量关系的理解。（四）三课时整体梳理师：我们三课时完成《探索三角形面积》。第一课时动手拼摆两个完全相同三角形，推导出三角形面积公式；第二课时熟悉锐角、直角、钝角三角形，找准一一对应的底和高，做正向面积计算；第三课时学习逆向计算，已知面积求底或者求高，解决生活当中的综合问题。

师：大家再次牢记，三角形面积=底×高÷2；逆向求底、求高，要先用面积乘2，再做除法。六、课堂小结《探索三角形面积》整课三课时，依托拼摆操作开展探究，利用转化思想，将三角形转化为熟悉的平行四边形，推导得出三角形面积计算公式：三角形面积=底×高÷2，字母公式S=ah÷2。第一课时重点完成公式推导，理解算式中除以2的意义，明白必须使用两个完全一样的三角形才能够拼成平行四边形。第二课时重点解决不同类型三角形计算，掌握底与高必须一一对应，直角三角形两条直角边互为底和高，钝角三角形的高可以在图形外部，能够解决红领巾、交通标志牌这类生活正向计算问题。第三课时学习逆向数量关系，已知三角形面积求底或者求高，记住逆向运算要先把面积乘2，再进行除法运算，处理简单的综合实际问题。

整节课依托教材的图形、表格、生活情境，发展学生几何直观与推理意识，学生不仅记住计算公式，更理解公式背后图形之间的联系，能够区分三角形与平行四边形面积的关系，能够灵活处理正向、逆向的三角形面积相关问题。探索梯形面积一、学情分析五年级学生已经掌握长方形、正方形面积计算，本单元前面已经经历平行四边形、三角形面积公式的探索过程，熟悉“转化”的数学思想，能够利用割补、拼摆的方法把未知图形转化成已经学过的图形。学生清楚平行四边形、三角形面积推导逻辑，知道三角形面积公式要除以2。但梯形相比三角形、平行四边形，拥有上底、下底、高三组关键量，学生容易混淆底的概念，分不清哪条是上底、哪条是下底；在推导公式时，部分学生只能记住公式，不能理解“（上底+下底）”求和的实际意义，计算时经常遗漏除以2。学生动手操作拼摆有一定基础，但自主想到把两个完全一样梯形拼成平行四边形存在思维障碍，需要依托教材情境、学具操作、师生问答逐步引导完成推导。二、教材分析《探索梯形面积》属于北师大版（2026秋新教材）小学数学五年级上册第五单元多边形的面积的教学内容，安排在平行四边形、三角形面积之后。教材以现实生活中的梯形物件为情境，引导学生借鉴前面图形面积的探索经验，利用转化思想探索梯形面积计算公式。教材主要呈现两种推导路径：一是用两个完全相同的梯形拼接成平行四边形；二是对单个梯形进行割补转化。教材配有情境图、梯形示意图、拼摆示意图，给出梯形上底、下底、高的标注，设置填空、思考问题引导学生梳理推导过程。本节课既是对前面转化思想的巩固应用，也为后续组合图形面积学习打基础。教材重视经历完整探究过程，不直接抛出公式，重在让学生理解公式每一部分的含义，落实几何方面核心素养。三、核心素养教学目标（依据2022版义务教育数学课程标准）1.空间观念：认识梯形各部分名称，能够准确辨认梯形的上底、下底和高；通过拼摆、割补操作，建立梯形与转化后平行四边形之间的图形联系，建立图形表象。2.几何直观：借助学具拼摆、画图、示意图，把梯形转化为已学过的平行四边形，直观理解梯形面积公式的由来，看懂教材中的转化图示。3.推理意识：经历观察、操作、对比、归纳，推导出梯形面积计算公式，能讲清公式中每一个部分代表的图形含义，能够解释为什么公式里要用上底加下底、为什么要除以2。4.运算能力与应用意识：掌握梯形面积计算公式，能代入数据正确计算梯形面积；读懂教材例题信息，解决简单的梯形面积实际问题。四、教学重难点教学重点：经历梯形面积公式推导过程，理解并掌握梯形面积计算公式，会利用公式计算梯形面积。

教学难点：理解公式“上底＋下底”求和的意义，理解为什么要除以2；能够找准不同摆放方式梯形的上底、下底与对应的高。五、教学过程（共3课时）第1课时（一）复习旧知，导入新课，对接教材情境师：同学们，前面我们已经学习平行四边形和三角形的面积，谁能说一说平行四边形面积公式是什么？三角形面积公式又是什么？

生：平行四边形面积=底×高；三角形面积=底×高÷2。师：很好，那我们回忆一下，当初我们研究三角形面积的时候，是用什么办法得到公式的？

生：拿两个完全一样的三角形，拼成一个平行四边形。师：没错，我们用的是转化的方法，把没有学过的图形，变成我们已经会算面积的图形。今天我们学习新的图形，请看课本《探索梯形面积》主题图，观察图中的物体，你能找到哪一种图形？

生：梯形。师板书课题：探索梯形面积。师：翻开课本，看一看教材上面的梯形示意图，谁来指一指，梯形各部分分别叫什么？

生：平行的两条边，短的是上底，长的是下底，两条底边之间垂直的线段是梯形的高。师在黑板画出标准梯形，标注：上底、下底、腰、高。师追问：上底一定在上面，下底一定在下面吗？老师把梯形旋转摆放，斜着贴在黑板上，请学生辨认上底、下底和高。

生：不是看位置上下，是看一组互相平行的两条边，一组为上底、下底，两底之间垂直距离就是高。师：说得非常关键。只要是互相平行的一组对边就是梯形的上底和下底，高必须和两底互相垂直。设计意图：复习旧知唤醒转化思想，依托教材图示厘清梯形各部分概念，破除学生“上底必须在上方”的认知误区，为本节课推导公式做好概念铺垫。师：教材提出核心问题，怎样求梯形的面积？请大家想一想，结合三角形面积的学习经验，猜一猜我们可以怎样研究梯形面积？

生1：也用两个一样的梯形拼一拼。

生2：把梯形剪开，变成平行四边形或者长方形。师：大家猜想很有价值。今天我们优先研究课本重点展示的方法：取两个完全一样的梯形拼摆。请同学们拿出课前准备好的两个完全相同的梯形学具，动手拼一拼，看看能够拼成什么我们认识的图形。学生动手操作学具。师：谁愿意上台展示你的拼摆结果？学生上台演示，把其中一个梯形翻转，再和另一个梯形拼接。师：大家仔细观察，两个完全一样的梯形拼在一起，得到了什么图形？

生：拼成了一个平行四边形。师：是不是随便两个梯形都可以拼成平行四边形？拿一大一小两个梯形演示拼摆，无法拼成。

生：必须是完全一样的两个梯形。师板书关键词：两个完全一样的梯形。师：现在我们对照课本当中拼摆示意图，请大家仔细观察拼成的平行四边形和原来梯形之间有什么联系。请大家小组内观察讨论三个问题：第一，拼成平行四边形的底和梯形的上底、下底有什么关系？第二，拼成平行四边形的高和梯形的高是什么关系？第三，平行四边形面积和原来一个梯形的面积是什么关系？小组观察讨论，教师巡视课堂。师：好，哪个小组来分享你们的发现？

生1：拼成平行四边形的底，是梯形的上底加上下底。

师黑板画图对应标注：平行四边形底＝梯形上底＋梯形下底。

生2：平行四边形的高和梯形的高是相等的。

生3：平行四边形是由两个完全相同梯形拼成，所以一个梯形面积就是平行四边形面积的一半。师：我们顺着这个关系往下推导。平行四边形的面积公式是什么？

生：平行四边形面积＝底×高。师：这里的底不是普通的底，是梯形的上底加下底，所以拼成平行四边形面积=（上底＋下底）×高。那一个梯形的面积怎么算？

生：要除以2。师：所以梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2。师板书梯形面积文字公式，同时板书字母公式：S=(a+b)×ℎ÷2，向学生说明a师：我们再回到课本，看一看教材填空部分，把推导过程完整梳理一遍。请学生齐读课本上推导过程文本。师追问：同学们思考，梯形公式里面为什么要有“÷2”？这个除以2和三角形公式的除以2意义一样吗？

生：这里的除以2，是因为平行四边形由两个完全一样梯形拼成，一个梯形只占平行四边形一半。三角形除以2，是两个完全一样三角形拼成平行四边形。道理相似，但图形不一样。设计意图：严格遵循教材主流推导方案，借助学具操作、示意图观察，一步步完成公式推导，重点突破为什么要“上底加下底”、为什么要“除以2”两个思维难点，落实推理意识素养。师：我们得到梯形面积公式之后，看课本第一道例题：一个梯形，上底是3厘米，下底是5厘米，高是4厘米，请大家利用公式计算梯形面积。师生共同板书计算过程：S&师提醒书写要点：代入数据，括号不能丢掉，千万不要忘记除以2。课堂练习，给出梯形上底6m，下底10m，高2m，学生独立列式计算，集体订正。（二）第一课时课堂铺垫小结师：本节课我们借助拼摆法，用两个完全相同梯形拼成平行四边形，推导出梯形面积计算公式。要记住公式当中上底加下底的求和关系，计算不要忘记除以2。下一节课我们继续学习教材里面第二种转化方法，并且练习找准不同梯形的底和高。本节课我们利用转化思想，使用两个完全相同的梯形拼摆成平行四边形，依据拼成平行四边形与原梯形之间底、高、面积的对应关系，推导出梯形面积计算公式：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2。明确梯形上底、下底是互相平行一组对边，高是两底之间垂直