（讲评用卷）2024年河南某郑州外国语四模·数学

2024年河南某郑州外国语四模・数学

全卷总分：120分考试时间:100分钟

一、选择题

1.式列各数中，最小的数是（）

A.-5B.V3

C.0D.-71

1.A

【解析】二-5<-兀，二-5<-兀<0<75,二最小的数是-5.

2.“白日不到处，青春恰自又.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句

《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生

价值.苔花也被称为“坚韧之花”.袁枚所写的“苔花”很可能是苔类胞子体的苞荫，某抱子体的

苞荫直径约为0.0000084m,将数据0.0000084用科学记数法表示为（）

A.8.4x106B.8.4x10'6

C.84XH）-7D.8.4xl（）-5

2.B

【解析】0.0000084用科学记数法表示为8.4x10-6

3.围棋在古代被列为“琴棋书画”四艺之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖

的围棋罐，其主视图为（）

3.B

【解析】这个立体图形的主视图为、

4.入列问题适合全面调查的是（）

A.调查市场上某品牌灯泡的使用寿命

B.了解全省九年级学生的视力情况

C.神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查

D.了解黄河的水质情况

4.C

【解析】A.调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故A不符合题意；B.了解全省

九色级学生的视力情况，适合抽样调查，故B不符合题意：C.神舟卜七号飞船发射前对飞船仪

器设备的检查，适合全面调查，故C符合题意；D.了解黄河的水质情况，适合抽样调查，故D

不符合题意.

5.下列计算正确的是（）

A.a2+a2=2a4B.（i1*a3=a5

C.（c/+l）2=CT+\D.a6^a2=a3

5.B

【解析】J+/=2/,则A不符合题意；/./=/，则B符合题意；（"I）2=J+2〃+I,则

C不符合题意；则口不符合题意.

6.在平面直角坐标系中，把点（2,3）向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的点的

坐标是（）

A.（3,1）B.（0,4）C.（4,4）D.（1,1）

6.B

【解析】点（2,3）向上平移1个单位，再向左平移2个单位，所得到的点的横坐标是2-2=

0,纵坐标是3+1=4,・•,所得点的坐标是（0,4）.

7.若关于x的方程〃陵-2x+l=0有实数根，则下列〃7的值中，不符合要求的是（）

A.2B.IC.0D.-1

7.A

【解析】当方程〃优2_21+1=。有实数根时，b2-4ac=（-2）2-4m>0,4-4m>0,m<l,故A符

合题意.

8.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图,

尸是A8的黄金分割点（AP>BP）,若线段43的长为4cm,则4尸的长为（）cm.

A

A.2V5-2B.2V5+1

C.6-2V5D.2>/5-l

8.A

【解析】•"是AB的黄金分割点(AP>BP),4B=4cm,AP=—x4=(2^5-2)cm.

9.如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古

人利用光的反射定律改变光路的方法.为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置

一面平面镜可改变光路，当太阳光线A3与地面CQ所成夹角乙43c=5()。时，已知乙厂8

M,要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜石厂与地面的夹

角乙EBC=()

图①

A.60°B.70°C.80°D.85°

9.B

【解析】-BM1CD,.・zC8M=90°,•・•乙48C=50。，••・乙48£+乙方8知=180。-90。-500=40。，•••乙48

E=z.FBM,.•.^ABE=z.FBM=20Q,••・乙片8。=20。+50。=70。.

10.如图①，点4、8是OO上两定点，圆上一动点尸从圆上一定点8出发，沿逆时针方向匀

速运动到点A,运动时间是x(s),线段AP的长度是)，(cm).图②是)，随x变化的关系图

象，则图中机的值是()

■y：cm

图①图②

A.-B.4V2

2

C.5D.-

3

10.D

【解析】从图②看，当x=2时，y=AP=6,即此时A、。、P三点共线，则圆的半径为

3,.・.OA=O8=3,当x=0时，•.♦。户山储二”2，MOAB是等腰直角三角形，且0/U08,如

图，点户走过的角度为90。，则点。走过的弧长为:X2兀x〃=F，.•.点。的运动速度是弓+2=

—(cm/s),当工=加时，AP=OA=OP即△OAP是等边三角形，.•.乙40P=60。，.ZBOPMSG

4t

0°-90o-60o=210°,此时点P走过的弧长为翳x2nxr=抵.-.m=g+当=g.

二、填空题

11.写出一个比夕大的整数

11.3(答案不唯一)

【解析】••・4C7C9,力〈夜V3,••・比夕大的整数可以是3.

12.若正多边形的一个内角等于120°,则这个正多边形的边数是—.

12.6

【解析】解法一：设所求正〃边形边数为〃，则120。〃=(〃-2)-180°,解得〃=6;

解法二：设所求正〃边形边数为小・.・正〃边形的每个内角都等于120。，.•.正〃边形的每个外角

都等于180。-120。=60。，•••多边形的外角和为360。，即60。・〃=360。，.・・〃=6.

13.某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和两名女同学表现优异.若从以

上三名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是

【解析】列表如下：

女女

男:男，女）（男，女）

女（女，男）（女，女）

女（女，男）（女，女）

共有6种等可能的结果，其中刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果有4种，，刚好抽中一

名另同学和一名女同学的概率为7=1-

63

14.将透明的三角形纸板按如图所示的方式放置在量角器上，使点8、C落在量角器所在的半

圆上，且点&C的读数分别为30。，170°,若该量角器所在半圆的直径为8cm,则弧BC的长

为cm.

287r

14.V

【解析】如图，连接08,OC.由题意，ZBOC=170°-30°=140°,••・该量角器所在半圆的直径

为8cm,.•,O8=OC=4cm,.•.弧的长为四T二々Am.

1809

A

15.在矩形人中，乙430=3()。，AD=6,E为线段CO的中点，动点?从点C出发，沿C

T6—A的方向在C3和ZM上运动，将矩形沿E/折叠，点C的对应点为C,当点。恰好落在

矩形的对角线上时(不与矩形顶点重合)，点厂运动的距离为一.

15.3或6+V5

【解析】分两种情况：①当点C落在对角线8。上时，如图①所示，连接CC,二将矩形沿E

“折叠，点。的对应点为点。，且点C恰好落在矩形的对角线上，.・.CCUEF,•••点七为线段C

D的中点，:・CE=ED=EC\.•.Z.^Z)C,=ZEC,D=300.-.ZCEC=600,••2ECC'=60。，：ZCCD=9

0°,EPCCLBD,-.EF\\BDt・♦・点尸是3c的中点，在矩形ABC。中，A£>=6,^BC=AD=6t

CF=3,••・点尸运动的距离为3;②当点C落在对角线AC上时，如图②所示，作/7LLCO于

H,则CC1EF,四边形CBFH为矩形，在矩形ABCD中，BC=AD=6,Z.BAC=^LABD=3

Q

0°,^ABC=^BCD=90,MB=y/3AD=6V3,AB\\CDfvEFlAC,：.乙AFE=60。,:/FEH=

60°,•.•四边形CBFH为矩形，:.HF=BC=6,：.EH=上一=4=2V3,-EC=-CD=3

tan6Q°V32

V3,：.BF=CH=CE-EH=3V3-2V5=8，.•・点/运动的距岗为6+V3,综上所述，点F

运动的距离为3或6+V3.

答案图①答案图②

三、解答题

16.(1)计算:2xsin30°-2024°+|-5|;

⑵化简：(立

'XzX2

16.解：⑴原式=2x^—1+5

—1—1+5

=5;

(2)原式=立13.£

XX-1

_(x-1)2X2

XX-1

=X(x-1)

=x-x.

17.某校为了了解九年级600名同学对共青团知识的掌握情况，对他们进行了共青团知识测

试.现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩(满分100分)进行整理分析，记分数为

x,过程如下：

【收集数据】

甲班15名学生测试成绩分别为：78,83,89,97,98,85,100,94,87,90,93,92,99,

95,100

乙班15名学生测试成绩中90%<95的成绩如下：91,92,94,90,93

【整理数据】

班级75s¥<8080<^<8585<x<9090<x<9595200

甲11346

乙12354

【分析数据】

班级平均数众数中位数方差

甲92a9341.1

乙9087h50.2

【应用数据】

(1)根据以上信息，可以求tJ:。=—分，b=—分；

(2)若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加本次测试的600名学生中成绩为优秀的

有多少人；

(3)根据以上数据，你认为哪个班本次测试的整体成绩较好？请说明理由(理由不少于两

条).

17.解：⑴100,91;

【解法提示】在78,83,89,97,98,85,100,94,87,90,93,92,99,95,100这组数

据口，100出现的次数最多，"=100：乙班15名学生测试成绩中，中位数是第8个数，即为

出现在9—<95这一组中的91,.・必=91.

⑵根据题意得：600xW黑=380(人).

答：估计参加本次测试的60()名学生中成绩为优秀的有38()人；

(3)甲班本次测试的整体成绩较好.理由如下：

•••甲班学生测试成绩的平均数92高于乙班学生测试成绩的平均数90,且甲班方差47.3〈乙班

方差50.2,

・•・甲班本次测试的整体成绩较好(说法不唯一，合理即可).

18.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=〃?x+〃与反比例函数y=与勺图象在第一象限内

JJX

交于A&4)和B(4,2)两点，直线AB与X轴相交于点C,连接OA.

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)当x〉0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+兀3乙的解集；

X

(3)请用无刻度的直尺和圆规过点B作BD//x$fh,交OA于点D(保留作图痕迹，不写作

法)，若点P是直线8。上的一点，且8P=A8,请直接写出点P的坐标.

18.解：⑴将点A,8的坐标代入反比例函数表达式得&=2x4=4〃,

则2=8,4=2,

即反比例函数的表达式为y=3

则点A(2,4),

将点4“的坐标代入一次函数表达式得眩:黑

解得,

即一次函数的表达式为)，=・户6;

(2)观察函数图象知，不等式mx+"之：的解集为丝烂4;

(3)如图，3。即为所求，

设点/设2),

•：BP=AB,则彷-4)2=(4-2)2+(2-4)2,

解得。=4±2V2.

即点P(4+2V2,2)或(4-2V2,2).

19.阅读以下材料，并完成相应的任务：

定义：顶点在圆匕一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角.弦切角定理：弦切角等

于它所夹的弧所对的圆周角.

下面是该定理的部分证明过程：

已知：如图，AB与。0相切于点A,点C、。在。。上，连接AC、CD、AD.

求证:Z-CAB=Z-D.

证明：连接AO并延长，交O。于点E,连接C£

与O。相切于点A,

.・"AB=90。，(依据1)

,・"AC+zCA8=90。.

•・/E是。。的直径，

・"。=90。，(依据2)

.••上石+/石/\。=90。.

任务：

（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：；

依据2:;

（2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（3）已知图中O。的半径2,弦切角iC4B=30。，直接写出AC的长.

19.解：（1）圆的切线垂直于过切点的半径；直径所对的圆周角是直角；

【解法提示】•••AB与。。相切于点A,.•2E48=90。（圆的切线垂直于过切点的半径），「ZEA

C+zC4B=90。，ME是OO的直径，.•zEC4=90。.（直径所对的圆周角是直角）

（2）证明：连接A。并延长，交。0于点E,连接CE.

•・/5与O。相切于点A,

・・z£4B=90。（圆的切线垂直于过切点的半径），

••Z£AC+NCA8=90°,

•・/£是OO的直径，

“ECA=90。，（直径所对的圆周角是直角）

.­.ZE+ZEAC=9O°,

:/E=Z.CAB,

cr\

vAC=AC,

:•乙E=cD,

:•乙CAB=zJ）;

（3）解：2.

【解法提示】••2C4B=30。，由（2）可知，4c48=乙。=30。，｛乙E=^D=30。,为。。直

径，,・."。£=90。，在RlMEC中，AE=2AO=4,:.AC=^AE=2.

20.圭表（如图①）是我国古代一种通过测昂:正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一

根直立的标杆（称为“表”）和一把星南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为

“圭”）,当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定

为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图②是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意

图，表AC垂直圭8C,已知该市冬至正午太阳高度角［即为37。，夏至正午太阳高度

角（即"OC）为84。，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即08的长）为4米.

（1）求心BAD的度数:

（2）求表4c的长（最后结果精确到0.1m）.（参考数据：sin37。建，cos37°tan370

冬至正午阳光受至正午阳光

CD

20.解：(1)0c=84。，ZABC=37°,

答：乙BAD的度数是47°;

(2)在RIAABC中，lan乙480tan37°=—

tan37"

在RIA4QC中，DC=

tanZ.ADCtan84°'

•：BD=4,

•••BC-DC==BD=4,

tan370tan84°

47

」•卢一》八4,

•••A03.3m,

二表AC的长是3.3m.

21.某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并

且多买都有一定的优惠.各商场的优惠条件如卜.表所示：

商场优惠条件

甲商场第一台按原价收费，其余的每台优惠25%

乙商场每台优惠20%

(1)设学校购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为r元，选择乙商场时，所需费用为”

元，请分别求出yi,丁2与k之间的关系式；

(2)什么情况F,两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况F,

到乙商场购买更优惠？

(3)现在因为急需电脑，计划从甲乙两商场一共买入10台，已知甲商场的运费为每台50

元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为W元，从甲商场购买。台电脑，在甲商场的库存

只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？

21.解：(1)y\=6000+(1-25%)X6000(JT-1)=4500x+150();

>7=(1-20%)X6000X=4800X;

(2)设学校购买x台电脑，若两家商场收费相同，

贝I」450Qr+1500=4800x,

解得工=5,

即当购买5台电脑时，两家商场的收费相同；

若到甲商场购买更优惠，

则4500A+1500<4800X,

解得x〉5,

即当购买电脑台数大于5时，到甲商场购买更优惠；

若到乙商场购买更优惠，

则4500x+1500>4800x,

解得x<5,

即当购买电脑台数小于5时，到乙商场购买更优惠；

(3)根据题意，得卬=50。+(10-。)60=600-10。，

v-10<0,

当〃取最大时，费用最小，

一甲商场只有4台，

・••〃取4时，总费用最少，此时卬=600-40=560,

即从甲商场买4台，从乙商场买6台时，总运费最少，最少运费是560元.

22.【生活情境】

为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AO=4m,宽A8=Im的矩形水

池A8CO进行加长改造(如图①，改造后的水池A3NM仍为矩形，以下简称水池1),同

时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFG”(如图②，以下简称水池2).

【建立模型】

如昊设水池1的边加长长度DM为x(m)(x>0),加长后水池1的总面积为丫式62),

则yi关于x的函数表达式为yi=x+4(»());设水池2的边EF的长为x(m)(0<x<

2

6),面积为y2(m),则》关于x的函数表达式为y2=Q/+bx(0Vx<6),上述两个函数

在同一平面面角坐标系中的图象如图③.

【问题解决】

(1)求”关于X的函数表达式；

(2)在l<x<4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；

(3)假设水池A8C3的边AO的长度为〃(m),其他条件不变(这个加长改造后的新水池简

称水池3),则水池3的总面积丫3(m2)关于x(m)履〉0)的函数表达式为y3=x+b(x>

0).若水池3与水池2的面积相等时，x(m)有唯一值，求8的值.

EH

BCNFG

图①图②

22.解：⑴由图象得，yi=.r+4(x>0)经过点C,E,

•・•点C的横坐标为1,点七的横坐标为4,

•,・当工=1时，yi=5,当x=4时，yi=8,

・・・。(1,5),E(4,8),

v了2=。产+b%(0V%V6)经过点C(1,5),E(4,8),

将点C、E的坐标代入，*黑a，

解得｛言，

・W2关于x的函数表达式为N2=—X2+6X(0<X<6);

(2)如图，在抛物线上的CE段上任取一点七过点尸作RSIIy轴交线段CE■于点G,

则线段FG表示两个水池面积差，

设?("?,-/T?2+6W),则G(/〃，〃?+4),1</«<4,

­-FG=(­/W2+6/H)—(/M+4)=—"P+56—4=—(/n--)2+-,

24

v-l<0,

・•・当"z时，R7有最大值，最大值为*

.•.在1＜工＜4范围内、两个水池面积差的最大值为之此时x的值为:：

42

(3)•.•水池3与水池2的面积相等，

•••)3二”，

即x+b=-X2+6X,

•••x.5x+0=0,

••・若水池3与水池2的面积相等时，工(m)有唯一值，

—4〃c=(-5)2-4x1x0=(),

解得b=今

4

.•・若水池3与水池2的面积相等时，工(m)有唯一值，〃的值为

4

23.(1)【观察发现】如图①，在5x6的正方形网格中，点A、B、C、。为格点，AB交CD

于点M.为了求乙4MC的度数，我们可以向右平移线段AB,使得点B与点。重合，点A的对

应点为点£连接CE,则乙4MC的度数为一;

(2)【探究迁移】如图②，正方形ABCQ的CO边上有一动点E