北京市北京四中七年级下册数学期末试卷复习练习(含答案)

北京市北京四中七年级下册数学期末试卷复习练习(Word版含答案)

一、解答题

1.如图，直线HO〃G£,点A在直线HD上，点C在直线GE上，点8在直线HD、GE之

(2)如图2,AF平分NHW8,BCFCG,NBCG=20°,比较N8,NF的大小；

(3)如图3,点P是线段48上一点，P/V平分NAPC,CN平分NPCE,探究/从4P和NN

的数量关系，并说明理由.

2.如图1,已知直线mil",A8是一个平面镜，光线从直线m上的点0射出，在平面镜

AB上经点P反射后，到达直线，上的点Q.我们称0P为入射光线，PQ为反射光线，镜面

反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即

NOPA=NQPB.

图1图2图3

(1)如图1，若NOPQ=82。，求N。%的度数；

(2)如图2,若NAOP=43。，N8QP=49。，求N。%的度数;

(3)如图3,再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和〃上，另一块在两直线之

间，四块平面镜构成四边形488,光线从点。以适当的角度射出后，其传播路径为

。玲P玲Q玲R玲。玲P3...试判断NOPQ和NORQ的数量关系，并说明理由.

3.已知AB//CD,定点E,产分别在直线AB,CO上，在平行线A8,C。之间有一动点

EB

CFD

备用图1

[EB

D

D

备用图3

备用图2

（1）如图1所示时，试问NAEP,/EPF,/PR7满足怎样的数量关系?并说明理由.

（2）除了（1）的结论外，试问ZAEP,/EPF,/尸尸。还可能满足怎样的数量关系?请画

图并证明

（3）当下满足0°vN£PFv180°,且。用，。尸分别平分NP必和N尸产”

①若NE尸产=60。，则/

②猜想与NEQb的数量关系.（直接写出结论）

4.问题情境：

如图1,ABWCD,ZPAB=130°,NPCD=120。.求NAPC的度数.小明的思路是：过P作

PEWAB,通过平行线性质，可得/APC=/4P£+NCPE=50°+60°=110°.

问题解决：

（1）如图2,A8IICD,直线/分别与48、C。交于点M、M点P在直线/上运动，当点P

在线段A4N上运动时（不与点仞、N重合），ZPAB=a,NPCD=0,判断NAPC、（I、。之

间的数量关系并说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在线段M/V或的延长线上运动时.请直接写出

4APC、a、8之间的数量关系;

（3）如图3,A8IICD,点P是48、C。之间的一点（点P在点4、C右侧），连接力、

PC,/8AP和NOCP的平分线交于点Q.若NAPC=116。，请结合（2）中的规律，求/AQC

的度数.

（1）如图1,若BM、DM分别是NA8F和NCDF的角平分线，且N8£。=100。，求NM的

度数；

(2)如图2,若NABM=§NABF,ZCDM=-ZCDF,NBED=a0,求NM的度数:

（3）若NA8M=，N4BF,ZCDM=-ZCDF,请直接写出NM与/8£。之间的数量关系

二、解答题

6.已知直线A8〃C。，M,N分别为直线A3,。。上的两点且NMN/）=70。，P为直线

。。上的一个动点.类似于平面镜成像，点N关于镜面〃尸所成的镜像为点Q,此时

NNMP=NQMP、NNPM=4QPM、/MNP=NMQP.

AB

CZV1D

NP

（图2）

（1）当点P在N右侧时：

①若镜像Q点刚好落在直线A4上（如图1）,判断直线MN与直线PQ的位置关系，并说

明理由；

②若镜像Q点落在直线与8之间（如图2）,直接写出/8MQ与/力尸。之间的数量

关系：

（2）若镜像PQLCD,求/4MQ的度数.

7.如图，A8_L4G点4在直线MN上，A8、AK分别与直线EF交于点8、C,

ZMAB+NKCF=90°.

（2）如图2,N岫8与NECK的角平分线交于点G,求NG的度数；

（3）如图3,在NM48内作射线4Q,使N/VMQ=2/Q48,以点C为端点作射线CP,交直

缱4Q于点丁，当NC以=60。时，直接写出NFCP与NACP的关系式.

8.（感知）如图①，48〃CO,NA£P=40,NPa=130‘，求N£P尸的度数.小明想到了

以下方法：

pp

图①图②图③

解：如图①，过点尸作月W//人8,

.•.N1=a4稗=40（两直线平行，内错角相等）

QAB//CD（已知），

:.PM//CD（平行于同一条直线的两直线平行），

.•.N2+NP尸£>=180°（两直线平行,同旁内角互补）.

•・・NP尸。=130°（已知），

/.Z2=180-1300=501（等式的性质）.

.•.Nl+N2=40+50=90（等式的性质）.

即NE/于=90"（等量代换）.

（探究）如图②，ABUCD,ZAEP=50,ZPFC=120\求N£P/的度数.

（应用）如图③所示，在（探究）的条件下，NP£4的平分线和NPFC的平分线交于点

G,则NG的度数是\

9.已知：AABC和同一平面内的点O.

（1）如图1,点。在3c边上，过。作OE〃加交AC于E,DF//CA交AB于F.根据题

意，在图1中补全图形，请写出厅与NBAC的数量关系，并说明理由：

（2）如图2,点。在8c的延长线上，DF//CA,NEDF=N84C.请判断OE与珈的位

置关系，并说明理由.

（3）如图3,点。是△八6c外部的一个动点.过。作比//84交直线AC于E,DF7/C4交

直线A8于广，直接写出/£7）”与的C的数量关系，并在图3中补全图形.

（2）如图2,过点A作BC的平行线交CE于点H,CF平分/ECD,FA平分/HAD,若

NBAD=70°,求NF的度数.

（3）如图3,AH//BD,G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分/QGD交AH于R,QN

平分NAQG交AH于N,QM//GR,猜想NMQN与NACB的关系，说明理由.

三、解答题

11.在AA8c中，射线4G平分N8AC交8c于点G,点D在8c边上运动(不与点G重

合)，过点。作以:llAC交48于点上.

(1)如图1,点D在线段CG上运动时，DF平分NEDB

①若NBAC=100°,ZC=30°,则/AFD=；若/B=40。，则/AFD=；

②试探究/AFD与/B之间的数量关系？请说明理由；

(2)点D在线段BG上运动时，ZBDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究

NAFD与NB之间的数量关系，并说明理由

12.如图，已知直线allb,ZABC=100°,BD平分NABC交直线a于点D,线段EF在线段

AB的左侧，线段EF沿射线AD的方向平移，在平移的过程中BD所在的直线与EF所在的

直线交于点P.问N1的度数与/EPB的度数又怎样的关系？

(特殊化)

(1)当N1=40。，交点P在直线a、直线b之间，求NEPB的度数;

(2)当N1=70。，求NEPB的度数:

D

（一般化）

（3）当Nl=n。，求NEPB的度数（直接用含n的代数式表示）.

13.问题情境：如图1.ABHCD,ZPAB=130°,ZPCD=120°.求/APC度数.

小明的思路是：如图2,过P作PEIIAB,通过平行线性质，可得/APC=5（T+60o=110。.

问题迁移：

⑴如图3,ADIIBC,点P在射线0M上运动，当点P在A、B两点之间运动时，

ZADP=Za,ZBCP=Z0.ZCPD、Na、N。之间有何数量关系？请说明理由；

⑵在⑴的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、0三点不重合），请

你直接写出/CPD、/a、间的数量关系.

14.直线M/V与直线PQ垂直相交于0,点八在射线0P上运动，点8在射线0M上运

动力、8不与点。重合，如图1,已知ZC、8c分别是N84P和NA8M角的平分线，

（1）点48在运动的过程中，NACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；

若不发生变化，试求出/ACB的大小.

（2）如图2,将△ABC沿直线48折叠，若点C落在直线PQ上，则/八8。=.

如图3,将△ABC沿直线46折叠，若点C落在直线ZWN上，则N480=

（3）如图4,延长至G,已知NM。、NOAG的角平分线与N80Q的角平分线及其反

3

向延长线交于£、F,则NE4F=.；在AAEF中，如果有一个角是另一个角的彳倍，求N4B0

的度数.

15.已知八8//CD,点E是平面内一点，N的角平分线与N48E的角平分线交于点F.

(1)若点E的位置如图1所示.

①若/ABE=6Q°,ZCDE=30°,则NF=°；

②探尢N卜与/BLD的数量关系并证明你的结论；

(2)若点E的位置如图2所示，/F与N8ED满足的数量关系式是一.

(3)若点E的位置如图3所示，NCDE为锐角，且42；//+45。，设NF=a,则a的取

值范围为.

【参考答案】

一、解答题

1.(1)ZABC=100°：：2)ZABC>ZAFC；(3)ZK=900-ZHAP；理由见解析.

【分析】

(1)过点B作BMHD,则HDGEBM,根据平行线的性质求得/ABM与NCBM,便可求得

最后

解析：(1)N48C=100°；(2)ZABC>ZAFC：(3)//V=90°NHAP；理由见解

析.

【分析】

(1)过点8作8M〃HD,则HD〃GE〃8M,根据平行线的性质求得/48M与/C8M,便可

求得最后结果；

(2)过8作8P〃/70〃GE,过F作FQ〃HD〃GE,由平行线的性质得，NA8C=

ZHAB+ZBCG,ZAFC=ZHAF+ZFCG,由角平分线的性质和已知角的度数分别求得

zHAF,ZFCG,最后便可求得结果；

(3)过P作PK//HDHGE,先由平行线的性质证明NA8C=NHA8+N8CG,乙AFC=

NHAF+NFCG,再根据角平分线求得/NPC与NPCN,由后由三角形内角和定理便可求得结

果.

【详解】

解：(1)过点B作8M〃H。，则HD//GE//BM,如图1,

图1

/.Z48M=180°-ZDAB,ZCBM=ABCG,

•「N048=120°,ZBCG=40°,

Z48M=60°,ZCBM=40°,

Z48C=NABM+Z.C8M=100°：

(2)过B作BP"HD〃GE,过F作FQHHD"GE,如图2,

图2

ZABP=4HAB,ZCBP=NBCG,ZAFQ=NHAF,ZCFQ=ZFCG,

：.ZABC=Z.HAB+4BCG,ZAFC=/HAF+4FCG,

ZDAB=12Q°,

ZHAB=130°-Z048=60°,

AF平分/HAB,BC平分NFCG,Z8CG=20。，

ZHAF=30°,NFCG=40°,

/.Z八8c=60°+20°=80°,Z"C=30°+40°=70°,

：.^ABOAAFC：

(3)过P作PK//HD//GE,如图3,

二々APK=4HAP,ZCPK=Z.PCG,

：.ZAPC=ZHAP+Z.PCG,

1/PN平分/APC,

ZNPCHAP+PCG,

二2N上2

■：ZPCE=1800-ZPCG,CN平分NPCE,

...ZPCN=90°-PCG,

・「ZA/+ZNPC+NPC/V=180%

ZA/=180°-NHAP-^-ZPCG-90°+^ZPCG=90°-HAP,

L2222

即：ZN=90°--J-ZHAP.

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，平行线性质和判定：两直线平行，同位角相等；两直线平

行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，

注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本

题的难点.

2.(1)49°,(2)44°,(3)ZOPQ=ZORQ

【分析】

(1)根据NOPA=NQPB.可求出NOPA的度数；

(2)由/AOP=43。，NBQP=49。可求出NOPQ的度数，转化为(1)来解

解析:(1)49°,(2)44°,(3)ZOPQ=ZORQ

【分析】

(1)根据NOP/UNQPB.可求出N。%的度数；

(2)由NAOP=43。，NBQP=49。可求出NOPQ的度数，转化为(1)来解决问题；

(3)由(2)推理可知：/OPQ=N40P+N8QP,ZORQ=ZDOR+ARQC,从而

ZOPQ=ZORQ.

【详解】

解：(1);NOR4=ZQPB,ZOPQ=82°,

：.ZOPA=(180°-ZOPQ)xi=(180°-82°)xi=49°,

(2)作PCIIm,

*.*miln,

mWPCIIn,

/.ZAOP=NOPC=43°,

Z8QP=NQPC=49°,

/.ZOPQ=ZOPC+NQPC=430+49°=92°,

ZOPA=(180°-ZOPQ)xi=(180°-92°)x；44。，

m

QBn

图2

(3)ZOPQ=ZORQ.

理由如下：由(2)可知：ZOPQ=Z40P+NBQP,ZORQ=NDOR+Z.RQC,

・「入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹弟，

/.ZAOP=Z.DOR,ZBQP=ZRQC,

/.ZOPQ=ZORQ.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定，解决本题的关键是注意问题的

设置环环相扣、前为后用的设置目的.

3.(1)ZAEP+ZPFC=ZEPF；(2)ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°；(3)①150°

或30；②/EPF+2ZEQF=360°或NEPF=2ZEQF

【分析】

(1)由于点是平行线，之间

解析：(1)NAEP+NPFC=4EPF；(2)ZAEP+Z.EPF+Z.PFC=360°；(3)①150°或30；

②NEPF+2NEQF=360°或NEPF=2NEQF

【分析】

(1)由于点/＞是平行线48,CO之间有一动点，因此需要对点〃的位置进行分类讨论：

如图1,当2点在E尸的左侧时，ZAEP,/EPF,NP尸。满足数量关系为：

/EPF=ZAEP+ZPFC：

(2)当P点在环的右侧时，ZAEP,NEPF,NPFC满足数量关系为：

ZAEP+ZEPF+乙PFC=360°；

(3)①若当尸点在用的左侧时，/EQF=/BEQ+NQFD=150。；当尸点在"的右侧时，

可求得/BEQ+乙QFD=300；

②结合①可得/所产=1800-2/3£0+1800-2/0广。=360。-2(/8七0+/力7)),由

ZEQF-BEQ+NDFQ,得出NEP尸+2N或乎=36()。；可得EPF=ZBEP+"FD,由

4BEQ+NDFQ=ZEQF,得出NEPF=2NEQF.

【详解】

解：(1)如图1,过点P作fG//A8,

AEB

图1

-PG//AB,

:.ZEPG=ZAEPt

AB"3,

:.PG//CDf

"FPG=』PFC,

:.ZAEP+NPFC=/EPF；

(2)如图2,当尸点在砂的右侧时，ZAEP,/EPF,NP77。满足数量关系为:

ZAEP+ZEPF+4PFC=360°；

图2

过点P作尸G//A8,

-PG//AB,

.-.ZEPG+ZAEP=180°,

AB"CD,

..PG//CD,

:.^FPG+ZPFC=\S(T,

ZA£P+Z£7犷+ZPW=360。；

(3)①如图3,若当P点在所的左侧时,

图3

vZEPF=60°,

.•.ZP£S+ZPro=360°-60o=300°,

•；EQ,尸。分别平分NP£6和NPfT),

NBEQ=-NPEB,ZQFD=-4PFD,

22

/.ZEQF=NBEQ+NQFD=g{Z.PEB+NPFD)=-x300°=150°；

22

如图4,当P点在£尸的右侧时,

图4

vZ£PF=6（r,

:.ZPEB+ZPFD=OT,

；"BEQ+4QFD=g（ZPEB-ZPFD）=x60°=30°；

故答案为：150。或30；

②由①可知：NEQF=/BEQ+/QFD=；（NPEB+/PFD）=；（360。-/EPF）,

/.NEPF+2/EQF=3600；

NEQF=NBEQ+NQFD=；（/PEB+ZPFD）=；ZEPF,

/./EPF=2/EQF.

综合以上可得Z.EPF与NEQF的数量关系为：Z.EPF+2NEQF=360°或4EPF=2/EQF.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的

度数，是解此题的关键.

4.（1）ZAPC=a+P，理由见解析；（2）NAPC二af或NAPC邛-a；（3）58°

【分析】

（1）过点P作PEIIAB,根据平行线的判定与性质即可求解；

（2）分点P在线段MN或NM的延长线

解析：（1）N4PCW+6,理由见解析；（2）/4PC=cz-6或N4PC=6r：（3）58。

【分析】

（1）过点P作P£llA8,艰据平行线的判定与性质即可求解；

（2）分点户在线段MN或NM的延长线上运动两种情况，根据平行线的判定与性质及角

的和差即可求解；

（3）过点P,Q分别作PEIIA8,QFIIAB,根据平行线的判定与性质及角的和差即可求

解.

【详解】

解：（1）如图2,过点P作PEIM8,

MB

E…女

cN'D

图2

V4611CD,

PEII4811CD,

ZAPE=a,ZCPE=6,

/.ZAPC=Z.APE+NCPE=a+&

,/ABWCD,ZPAB=a,

Z1=ZPAB=a,

1.,Z1=ZAPC+NPCD,ZPCD=6t

a=ZAPC+6,

ZAPC=a-6；

如图，在（1）的条件下，如果点P在线段A/M的延长线上运动时,

,/ABWCD,ZPCD=6,

Z2=ZPCD=6,

Z2=ZPAB+Z.APC,ZPAB=a,

7.0=a+ZAPC,

ZAPC=6-a；

（3）如图3,过点P,Q分别作PEII48,QFWAB,

B

图3

A8IICD,

4811QFIIPEWCD,

Z8Ap=4APE,ZPCD=Z.EPC,

Z4PC=116°,

ZBAP+NPCD=U6°f

AQ平分NBAP,CQ平分NPCD,

/BAQ=；NBAP,NDCQ=；NPCD,

ZB4Q+ZDCQ=y(Z8.4P+/PCD)=58°,

ABWQFIICD,

Z8AQ=NAQF,ZDCQ=ZCQF,

ZAQF+NCQF=N84Q+NOCQ=58°,

/.Z4QC=58°.

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线将两条平行线相关的角联系到一起是解趣的

关键.

5.(1)65°；(2)；(3)2nZM+ZBED=360°

【分析】

(1)首先作EGIIAB,FHIIAB,连结MF,利用立行线的性质可得

/ABE+ZCDE=260°,再利用角平分线的定义得到/ABF+

解析：(1)65°；(2)—^―；(3)2nZM+ZB£D=360°

6

【分析】

(1)首先作EGII4B,FHllAB,连结MF,利用平行线的性质可得NA8E+N8£=260。，再

利用角平分线的定义得到/A8F+/CDF=130%从而得到NBFD的度数，再根据角平分线的

定义和二角形外角的性质可求NM的度数：

(2)先由已知得到NA8E=6/48M,ZCDE=6ZCDM,由(1)得/48E+/CD£=360°-

ZBED,ZM=ZABM+NCDM,等量代换即可求解；

(3)由(2)的方法可得到的NM+N8£D=360°.

【详解】

解：(1)如图1,作EG//A5,FHUAB,连结"尸，

图1

AB//CD,

:.EG//AB//FH//CD,

ZABF=ZBFH,Z.CDF=ZDFH,Z.ABE+ZBEG=180°,ZGED+ZCDE-\^P7

/.ZABE+ZBEG+NGED+NCDE=360°,

•.ZB£D=ZBEG+ZDEG=100°,

.-.ZABE+ZCDE=260°,

NA4E和NCDE的角平分线相交于E,

.-.ZABF+ZCDF=130°,

2BFD=/BFH+4DFH=130°,

•.•BM、DM分别是ZABF和NC。/7的角平分线，

NMBF=-ZABF,NMDF=-Z.CDF,

22

BF中5DF=65。,

"MD=130°-65°=65°；

(2)如图1,•：ZABM=-ZABF,ZCDM=-ZCDFt

33

:.ZABF=3ZABM,NCDF=3/CDM,

•••ZABE与NCQE两个角的角平分线相交于点尸，

:.ZABE=6ZABM,NCDE=6NCDM,

6ZABM+6NCDM+/BED=360°,

4BMD=ZABM+NCDW,

6/BMD+/BED=360°,

360°-a°

NBMD=---------------；

6

(3)由(2)结论可得，2nZABM+2nZ.CDM+ZE=360°,NM=ZABM+/CDM,

则2〃NM+/BED=360°.

【点睛】

本题主要考杳了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等,

内错角相等，同旁内角互补的性质.

二、解答题

6.(1)①，证明见解析，②，(2)或.

【分析】

⑴①根据和镜像证出，即可判断直线与直线的位置关系，②过点Q作

QFIICD,根据平行线的性质证即可；

⑵过点Q作QFIICD,根据点P的位置不同，

解析：(1)①MNMPQ,证明见解析，②N8MQ+ZDPQ=70。，(2)160。或20。.

【分析】

⑴①根据A8//CO和镜像证出NNMP=NQ0M,即可判断直线MN与直线尸Q的位置关

系，②过点Q作QFIICD,根据平行线的性质证N8MQ+NOPQ=NMQP即可；

⑵过点Q作QFIIC。，根据点P的位置不同，分类讨论，依据平行线的性质求解即可.

【详解】

(1)①MNHPQ,

证明：:AB//CD,

4NPM=/QMP,

•「4NMP=/QMP/NPM=4QPM,

NNMP=NQPM,

MN//PQ.

②过点Q作QFIICD,

ABI/CD,

：.ABI1313,

：./BMQ=Z1,Z2=4QPD,

/BMQ+/DPQ=/MQP,

•「/MNP=/MQP=10。,

/BMQ+NDPQ=70°；

(2)如图，当点P在N右侧时，过点Q作QFIICD,

同(1)得，AB//CD//QF,

NFQP+NNPQ=180°,NFQM=NBMQ,

•「PQ±CD,

：.NNPQ=90。,

NFQP=90°,

•「4MND=NPQM=70。,

：.ZFQM=20°,

NBMQ=20。，

Q

如图，当点P在N左侧时，过点Q作QFIIC。，同(1)得，AB//CD//QF,

同理可得，NFQP=90。，

,/NMN/)=70。，

4MNP=4PQM=\\0。,

：.ZF0M=20°,

AB//QF,

/尸QM+N8MQ=180。，

/BMQ=160。；

综上，NBMQ的度数为160。或20。.

【点睛】

本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是恰当的作辅助线，熟练利用平行线的性质推

导角之间的关系.

7.(1)见解析；(2)ZCGA=45°；(3)NFCP=2NACP或

ZFCP+2ZACP=180°.

【分析】

(1)有垂直定义可得/MAB+NKCN=90。，然后根据同角的余角相等可得

ZKAN=ZK

解析：(1)见解析；(2)/CGA=45°：(3)ZFCP=2ZACPFCP+2ZACP=180°.

【分析】

(1)有垂直定义可得NMA8+NKCN=9(T,然后根据同住的余角相等可得NKA/V=NKCF,从

而判断两直线平行；

（2）设NK4心NKCF=a,过点G作GHIIEF,结合角平分线的定义和平行线的判定及性质

求解；

（3）分CP交射线AQ及射线AQ的反向延长线两种情况结合角的和差关系分类讨论求解.

【详解】

解：（1）VAB±AK

/.ZBAC=90°

/.ZMAB+^KAN=90°

ZMAB+ZKCF=9Q°

ZKAN"KCF

：.EFWMN

（2）设/KAN=Z.KCF=a

则/BAN=NBAC+Z.KAN=9Q°+a

ZKCB=1800-NKCF=180°-a

•「AG平分NNAB,CG平分/ECK

NGAN=』ZB4/V=45°4-ya,N«G=；NKCB=90°—ya

ZFCG=ZKCG+AKCF=90°+

过点G作GHIIEF

/.ZHGC=Z.FCG=90°+；Q

又〈MNWEF

/.MNWGH

：.ZHGA=Z.64/7=45。+；a

/.ZCGA=AHGC-Z.HGA=（90。+为）一（45。+l）=45°

22

ZCT4+Z7XC+ZACP=180°

/.ZCTA+ZQAB+ZBAC+^ACP=180°

又♦「NCT4=60°.N8AC-90。

ZQAB+ZACP=30°

由（1）可得：EFWMN

：./FCA=/MAC

•/ZFCP=ZFCA+ZACP

/.ZFCP=ZMAC+ZACP

ZMAC=ZMAQ+Z.QAB+Z.BAC,ZMAQ=2ZQAB

ZMAC=3NQAB+90°=3（30°-ZACP）+90°=l80°-3Z4CP

/FCP=180°-37ACP-/ACP

即NFCP+2ZACP=18Q°

②当CP交射线AQ的反向延长线于点T,延长BA交CP于点G

ZFCP=ZFCA-ZACP,由EFIIMN得NM4C=N/C4

•••ZFCP=ZMAC-ZACP

又N7XG=NQA8,ZMC4-ZC4G=180°,ZBAC=90°

/.ZC4G=180o-ZA4C=90°

ZC4T=ZCAG-^TAG=90°-NQAB

•「ZG47'+ZC7X+z64CP=180o,ZC7>l=60o

ZC4T+ZACP=120°

90°-ZQAB+ZACP=120°

ZeAB=ZACP-30°

由①可得NM4C=3ZQAB+90°

ZA^4C=3（Z4CP-30°）+90°=3ZACP

ZFCP=ZMAC-ZACP=3ZACP-ZACP=2ZACP

综上，NFCP-2NACP或NFCP+24ACP-1800.

【点睛】

本题考查平行线的判定和性质以及角的和差关系，准确理解题意，正确推理计算是解题关

键.

8.［探究］70。；［应用］35

【分析】

［探究］如图②，根据ABIICD,ZAEP=50°,ZPFC=120°,即可求NEPF的度数.

［应用］如图③所示，在［探究］的条件下，根据NPEA的平分线

解析：［探究］70。；［应用］35

【分析】

［探究］如图②，根据ABIICD,ZAEP=50°,ZPFC=120°,即可求NEPF的度数.

［应用］如图③所示，在［探究］的条件下，根据/PEA的平分线和/PFC的平分线交于点G,

可得/G的度数.

【详解】

ZMPE=ZAEP=50°（两直线平行,内错角相等）

VABHCD（已知），

APMIICD（平行于同一条直线的两直线平行），

.•.NPFC=NMPF=120。（两直线平行,内错角相等）.

ZEPF=ZMPF-MPE=120*50o=70o（等式的性质）.

答：NEPF的度数为70。；

［应用］如图③所示，

EG是/PEA的平分线,PG是/PFC的平分线，

过点G作GMIIAB,

・•.NMGE=ZAEG=25。（两直线平行，内错角相等）

VABIICD（已知），

/.GMIICD（平行于同一釜直线的两直线平行），

/.ZGFC=ZMGF=60°（两直线平行，内错角相等）.

/.ZG=ZMGF-MGE=60°-25°=35°.

答：NG的度数是35。.

故答案为：35.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定

与性质.

9.（1）图见解析，，理由见解析；（2）,理由见解析；（3）图见解析，

或.

【分析】

（1）根据平行线的画法补全图形即可得，根据平行线的性质可得，由此即可

得；

（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可

解析：（1）图见解析，ZEDF=NBAC,理由见解析；（2）DEUBA,理由见解析；

（3）图见解析，/石。/=N8AC或NEO尸+N84c=180°.

【分析】

（1）根据平行线的画法补全图形即可得，根据平行线的性质可得

AEDF=/BFD,/BFD=ABAC,由此即可得；

（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得N8AC=N88,再根据等量代换可得

AEDF=ZBOD,然后根据平行线的判定即可得：

（3）先根据点D的位置面出如图（见解析）的两种情况，再分别利用平行线的性质、对

顶角相等即可得.

【详解】

（1）由题意，补全图形如下：

/EDF=NBAC,理由如下：

DEUBA,

；2EDF=/BFD,

•:DFHCA,

：.ZBFD=ZBAC,

/./EDF=/BAC；

(2)DE//BA,理由如下：

如图，延长BA交DF于点0,

-DF//CA,

:.NBAC=NBOD,

/EDF=/BAC,

:"EDF=/BOD,

DE//BA；

（3）由题意，有以下两种情况：

①如图3-1,ZEDF=ZBAC,理由如下:

•/DEUBA,

/.ZE4-ZEAF=180°,

-DF//CA.

/.ZE+ZEDF=180°,

:.NEAF=NEDF,

由对顶角相等得：ZR4C=ZE4F,

/.4EDF=NBAC；

②如图3-2,ZEDF+ZMC=180°,理由如下:

DEUBA,

/.ZEDF+ZF=I80°,

VDF//C4,

ZI3AC=ZF,

ZEDF+ZBAC=\S00.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质等知识点，较难的是题(3),正确分两种情况讨论是解题

关键.

10.(1)证明见解析：(2)NF=55°；(3)NMQN=NACB；理由见解析.

【分析】

(1)首先根据平行线的性质得出NACE=NA,NECD=NB,然后通过等量代

换即可得出答案；

(2)首先根据角

解析：(1)证明见解析；(2)/F=55。；(3)NMQN=^NACB；理由见解析.

【分析】

(1)首先根据平行线的性质得出NACE=/A,ZECD=ZB,然后通过等量代换即可得出

答案；

(2)首先根据角平分线的定义得出NFCD=g/ECD,NHAF=^NHAD,进而得出NF=

y(ZHAD+ZECD),然后根据平行线的性质得出NHAD+NECD的度数，进而可得出答

案；

(3)根据平行线的性质及角平分线的定义得出NQGR=；NQG。，/NQG=；ZAQG,

NM0G+N0GR=18O。，再通过等量代换即可得出/MQN=gNACB.

【详解】

解：(1)VCE//AB,

ZACE=ZA,ZECD=ZB,

•••ZACD=ZACE+ZECD,

/.ZACD=ZA+ZB；

(2),/CF平分/ECD,FA平分NHAD,

/.ZFCD=yZECD,ZHAF=yZHAD,

NF=；NHAD+；NECD=；(ZHAD+ZECD),

1/CH//AB,

ZECD=ZB,

,/AH//BC,

/.ZB+ZHAB=180°,

,/ZBAD=70°,

Z£?+Z/MD=110°,

NF=J(ZB+ZHAD)=55°;

(3)ZMQN=^-ZACB,理由如下：

•.♦GR平分NQGO,

NQGR=；4QGD.

•.•GN平分乙4QG,

:"NQG=；/AQG.

QM//GR,

...NMQG+NQGR=180°.

/.ZMQN=ZMQG-ZNQG

=180°-ZQGR-ZNQG

=180°-y(ZAQG+ZQGD)

=180°-y(180°-ZCQG+1800-ZQGC)

(NCQG+NQGC)

=；NACB.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线的定义是解

题的关键.

三、解答题

11.(1)①115。；110°；②；理由见解析；(2)；理由见解析

【分析】

(1)①若NBAC=10(r,ZC=30°,由三角形内角和定理求出NB=50。，由平行

线的性质得出NEDB=ZC=30°,由

解析：(1)①115°；11C°；②44"。=90。+(/8；理由见解析；(2)

Z4FD=90°--ZB；理由见解析

2

【分析】

(1)①若NBAC=100。，NC=30。，由三角形内角和定理求出NB=50。，由平行线的性质得

出NEDB=NC=30°,由角平分线定义得出NMG=』/B4C=50。，ZFDG=-ZEDB=15°,由

22

三角形的外角性质得出NDGF=100。，再由三角形的外角性质即可得出结果；若NB=40。，则

ZBAC+ZC=180°-40o=140°,由角平分线定义得出NB4G='N8AC,NFDG'/EDB,由

22

三角形的外角性质即可得出结果；

②由①得：ZEDB=ZC,ZBAG=-Z«4C=50°,ZFDG=-ZEDB=\5°,由三角形的外角

22

性质得出/DGF=ZB+/BAG,再由三角形的外角性质即可得出结论；

(2)由(1)得：ZEDB=ZC,ABAG=-ZBACt=[/E。8=工/。,由三角形的外

222

角性质和三角形内角和定理即可得出结论.

【详解】

(1)①若NBAC=100°,ZC=30°,

贝"B=180o-1000-30o=50°,

•「DEIIAC,

ZEDB=ZC=30°,

AG平分/BAC,DF平分/EDB,

/.ZBAG=-ZBAC=50°,ZFDG=-ZEDB=\5°,

22

ZDGF=ZB+ZBAG=500+50°=100°,

ZAFD=ZDGF+ZFDG=130o+15o=115°；

若NB=40°,则NBAC+ZC=1800-40o=140°,

AG平分/BAC,DF平分/EDB,

/.NBAG=L/BAC,4FDG=L/EDB,

22

,/ZDGF=ZB+ZBAG,

ZAFD=ZDGF+ZFDG=ZB+ZBAG+ZFDG

=N3+；(/8AC+NC)

=40°+-xl400

2

=400+70。=110。

故答案为:115。；110°；

@ZAFD=90°+-ZB；

2

理由如下：由①得：ZEDB=ZC,NBAG=；NBAC,"DG=；/EDB,

•「ZDGF=ZB+ZBAG,

ZAFD=ZDGF+ZFDG

=/B+ZBAG+ZFDG

=ZB+1(ZfiAC+ZC)

=/8+；(180。-4)

=90。+，小

2

(2)如图2所示：4m=90。,4；

2

理由如下：

由(1)得：ZEDB=ZC,ZBAG=-ZBAC,ZBDH=-^EDB=-ZC,

222

,/ZAHF=ZB+ZBDH,

ZAFD=1800-ZBAG-ZAHF

=180。」ABAC-ZB-NBDH

2

=\S00--ZBAC-ZB--ZC

22

=180°-ZB--(ZBAC+ZC)

=18O°-ZB-1(18O°-Zfi)

=180°-ZB-900+-Z5

2

=90。」/8.

2

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角

形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键.

12.(1)ZEPB=170°；(2)①当交点P在直线b的下方时：NEPB=20。，

②当交点P在直线a,b之间时：NEPB=160。，③当交点P在直线a的上方

时：NEPB=N1・50。=20°；(3)①当

解析：(1)NEPB=170。；(2)①当交点P在直线b的下方时：ZEPB=20°,②当交点

P在直线a,b之间时：ZEPB=160°,③当交点P在直线a的上方时：ZEPB=Z1-50°=

20"；(3)①当交点P在直线a,b之间时：ZEPB=180u-|nu-50u|；②当交点P在直

线a上方或直线b下方时：ZEPB=|n0-50°|.

【分析】

(1)利用外角和角平分线的性质直接可求解；

(2)分三种情况讨论：①当交点P在直线b的下方时；②当交点P在直线a,b之间

时；③当交点P在直线a的上方时；分别画出图形求解；

(3)结合(2)的探究，分两种情况得到结论：①当交点P在直线a,b之间时；②当交

点P在直线a上方或直线b下方时；

【详解】

解：(1)•/BD平分NABC,

/.ZABD=ZDBC=-^ZA3c=50。，

PFB的外角,

ZEPB=ZPFB+zPBF=Z1+(180°-50°)=170°；

(2)①当交点P在直线b的下方时：

ZEPB=Z1-50°=20°：

②当交点P在直线a,b之间时:

ED

ZEPB=500+(180°-Z1;=160°；

③当交点P在直线a的上方时:

ZEPB=Z1-50°=20°；

(3)①当交点P在直线a,b之间时：ZEPB=180°-|n°-50o|；

②当交点P在直线a上方或直线b下方时：ZEPB=|n0-50°|；

【点睛】

考查知识点：平行线的性质；三角形外角性质.根据动点P的位置，分类画图，结合图形

求解是解决本题的关键.数形结合思想的运用是解题的突破口.

13.(1),理由见解析；

(2)当点P在B、。两点之间时，；

当点P在射线AM上时，.

【分析】

(1)过P作PEIIAD交CD于E,推出ADIIPEIIBC,根据平行线的性质得出

Za=ZDPE,Z|3=ZC

解析：(1)+理由见解析；

(2)当点P在8、O两点之间时，ZCPD=Za-Z/7；

当点P在射线AM上时，4CPD=40—4a.

【分析】

(1)过P作PEIIAD交CD于E,推出ADIIPEIIBC,根据平行线的性质得出Na=NDPE,

ZP=ZCPE,即可得出答案;

(2)分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、。两点之间，分别画出图

形，根据平行线的性质得出Na=NDPE,Zp=ZCPE,即可得出结论.

【详解】

解：⑴/CPD