高考数学：专题15 定积分求值问题（解析版）

专题15定积分求值问题

【高考地位】

定积分求值在高考中多以选择题、填空题类型考查，属于中低档题，其试题难度考查相对较小，重点

考查定积分儿何意义、基本性质和微枳分基本定理，注重定积分与其他知识结合如三角函数、立体几何、

解析几何等.

【方法点评】

类型一利用微积分基本定理求定积分

使用情景：一般函数类型

解题模板：第一步说算函数/（X）定义域并求出函数/（X）导函数/（X）:

第二步求方程f（x）=o根;

第三步判断了。）在方程根左、右两侧值符号;

第四步利用结论写出极值.

例1「sinxdi值为（）

A.—B.7TC.1D.2

2

【答案】D

【解析】

产.兀

试题分析:I<;inxHx——cosr

Jo0

考点：微积分基本定理.

【点评】一个函数导数是唯一，而其京函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积

分基本求定积分时，只要找到被积函数一个原函数即可，并且一般使用不含常数原函数，这样有利于计算.

【变式演练1】下列计算错误是（）

A.sinxdx=0B.yfxdx=

nn

C.j\cosxdx=2j2cosxdxD.Jsin2xdx=O

~2~n

【答案】D

【解析】

试题分析：A选项，1T万sinxdr=(-cosx)[*=0,所以A正确：B选项，£1\[xdx=—/x^=—2»所以B

3i3

、/0

正确；C选项，根据偶函数图象及定积分运算性质可知，C正确；D选项错误。

考点：定积分计算。

【变式演练2】若£=('公』火S3=1，4,则率2s3大小关系为()

A.S\<S[<S3B.S2<SX<Sy

C.S2vS3VslD.S3vS2Vsi

【答案】B

【解析】

x

试题分析：S]|J=—,S2=lnx|J=ln2,S3=e|J=^*—e:.S2<Sj<S3

考点：定积分运算

【变式演练3】(^-+4+-^^=<)

yXX~XJ

77517

A.In2H—B.In2—C.In2—D.In2----

8288

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意得「(^+1+二b丫=(皿丫-1一一L)f=in2+2.故选A.

考点：定枳分应用.

【变式演练4】若「(2无+3公=3+瓜2(。>1),则〃值是___________.

Jlx

【答案】〃=2

【解析】

试题分析：由f(2x+—)dlv=(x2+Inx)|^=«2+In67—1=34-in2,彳小“>所以a=2.

Ix[ln^=ln2

考点：定枳分运算.

【变式演练5】J：(sin.r+\)dx=

【答案】4

【解析】

试题分析：由题意得J；(sinv+\)dx=(cos%+%)巳=(cos2+2)-[cos(-2)-2]=4.

-

]aXx>0

考点：定积分计算.【变式演练6】设/(幻=|

C若/(/⑴)=1，则”

x+X”0

【答案】1

【解析】

试题分析：因为£3rdt=r牛=，，所以"1)=igi=o,/(/(I))=/(O)=a3=l,.^=l.

考点：1.函数表示：2.定积分运算.

【变式演练7】如图，阴影部分面积是()

「、35

A.2GB.5GC.—D.—

33

【答案】C

【解析】

试题分析：面积为工(3-/—2.”拄=(—1—f+3x|>y.

考点：定积分.

类型二利用定积分几何意义求定积分

使用情景：被积函数原函数不易求出

解题模板：第一步画出被积函数医像；

第二步作出直线计算函数x=a,x="y=O所围成图形：

第三步求曲边梯形面积代数和方法求定积分.

例2计算定积分£"一4公.

【答案】^+―.

32

【解析】

试题分析：该题不能直接按公式求解，从旷=/T7表示的几何意义来看半圆，所求定积分是圆心在原点

半径为2的上半个周围成的面枳.

试题解析：利用导数的几何意义知，该定积分表示的是一个圆心在原点半径为2的上半个圆围成的面积:，

结.合图像知其值为：W十

32

考点：定积分计算.

考点：定积分计算.

【变式演练8】设/(幻=1>”，产T，D,则「/(幻右值为(

)

[x2-hxe[l,2]

A,"B.工+3

232

C.岸D.2+3

434

【答案】A

【解析】

2223jr4

试题分析：J(f(x)clx=J]V1-xdx+(x-\)dx=—I+(-x一x)『=X+±,故选A.

23

考点：定积分.

【变式演练9】定积分工\/9-炉公值为()

99

A.97rB.3万C.—7tD.一乃

42

【答案】C

【解析】

试题分析：令x=3sinf,则如-x2=3cos，,ai=3cos/jw。/]，则JoJ9-Y公=9J。?cos2tdt

/\

f1+cos2/97rl.c9

=9n--------dt=——十—sm2f2=一4，故应选rC.

J。222204

\vz

考点：定积分及运算.

【变式演练io】£（忘7+工+工3）心：=_____.

【答案】—

4

【解析】

试题分析:因为I"；（Jl-x2+x+x5）&=CJl-Edx+.（%+x3^,I；（%+V）杰=[.x2+：,i_3

l0~4

fJT?去等于以原点为圆心，以1为半径的图的面积的四分之一，即为;，所以

•04

£（、/n+x+f）⑥=平，故答案为早.

考点：1、定积分应用；2、定积分几何意义.

【变式演练11】己知。＞0，（9―I），展开式常数项为15,则I(x:+X+y]4-x2)dx=_____

J-a

【答案】-+—+V3

33

【解析】

3r-6

试题分析：由（S-X）6展开式通项公式为二墨（-1）'・。6-”丁，

令二^二（），求得r=2,故常数项为C：/=I5,可得a=l,

2

因此原式为J：（f+x+j4-、）力=21（、+,4一.）公=|+与+6

考点：二项式定理；微积分基本定理

【变式演练12】己知数列｛q｝为等差数列，且％）”+生。15=[："^总女，则为“4（。刈2+2%“4+%16）值

为（）

A.穴B.2兀C.储D.4/

【答案】

【解析】C

试题分析：根据定积分网几何意义石二］表示以原点为圆心，半径为2的1个图的面积，所以

=笈,所以的013+。*15=乃，因为数列｛4｝为等差数列，所以

71，2

^2013+a2015=2a2014=^2012+°：016=71>所以4刈4（4刈：+214+的】6）=—x2〃二乃

考点：等差数列性质及定积分.

类型三导数与定积分综合应用

例3如图所示，抛物线），=1-/与X轴所围成区域是一块等待开垦土地，现计划在该区域内围出一块矩

形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上.已知工业用地每单位面积价值为3〃元

3>0），其它三个边角地块每单位面积价值a元.

（1）求等待开垦土地面积；

（2）如何确定点C位置，才能使得整块土地总价值最大.

4

【答案】（1）

3

（2）点C坐标为（二二,0）.

【解析】

试题分析：(D由于等待开垦土地是由曲线y=l-V与x轴围成的，求出曲线与x轴的交点坐标，再用定

积分就可求出此块土地的面积；(2)既然要确定点c的位置，使得整块土地总价值最大，那我们只需先设出

点、c的坐标为(X,0),然后含x的代数式表示出矩形地块ABCD,进而结合(1)的结果就可表示出其

它的三个边角地块的面积，从而就能将整块土地总价值表示成为x的函数，再利用导数求此函数的最大值

即可.

试题解析：(1)由于曲线y=l-v与X轴的交点坐标为(-1,o)和(1,0),所以所求面积

,21,14

S=£i(l-xXr=(x--^)_i=-;

4

故等待开垦土地的面积为13分

(2)设点C的坐标为(元0),则点B(x4-/)其中0<x<l,户D=2X(1-V)土地总价值

>•=3a-2x(1-x2)+41-2x(1-%)］=4ax(l-x2)+1xe(0,1),由j'=4a(l-3x:)=0得

x=W或者X=一堂(舍去)，并巨当o<x<*时，V>0,当E<x<田寸，V<0,故当X=g时.

33333

y取得最大值.答：当点c的坐标为(印：0)时，整个地块的总价值最大.

考点：1.定枳分：2.函数最值.

Cf(x)dx

【变式演练13】给定可导函数y=/(x),如果存在冬邑［小切，使得/(/)=、------成立，则称不为

b-a

函数f(x)在区间［a向上“平均值点”.

(1)函数fix)=X3-3X在区间［-2,2］上平均值点为：

⑵如果函数g(x)=V^+mx在区间［-1,1］上有两个“平均值点”，则实数加取值范围是.

【答案】(1)1；(2)——■

44

【解析】

f(x)dx

试题分析：由“平均值点”定义可得，存在切,使得A------成立，

b-a

与(胃一3%)小

=ix(Ax3--x2)|\=-x(--6)-(---6)4c4

二/(短=..七一3毛=—>

432『4333

七=;±零,.；+丝任卜冽，上誓卜22],即有在区间[-2,2]上“平均值点”的个数为1.

262626

2

[UVl-x->cmx\dxy(----r17r

由题设存在fW[ab],使得g®)：2-------=~\-71-x2+-arcsinx+-^—；&=-,

1-(-1)幺、幺22j4

所以71-V+加毛=；在[-1,1]上有两解，问题转化为X2+V=1。>0)与直线v=一，次+J有两个交

点问题，因为直线横过

考点：新定义、定枳分运用、直线与圆位置关系

【变式演练14】己知函数/(X)=MN(XHO),函数g(x)=7^-+矿(工)(工工0)

(1)当xwO时，求函数)，=g(x)表达式；

(2)若。>(),函数y=g(x)在(O、+a))上最小值是2,求。值；

97

(3)在(2)条件下，求直线>=±火+」与函数y=g(x)图象所围成图形面积.

36

【答案】(1)y=g(x)=x+-(2)«=1：(3)—+In3-21n2.

xi24

【解析】

试题分析：(1)对4取值分类讨论，化简绝对值求出f(力得到x>0和x<0导函数相等，代入到g(x)即

可：(2)根据基本不等式得到g(x)最小值即可求出。：(3)根据(2)知g(x)=x+g,首先联立直线与

函数解析式求出交点，利用定积分求出直线与函数图像围成区域面积即可.

试题解析：⑴="(xhlnkl，

••.当x>0时，/(x)=lnx,f(x)=-

x

当X<0时,f(X)=ln(-x)—(-1)=-.

-xX

.,.当XHO时，函数1y=g(x)=x+2.

X

(2)•・•由⑴知当x>0时，^(x)=x+-_,

X

.,.当a>O,x>0时，g(x)>2G当且仅当x二石时取等号.

•二函数P=g(x)在Q+x)上的最小值是2石,

意得2G=2.,.a=1.

273

y=-T•1■一r.=—x,=2

36解得.12

(3)由＜5

113y=—

y=x+—，『不、"22

27

・•・直线y=-x+—与函数y=g(x)图象所围成图形面积

36

S=J；9+令-(x+，)卜=(+ln3-21n2

2JOXJK

考点：导数及函数单调性、定积分应用.

【变式演练15】如下图，过曲线C：_>，="上一点《(0,1)作曲线C切线/。交x轴于点0(.气,0),又过Q1

作工轴垂线交曲线。于点6(4弘),然后再过4(%,V)作曲线。切线4交x轴于点0(9，0)，又过Q作

X轴垂线交曲线C于点8a2,当)，……,以此类推，过点4切线(与卸轴相交于点。向(匕+1,0)，再过

点Q用作x轴垂线交曲线C于点加(加,油(neN*).

(1)求为、0及数列｛8,｝通项公式：，⑵设曲线。与切线乙及直线所围成图形面积为S”，求S,表

达式；(3)在满足(2)条件下，若数列｛SJ前〃项和为7；,求证：冬<&(〃£*).

。一2I

【答案】(1)玉=-1,乂=-2,七=一〃：(2)-------：(3)见解析.

2een

【解析】

试题分析：⑴利用导数求直线切线，。和切线4的方程，从而易得不，巧的值，再得直线4的方程，知点

0AI(/口0)在直线乙上，所以与既得通项公式；⑵观察图形利用定积分求反表达式；⑶

分别求得争及归■表达式，再用数学归纳法、二项式定理及导数的方法证明即可.

Tn/

试题解析：⑴由卜'=/,设直线4的斜率为左,则七=.

・•・直线/。的方程为y=x+l.令丁=0,得毛=一1,

v'j=ez-=-,7j(-L-)..".k1==-.

eee

・••直线4方程为y—2=」(x+l).令y=O,得元=-2.

ee

一般地，直线ln方程为y-八=""(r-.rj,

由于点Q」(5+i,0)在直线ln上，；.乙+i-A；=-l.

・••数列｛%是首项为-1,公差为-1等差数列..♦•天=—〃.

f—/tI.一“I.I

⑵s“=L/-/=（-"）-y

e-21

~,7-

e-2（11IAe-2

（3）证明：T„=—-4+4-+-+-T=—____J=e2_j

"2eU/enJ2e112e（"l）e

.・.也=工=*1=1+4,/=3=1+L

Tn[_J_ddx”-〃〃

要证明乙<土工，只要证明一二一<，,即只要证明e"i>(e-l]〃+e.

T”Ae*-en

证法1：(数学归纳法)

①当〃=1时，显然(。-1)2>0o/>2/?-1o胃>(。-1)+2成立；

②假设〃时，/">3—1)左+6成立，贝“当〃=左+1时，e^2=e*e^1>4(e-l)^+e],

而e[(e-l)k+e]-[(e-1X^+1)+e]=(e-1)2(A:+1)>0,

二々e-1此+e>(e-lX左+l)+e，二e"2>(e-lXk+D+e，

〃二女+1时，也成立，由①②知不等式•<殳•对一切卸eN.都成立.

证法2：e向=[l+(e-l)r+l=%+1(e-1)+…+C；：(e-1严

>C，+Cl(e-1)=1+(〃+l)(e-1)=(e-\)n+e.

Tx

所以不等式始■<—对一切〃GN’都成立.

TnXn

证法3:令/(x)="+i_(e_l)xj,则/(x)="+i-«-1),

A+l

当x>0时，/(x)=e-(e-l)>^-(e-l)=1>0.

・,.函数〃x)在(0,”)上单调递增.工当工>0时，/(x)>/(())=0.

Vne.\*,：.f(??)>0.即e"”一(6—1)〃一e>0.>(e-l)〃+c.

.•.不等式几±＜人±对..切〃eN*都成立.

T„%

考点：1、利用导数求切线方程；2、数列运算；3、定积分计算图形面枳.

【高考再现】

1.【2015高考湖南，理11】il（x-\）dx=.

【答案】0.

【解析】

试题分析：^(x-l)t&=(ix2-x)c=0.

【考点定位】定积分的计算.

【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通

常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.

2.12015高考天津，理11】曲线)，=/与直线),二工所围成封闭图形面积为.

【答案】-

6

「2

【解析】在同一坐标系内作出两个跚的图象，解议程组'='得两曲线的交点坐标为(0,0),(1,I),由

图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积

【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分几何意义体现数形结合典型示范，既考查微

积分基本思想又考查了学生作图、识图能力以及运算能力.

3.12015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型

(图中虚线表示)，则原始最大流量与当前最大流量比值为.

【答案】1.2

【解析】建立空间直角坐标系，如图所示:

尸

原始的最大流量是：x(10+10-2x2)x2=16,设抛物线的方程为/=2Q(A>0)，因为该抛

物线过点(5,2),所以2Px2=夕，解得p=?,所以/即所以当前最大流量是

4225

.〔512一根亡产=产一卷,)良=1产5-卷*5，厂［2乂(一5)-卷乂(一5)3=手，故原始的最大滂

量与当前最大流量的比值是?=1.2,所以答案应填：1-2.

T

【考点定位】1、定积分；2、抛物线方程；3、定积分几何意义.

【名师点哨】本题主要考查是定枳分、抛物线方程和定积分几何意义，属于难题.解题时一定要抓住重要

字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误.解本题需要掌握知识点是定积分几何意义，即由直线x=a,

x=b,y=0和曲线y=/(x)所围成曲边梯形面积是£7(x)公.

【反馈练习】

1.【2015-2016学年山东省济南一中高二下期末数学试卷，理13】由曲线)，=4，直线y=x—2及)，轴

所围成图形面积为_______.

a1()

【答案】—

3

【解析】

试题分析：很容易算出y=JI与x轴0cxv4围成面积为5=，4公=：工5：=与.结合图形可知所

求图形面积为3—'X2X2=W,所以应填答案W.

3233

考点：定积分及运用.

2.[2015-2016学年吉林省松原油田高中高二下期末数学卷，理8]已知/Xx)=(一"'三,则

1(O<x<1)

值为()

3244

A.-B.--C.--D.-

2333

【答案】D

【解析】

试题分析：J1]y(x)rZv=+1k氏=--^3|_1+1=—>故选【工

11033

考点：定积分计算.

3.[2015-2016学年山东省曲阜师大附中高二下4月月考理数学试卷，理10]定义

min{a,/?}设『(x)=mn,则由函数/(1)图象与x轴、直线x=2所网成封闭图形

面积为()

A.—B.—C.—+ln2[).—+In2

121236

【答案】C

【解析】

x2,0<x<l

试题分析:由题可知为取小函数：贝0/(x)=S1-,则求面积可运用定积分,

lx

〕¥*+d*=(#*+(1nx)|；=

-+ln2

3

考点：分段函数与定积分运算.

4.[2016届湖南师大附中高三上学期月考六数学试卷，理12]对于区间可上函数/(x),若存在

e[ayb],使得/(,")=1&成立，则称/为函数/“)在区间[。，以上一个''积分点:那么函

数/(.¥)=cos(2x+?在区间

(),9上“积分点”为()

2

C冗r5万

A.2B.-C.—D.—

64312

【答案】B

【解析】

试题分析：因为f，cos（2x+^b=，sin（2x+X1%

J。I6/2I6）。

则2x0+gwg,7,所以2用+2二三，即

贝Ji/(x0)=因为X（）£0,y

66663

=—,选B.

04

考点：1、定积分；2、三角函数性质.

5.[2015-2016学年湖南五市十校教改共同体高二下期末数学试卷，理8]如图，设区域

D={（x,刈OWxWl,0（忘1},向区域内随机投一点，旦投入到区域内任一点都是等可能，则点落到由曲

【答案】B

【解析】

试题分析：图中阴影面积可以用定积分计算求出，即C（6-/汝二：'|x7—X3=1,正方形OABC

的面积为1,所以根据几何概型面积计算公式可知，点落到阴影区域内的概率为尸=!。

3

考点：1.定积分应用；2.几何概型。

6.[2017届河北衡水中学高三上学期一调考试数学试卷，理7】由曲线y=J7,直线y=x-2及），轴所

围成图形面积为（）

【答案】C

【解析】

试题分析：由方程组卜二«,解得x=l或x=4,所以所围成图形面积为

|y=/-2

S=J：[«_(丫一?Wx=(-J--X2+2x)|>—.故选C.

।323

考点：定积分求解曲边形面枳.

7.[2017届河南新乡一中高三9月月考数学试卷，理8】定积分J"sinx—cosx|公值是()

A.2+>/2B.2-V2C.2D.2也

【答案】D

【解析】

试题分析：Jo|sinx-cosx|(cosx-sinx)ax4-(cosx-sinx)<&

=(sinx+cosx)|J+(-sinx-cosx)|：=2jl,故选D.

考点：定积分应用.

8.[2015-2016学年福建晋江平山中学高二下学期期中数学试卷，理14]£y]\-x2dx-sinxdx=_

【答案】--2

4

【解析】

1-

试题分析：由题：£>l\-x~dx=,JJsinxdx=—cosx|=-(-1-1)=2,£yjx-xJosin.rdv=-^--2.

(注意定积分几何意义。)

考点：定积分运算及几何意义.

9.[2016届天津市和平区高三第四次模拟数学试卷，理14]设函数/("=以2+1,若

£J\x)dx=e[0,1],则凝值为______.

【答案】4

【解析】

试题分析：212则婷」,所

f/(x)^=pax+l)d^=—+x=-+l=/(x0)=ar0+l,XOG[OJ],

。333

以"c=・§・

考点：定积分

10.[2016届湖南省高考冲刺卷(三)数学卷，理13】J%(l+cosx〉a=.

2

【答案】乃+2

【解析】

试题分析：|*,(l+cosx)dbc=(x+sinx):^=^+2

考点：定积分

11.[2015-2016学年天津静海县一中五校高二下期末数学试卷，理13]曲线)，=/-1与直线x=2,y=O

所围成区域面积为.

4

【答案】-

【解析】

2,23-1?44

试题分析：S=\f(x2-\)cbc=----一(2-1)=-,故应填士.

333

考点：定积分计算公式及运用.

x+l(x<0)

12.【2016届天津市耀华中学高三一模考试数学试卷，理16]若函数/(x)=♦/乃)，则/(工)

cosxI0W人W~~

I2)

与x轴围成封闭图形面积为.

3

【答案】-

2

【解析】

三7

：)