初中数学60个几何模型专题复习：模型 13“中位线”模型

模型13“中位线”模型

模型展现

基础模型

类型三角形中位线梯形中位线

AD

图示zAE[brA

Bc

BC

特点D,E分别为AB,AC的中点AD//BC,E,F分别为梯形两腰AB,CD的中点

结论DE/7BC,DE=BC,SA/\DE=SA△BCEF〃AD〃BC,EF=(AD+BC)

结论分析

结论：DEBC.DE=\BC,SADE=\SABC

证明:如图.延长DE至点F,使EF=DE,连接CF,

在AADE-^ACFE中，

AE=CE,

/.AED=Z.CEF,

DE=FE,

•••△ADEg/\CFE(SAS),

：・CF=AD=BD,ZA=ZECF,

•••CF〃BD,CF=BD,

・•・四边形BCFD是平行四边形，

：.DEBC,DE=\BC.

•••△ADESAABC,

:'SADE'SABC=(^)=；，

_i

、cADE=c

怎么用

1.找模型

遇到两个及以上中点，考虑用“中位线”模型

2.用模型

遇到三角形中位线可想到平行于第三边，且等于第三边的一半,从而解决线段数量或位置关系问题.（三角形中

位线是一种特殊的相似，也可利用相似解决问题）

思考延伸

梯形中位线的证明：如图，连接AF,并延长交BC的延长线于点G,利用全等三角形的判定与性质及中位线

的性质求证即可，赶快和同学们一起试试吧.

拓展方向：中位线常见的构造方法

中位线常见的构造方法

条件已知点D是AB的中点

取AC中点E,连接DE（过点D作DE〃BC交A过点B作BE〃CD交AC的延长线于点E（或延

作法

C于点E）长AC至点E,使得CE=AC.连接BE）

A

A

图示

BC三

BE

满分技法

中位线构造方法常在几何综合题中应用，解决线段数量或位置关系问题.

模型典例

例1如图.在^ABC中,D,E分别是AB.AC的中点,F是BD的中点，连接EF并延长交CB的延长线于点G,若

△BFG的面积为6.则△ABC的面积为

A.30B.36C.42D.48

例2模型构造如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,BD=12,则EF的长为

例2题图

针对训练

1.如图、在△ABC中点F在BC上,AC二CF,CD_LAF,垂足为D,E为AB的中点,AC=6,BC=10,则ED的长为

A.4B.3C.1D.2

2.如图.在△ABC中,D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点.若△ABC的周长为24必DEF的周长为

第2题图

3.如图.AD是^ABC的中线,E是AD的中点，延长CE交AB于点F,若AB=2,则AF的长为

第3题图

4.如图在等腰梯形ABCD中,AD〃BC.AB=CD,对角线AC1BD于点O,G.H分别是AB,CD的中点,若梯形的高

h=8厕GH的长为

第4题图

5拔高问题探究

如图①，在△ABC中,AF,BE分别是BC,ACi力上的中线，目相交干点P,记AB=c.BC=a,AC=b.

(1球证:AP=2PF,BP=2PE;

(2)如图②，若AF1BE于点P.试探究a,b,c之间的数量关系；

拓展延伸

(3)如图③.在口ABCD中点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点.BE1EG,AD=4遍,AB=6,求AF的长.

图①

AB

图②

图③

第5题图

模型13“中位线”模型

模型典例

例ID【解析】如解图，连接BE.；D,E分别是AB,AC的中点,••・DE〃BG,BC=2DE,，NDEF=/G,TF是BD

的中点，DF=BF,又丁ZDFE=ZBFG,/.ADFE^ABFG(AAS),/.SADFE=SABFC=SABFE=6(三角形中线的性

质)…SADE=SDBE=SBFE+SDFE=12,•••聋=偿)=；,•••S.c=^SADE=48.

例1题解图

例26【解析】如解图，连接AC,V四边形AB-CD是矩形,・・・AC=BD=12,・・・E,F分别是AB,BC的中点,:.EF=\

4

针对训练

1.D【解析】•/CD_LAF,AOCF,・・・AD=DF,：AC=CF=6,BC=ia.，.BF=BC-CF=4「・,AD=DF,E是AB的中点［三

角形中位线模型|,.，ED=38F=2.

2/。【解析】•・•点D,E,F分别是△ABC的AB.BCCA边的中点..二EF,DF,DE为AABC的中位线,:，EF=

,DF=；BC,DE=4BC的周长为a,・\AB+BC+AC=a,；.4DEF的周长为EF+DF+DE=+\AC=

十6c+AC)=^a.

3.1【解析】如解图,取CF的中点G,连接DG.•・•D,G分别为BC,CF的中点［三角形中位线模型|DG=\

Z.AEF=乙DEG

BF,DGAB,；.：乙GDE=ZFAE,^EAAEF^ADEG中，AE=DE△AEF^ADEG(ASA),AAF=DG,AAF=-

LFAE=Z.GDE

BF,vAB=2,AAF=

4.8【解析】•・•G,H分别是人8。口的中点,・・^是等腰梯形人1^口的中位线,・・.614=44)+8。)如解图,过

点D分别作DE〃AC，交BC的延长线于点E,作DF±BE于点F,VAD//BC,・••四边形ACED是平行四边形,，AD=

CE.V四边形ABCD是等腰梯形,I.BD=AC=DE.VAC±BD,.\DEADBE是等腰直角三角形.丁DF=8.

，BE=16,即AD+BC=16,/.GH=\\AD+BC)=8.

第4题解图

5.⑴证明:如解图①，取PA的中点M.PB的中点N,连接EM,MN,FN,EF.

VAE=EC,CF=FB,

：.EF//AB,EF=^AB,

'：PM=AM,PN=BN,

:.MNAB,MN=：AB,

・・・EF=MN,EF〃MN,

・•.四边形EFNM是平行四边形(有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形)，

•••PF=PM,EP=PN,

APA=2PF,PB=2PE;

c

AC

2组

ABAB

图①图②

第5题解图

(2)解:结论:(a2+b2=5c2.

理由：如解图②，连接EF.

•・•AF_LBE于点P,

，NAPE二NAPB=NBPF=NEPF=90。，

PA2+PE2=AE2,PF2+PB2=BF2,PE2+PF2=EF2,PA2+PB2=AB2,

AE2+BF2=EF2+AB2,

-EF=-AB=-c,AE=-AC=-b,BF=-BC=-a,

222222

那+；Q2=l202,

444c

•••a2+b2=5c2;

⑶解:如解图③,取AB的中点M.连接FM,AC,EF,设AF交BE于点P.

•・•四边形ABCD是平行四边形，

・・・AD〃BC,AD=BC,

AE=\AD,BF=^BC,

AAE=BF.HAE〃BF,

・•・四边形ABFE是平行四边形，

・・・AP=PF,

VAM=BM.BF=CF,