大学《高等数学》考试复习练习题及答案 (十)

习题课十

一、选择题

1.设f(x)连续，则•⑺力为(C)

(A)/⑺的一个原函数；(B)/⑺的所有原函数;

(C)/(x)的一个原函数；(D)/(x)的所有原函数。

2.若/'(sin2x,ucos2%,则/(%)=(B)

.1.212

(A)sinA——sinA+C;(B)x——x+C;

22

(C)-x2-x+C；(D)cosx-sinx+C。

2

解：令Usin?%,则有(⑺=1一乙从而r(x)=l-x,

两边求不定积分得/(x)=x-^-x2+Co

3.若/(x)=「一二力+「一^—rdt,xwO,则/。)=(B)

J01+/%1+/

(A)0；(B)—；(C)arctanx；(D)2arctanr

2o

解:•/?(幻=—^+—^―(―^)=0,・•・F(x)=C,

1+-1+(J_)2X2

XVF(l)=f1一、■力+「一二力=2arctan/1兀

0/.F(x)=­o

Joi+r~2

二、解答题

1.求函数/(x)=max{l,y}在(_/,+8)上满足/(0)=1的一个原函数

F(x)o

2

X,x<—1—x+C|,x<-1

解：/(x)=max{l,x2]=<1,x<1,b(x)=〈x+C*2，—iWxWl,

2

X,x>\

-,X〉1

令X=0,由b（幻=兀+。2和/（。）=1，得。2=1。

，当一14x41时，F(x)=x+1,

丁/。）处处可导，，/。）处处连续,

在人=—1处，丁F(-l-0)=F(-l+0)=F(-l),

=

/.——+Cj=-I+I=O=G~

在x=l处，VF(l-0)=F(l+0)=F(l),.•.l+C3=14-l=0^C3=1,

131।

一1-1―,x<-l

33

综上所述F（x）=<x+l,-1<X<1o

135

—XH—,X〉11

33

注意：分段函数在求原函数时，必须在不同区间内分别求出原函数,

然后根据原函数在整个定义域上的连续性确定各区间上的任意常数。

1,且/(o)=o,求/(x),进而求|7'(x)dx

2.设/'(Inx)=

X,}<X<4-00.J

解：设，=Inx,则x=，当0v%W1时,

-00<z<()；当1cx<+oo时，()V/V+00；

・・•加)=「；t+G9—8</vo,

/⑺=

\e,0<，<+8.ei+C*2,0<f<+g

由/（0）=0nG=。，再由/⑺在r0处的连续性及/（。）=0，得

0=/(0)=/(0+0)=l+C2=>C2=-lo

・'•爪/.fI,,-Ooo<^u<0,s从.,—而小)=x,-oo<x<0,

e"—1,0<x<+oo.

x+C,-oo<%<0,

e'—1+C,0<x<+oo.

3.已知曲线y=/(x)在任意点处的切线斜率为l)(avO),且/(x)

的极小值为2,极大值为6,求/(x)。

解：/(/)=J以(八-1)公=1/3—^^2十C,

ff(x)=ax(x-l),/"(尤)=2公一々=々(21一1),令尸(x)=0,得x=0,x=l,

・.・f\0)=-a>0,J/(0)=2为极小值;

・・・/"(2)=。<0,・・・/(2)=6为极大值。

把,f(0)=2和/(1)=6代入/。)=幺/—3/+c,得

32

2=Ca=-24

11n<,J/(%)=-8412丁+2。

6=—a——a+CC=2

32

4./'(x)在(0,+co)上连续，且对任意的正数mb,积分与。

无关，且/⑴=1,求f(X)O

»n"lb

解：设F(a)=J}(x)dx,

•//(x)在(0,+oo)上连续，且积分^hf(x)dx与a无关,

,

JF(a)=bf(ab)-f(d)=O9

在上式中令。=1,得“'s)—/(i)="s)—i=o,/s)=L

b

/.f(x)=—,xe((X+oo)o

x

三、证明题

1.设/(x)在［a,切上连续，试证：存在&£3。)，使得

rb

JQ

证：・・・/。)£。他，勿，，尸(X)=，/⑺力是/(X)的一个原函数。

・・・『八幻心=尸(切一/(。)=尸仔)6-。)=/6)(。一。)，江3切。

JQ

2.设/(x)在。1］上可微，且八%)<",/(0)=/(1)=0,试证:

：/(x)dx

­11-1

证法1:

0

11

=f12|/(x)-/(0)|^+ji|/(l)-/(x)|^

02

11

=吊/&)乂公+1|/隹2)(1-©团(0<0。/<&2<1)

2

M(l-x)dx

1

=M…[—1x252—1(八]—%)、2.<]=M/[—1+—]=——Mo

202-884

2

证法2：Cf(x)dx=Cf(x)d(x~)=(x-l)/(x)l(x-)df(x)

=-jU)r(x)ck,

wj：(x-g)/'(x)dx

储取二哈"中

<

2

四、计算下列不定积分

1.jp^dx

川2+3x

解：：_3x2仆13x公

川2十3/」用不」百?

lr17

d(3x)+—［.J(4-9x2)

2.3xJJ"9尤2+c

=—arcsin—

323

3

八rx7

2..dx

［解法1］：设x=2tanz,则dx=2sec2以74+x2=2secxo

3______

二8(0(4+凸214+X2)+C=0(4+凸5_4“+/2+。。

3823

［解法2］：设4+f=/2,则有皿=滋,

322

XX,”#一A八」

=dx=-.-xdx=----4td7t=\L(t2-4)力

,4+x27wJ?」

32

-——4/+C=—(4+x2)2-474+%2

1

［解法1］（三角代换法）

令x=sec，，dr=seer-Vantdt

seer-tan=idt=t+C=arxeos—+C,

sec，•tan，Jx

［解