高二数学选择性必修二同步检测试卷与答案解析

高二数学选择性必修二同步检测试卷全套

<4.1数列的概念》同步检测试卷

注意事项:

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签

字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、单选题

1.下列说法正确的是（）

A.数列1,3,5,7与数集｛1,3,5,7｝是一样的

B.数列1,2,3与数列3,2,1是相同的

C.数列+是递增数列

D.数列〈1+—是摆动数列

n

2.已知数列L,,则0.96是该数列的（）

234n+]

A.第20项B.第22项C.第24项D.第26项

3.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于（）

A.11B.12C.13D.14

4.已知数列（a』的通项公式a.=logm+D（n+2）,则它的前30项之积是（）

A1clog3+log32

A•一DR.□C.ODn.----2-------3-1---

55

5.己知递减数列｛aj中，a.=kn（k为常数），则实数k的取值范围是（）

A.RB.（0,+8）C.（一8,0）D.（-8,0]

6.数列｛a"｝中，①=-n'+lln,则此数列最大项是（）

A.第4项B.第6项C.第5项D.第5项和第6项

7.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步

为：

第一步：构造数列1,1,1，…，①

234n

第二步：将数列①的各项乘n,得到数歹IJ（记为）a,a2,a3,a„.

则n22时，agz+a2a3H---l-an-ian=（）

A.n"B.（n—l）2C.n（n—1）D.n（n+1）

8.由1,3,5,…，2n—1,…构成数列｛a“｝,数列｛bj满足bi=2,当n由2时,b„=abn-i,

则be的值是（）

A.9B.17C.33D.65

二、多选题

9.（多选）一个无穷数列｛aj的前三项是1,2,3,下列可以作为其通项公式的是（）

A.a„=nB.a„=n!-6n'_12n—6

c11,,1、一6

C.a“=­n2——n+1D.an=—：---------

22/?2-6n+ll

10.（多选）数列｛Fj：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列,是由十三世纪意大利

数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从

第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列｛F“｝的前n项和为S“，则下列结论正确的

是（）

A.S5=F?—1B.S5=Se—1C.S2019=F2021—1D.S2019=F2020—1

11.已知数列｛4｝的前4项为2,0,2,0,则该数列的通项公式可能为（）

Q〃为奇数

B.%=(-1严+1

2,〃为偶数

C.an=2sin——D.att=cos（n-+1

12.“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易

传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统

文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，

曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…….记

大衍数列为｛凡｝,其前n项和为S“,〃wN*,则（）

太极

fa阴

UTffl薪

MB■■MB.

7TTTTITTV

A.。20=220

%%Cl-j。20211011

C.S23=2156D.a,+/+4+■■■+%8=9800

13.己知数列｛a“｝的通项公式a.=19—2n,则使a.>0成立的最大正整数n的值为

n

14.已知数列｛aj的通项公式a“=--，则a=•an+i•a,,+2=.

15.数列｛a„｝的前n项和为U若5“+$1=211—1(11，2),且$2=3,则由+23的值为.

16.如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如

图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中0Ai=AA=A2A3=-=AIA8=1,如果把图(2)中

的直角三角形继续作下去，记OAi,0A?,…，0Ali，…的长度构成数列｛aj,则此数列的通项

公式为an=

四、解答题

17.已知数列｛%｝的前〃项和S”=32〃-1+1,

(1)求数列｛"“｝的通项公式；

(2)求数列｛%｝的前多少项和最大.

2

18.在数列｛《,｝中，an=-2n+9n+3.

(1)-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？

(2)求数列中的最大项.

19.数列｛aj相足a尸1,an+i+2a“a"j-a”=0.

(1)写出数列的前5项；

(2)由(1)写出数列｛aj的一个通项公式；

(3)实数是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？

〃〃

20.己.知数।列9《-----9---+--2k

9〃2—1

(1)求这个数列的第10项;

(2)卫98是不是该数列中的项，为什么？

101

(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；

(4)在区间内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由.

(33；

21.已知函数f(x)=x-'.数列｛a“｝满足f(an)=-2n,且a)0.求数列｛aj的通项公式.

x

22.已知数列｛aj的通项公式为a.=2(nGN*),则这个数列是否存在最大项？若存在，请

2"

求出最大项；若不存在，请说明理由.

答案解析

一、单选题

1.下列说法正确的是()

A.数列1,3,5,7与数集｛1,3,5,7｝是一样的

B.数列1,2,3与数列3,2,1是相同的

C.数列+是递增数列

D.数列卜是摆动数列

n

【答案】D

【解析】数列是有序的，而数集是无序的，所以A,B不正确；选项C中的数列是递减数列;

选项D中的数列是摆动数列.

2.已知数列,，,则0.96是该数列的()

234n+]

A.第20项B.第22项C.第24项D.第26项

【答案】C

【解析】由----=0.96,解得n=24.

〃+1

3.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x等于()

A.11B.12C.13D.14

【答案】C

【解析】观察数列可知，后一项是前两项的和，故x=5+8=13.

4.已知数列｛a0｝的通项公式a“=log«,+D(n+2),则它的前30项之积是()

log23+log3132

5

【答案】B

5

［解析】ai,a2,as....aso=1og23X1oga4Xlog（5X•••X1og3i32=1og232=1og22=5.

5.已知递减数列｛aj中，a0=kn（k为常数），则实数k的取值范围是（）

A.RB.(0,+°°)C.(-8,0)D.(-8,01

【答案】C

【解析】a„+i—a„=k(n+l)—kn=k<0.

6.数列｛a“｝中，an=—n'+lln,则此数列最大项是()

A.第4项B.第6项C.第5项D.第5项和第6项

【答案】D

（1iVI?]

【解析】a“=-=—|〃+,

I2J4

•.，nCN+,.,.当n=5或n=6时，a”取最大值.故选D.

7.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步

为:

第一步：构造数列1,--1，…，,.①

234n

第二步：将数列①的各项乘n,得到数列(记为)a”a2,山，…，a„.

则n22时，aiaz+a2a3H---Fan-ian=()

A.nJB.(n—1)“C.n(n—1)D.n(n+l)

【答案】C

【解析】由题意得a=—.k22时，a-iak=---=n21—-----|..,.n>2时，aia+aa3

kkk（k-l）k（"I女J22

8.由1,3,5,…，2n—L…构成数列⑸｝,数列｛bj满足bi=2,当n由2时,bn=abn-i,

则b6的值是（）

A.9B.17C.33D.65

【答案】C

【解析】Vbn=ab„-i,b2=abi=a2=3,b3=ab2=a3=5,bi=ab3=a5=9,b5=abt=ay=17,

b$=:abs^ai7=33.

二、多选题

9.（多选）一个无穷数列｛aj的前三项是1,2,3,下列可以作为其通项公式的是（）

32

A.an=nB.an=n—6n—12n—6

11,6

C.a,.=-n2——n+1D.

22/-6〃+l1

【答案】AD

【解析】对于A,若an=n,则ai=l,a2=2,a3=3,符合题意；对于B,若an=n'一6n°—

12n+6,则ai=-IL不符合题意：对于C,若an='n'—，n+l,当n=3时，a3=4^3,

22

不符合题意；对于D,若---------,则&=1,a2=2,a3=3,符合题意.故选A、

〃一6〃+11

D.

10.（多选）数列｛Fn｝：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利

数学家列昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从

第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列｛FJ的前n项和为权,则下列结论正确的

是（）

A.S5=F7-1B.$5=$6-1C.S2019=p2021—1D.S2019=F2020-1

【答案】AC

【解析】根据题意有Fn=FnT+FnT(n23),所以S3=E+邑+F3=1+件+F2+卜3—1=F3+F2

+F3-1=F4+F3-1=Fs—1,S4=R+S3=F.l+F5—l=Fe—1,S5=F5+S4=F5+Ffi—1=F7—1,…,

所以S2O19=F2021—1.故选A、C.

11.已知数列｛4｝的前4项为2,0,2,0,则该数列的通项公式可能为（）

0,〃为奇数

B.%=(-1尸+1

2,“为偶数

C.a„=2sin—D.an=cos(7i-1)乃+1

【答案】BD

【解析】因为数列｛%｝的前4项为2,0,2,0,

选项A：不符合题设：

选项B：a,=(-1)°+1=2,a,=(-I)'+1=0,

23

«3=(-1)+1=2,«4=(-1)+1=0,符合题设:

选项C：,ax-2sin—=2,a2=2sin^=0,

=2sin—=—2不符合题设;

2

选项D：a,=cos0+1=2,a2=cos^+1=0,

%=cos2»+l=2,/=cos3»+l=0,符合题设.故选：BD.

12.“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易

传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统

文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，

曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…….记

大衍数列为｛凡｝,其前n项和为S“,〃eN*,则（）

C.S23=2156D.Cl-)++■,■+。48=9800

【答案】BCD

【解析】根据数列前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,

I2-132-152-172-192-1

则奇数项为：-------，---，-------，

22222

22426282102

偶数项为：—--,-----，

2222---2

为奇数）

2

所以通项公式为4=（2

匕,（〃为偶数）

2

202

对于A,。20=;~=200，故A错误;

1111

=2----+-----+----+•••+

2x44x66x82020x2022

11111505

-+-----!-•・•+故B正确;

244620202022—而7

对于C»S23=(4+4+,,.23)+(“2+"4+,,42)

12+22+32+---232-12

2

由12+22+32+…〃2=心上%上1.

6

1<23(23+1)(46+1))

所以S23=彳———--------12=2156,故C正确;

216)

对于D,。2+。4+。6---。48

=2xl+2x4+2x9+---+2x242=2(12+22+---242)

-Zng+DQQ+l).。,故口正确.

6

故选：BCD

三、填空题

13.已知数列｛a“｝的通项公式a„=19-2n,贝U使a„>0成立的最大正整数n的值为

【答案】9

19

【解析】由a„=19—2n>0,得n<—.VnGN*,.'.n^9.

2

14.已知数列｛a*｝的通项公式an=--，则an•an+i•an+2=

【答案】

【解析】an•an+i•

〃+3〃+3

15.数列｛aj的前n项和为若Sn+Si=2n-l(n22),且S2=3,则a1+a3的值为,

【答案】-1

【解析】VSn+Sn-i=2n-l(n^2),令n=2,

得S2+SI=3,由$2=3得ai=Si=O,

令n=3,得S3+SZ=5,所以S3=2,

则a3=S；?—$2=—1,所以ai+a3=0+(—1)=—1.

16.如图⑴是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如

图(2)的一连串直角二角形演化而成的，其中0AI=AIA2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图(2)中

的直角三角形继续作下去，记OAi,0A2,…，0An,…的长度构成数列｛aj,则此数列的通项

公式为an=.

【答案】6

【解析】因为OAi=l,OA2—5/2,0卜3=6，…,0A,>=«,…，所以ai=l,a2=正，

四、解答题

17.已知数列｛4｝的前〃项和S,,=32〃一〃2+1,

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛4｝的前多少项和最大.

【解析】(1)当〃=1时，4=5=32-1+1=32；当〃22时，

a”=S0—=(32〃—+1)-32(〃—1)一(〃—1)+1=33-2〃；

32,72=1

所以：a=<

n33-2〃,〃22

(2)因为S“=32〃-“2+I=-(〃2—32“)+I=_(〃—16)2+257；

所以前16项的和最大.

2

18.在数列｛4｝中，an=-2n+9n+3.

(1)-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？

(2)求数列中的最大项.

【解析】(1)令4=-107,-2〃2+9〃+3=-107,2〃2一9九一110=0,

解得〃=1()或〃=一?(舍去).所以即)=一107

(qYIAc

(2)a--In2+9n+3=-2n——-\----,

I4j8

由于〃eN*，所以最大项为4=13

—

19.数列｛a“｝辆足a1=1,anti+2a,la„+ia„=0.

(1)写出数列的前5项；

(2)由(1)写出数列｛aj的一个通项公式；

(3)实数5是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？

【答案】⑴见解析(2)«„=—1—(3)50

2n-l

【解析】(1)由已知可得4=1,a,=—,%=—，4=—，%=—,

3579

(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1,分母分别为1,3,5,1,9,…，所以它的

一个通项公式为~-

2n-\

(3)令'=——,解得〃=50,故,是这个数列的第5()项.

992n-\99

9/-9/1+2

20.已知数列《

9n2-l

(1)求这个数列的第10项：

(2)卫98是不是该数列中的项，为什么？

101

(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内;

(121

(4)在区间-,一内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由.

(33；

—9〃+2

【解析】⑴设a“=f(n)=2

9/?2-1

_(3〃-1)(3〃-2)_3“一2

-(3，/-1)(3〃+1)-3〃+1•

28

令n=10,得第10项aio=f(10)=—.

31

小、人3〃一298

⑵令-----=—得9n=300.

3n+l101

98

此方程无正整数解，所以不是该数列中的项.

101

(3)证明：加二2=13

3"+13〃+1

3

且nGN,------<1,

3〃+1

.,.0<aWL.•.数列中的各项都在区间(0,1)内.

(4)令1<an=3〃-2〈2

33/2+13

7

n>―,

.j3〃+1<9〃-6,.6

[9〃-6<6〃+2,8

<一,

3

...当且仅当n=2时，上式成立，故在区间(1,2］内有数列中的项，且只有一项为也=9.

(33J7

21.己知函数f(x)=x—L.数列｛a“｝满足f(a“)=-2n,且a)0.求数列｛a.｝的通项公式.

X

【解析】Vf(x)=x——,.,.f(a„)=a„——,

xa.

19

Vf(an)=­2n./.an——=—2n,即%+2nan—1=0.

an

••8'n~~Fl\/n2+1.•a(i>0，••HnV«2+1-n.

〃2

22.己知数列｛aj的通项公式为a.=r(nCN*),则这个数列是否存在最大项？若存在，请

2"

求出最大项；若不存在，请说明理由.

122329425225

【解析】存在最大项.理由：ai=-,a2=—=l,a：i=F=—,a«=—=l,as=—

222238242532

•.•当n23时,

•*.an+i<an,即n23时，｛a„｝是递减数列.

...9

又•a<a3,az〈a3,..a”Wa3=一

8

...当n=3时，as=93为这个数列的最大项.

8

《4.2等差数列》同步检测试卷

注意事项:

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签

字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、单选题

1.在项数为2n+l的等差数列中，所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n

等于（）

A.9B.10C.11D.12

2.数列｛aj为等差数列，它的前n项和为S.,若£,=3+1）2+人，则X的值是（）

A.-2B.-1C.0D.1

3.己知等差数列｛&｝的前n项和为S“，若砺=4方+40G反，且A,B,C三点共线（该

直线不过点0）,则S须等于（）

A.100B.101C.200D.201

4.若数列｛a“｝的前n项和为S“=n'-4n+2,则|aj+|a21H--Ha/等于（）

A.15B.35C.66D.100

5.设数列｛a„｝是等差数列，若ai+a3+as=105,a2+a.i+a«=99,以S”表示｛aj的前n项和，

则使达到最大值的门是（）

A.18B.19C.20D.21

6.设等差数列｛aj的前n项和为S“，Si=—2,S,”=0,Sw+i=3,则m等于（）

A.3B.4C.5D.6

7.现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么

剩余钢管的根数为（）

A.9B.10C.19D.29

8.已知命题：”在等差数列⑸｝中，若4a2+ai0+a<）=24,则S”为定值”为真命题，由于

印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为（）

A.15B.24C.18D.28

二、多选题

9.设等差数列｛例的前n项和为S”,公差为d.己知a3=12,Si2>0,a?<0,则（）

24

A.aB>0B.--<d<-3

7

S

C.SWO时，n的最小值为13D.数列•卜中最小项为第7项

10.已知等差数列｛a』的前n项和为S“，若$7=a«,则（）

A.ai+a3=0B.as+a5=0C.Sa=S,iD.S」=Ss

11.等差数列｛%｝是递增数列，满足%=3%，前”项和为S“，下列选项正确的是（）

A.d>0B.«,<0

C.当〃=5时S,最小D.S.>0时〃的最小值为8

12.在等差数列｛%｝中每相邻两项之间都插入A（ZeN*）个数，使它们和原数列的数一起

构成一个新的等差数列｛0”｝.若为是数列｛%｝的项，则k的值可能为（）

A.1B.3C.5D.7

三、填空题

13.已知等差数列｛aj中，Sn为其前n项和，已知S3=9,a,i+a5+a6=7,则S9—S6=.

14.已知数列｛aj的前n项和Sn=n°-9n,第k项满足5VakV8,贝!Jk=.

15.若数列｛aj是等差数列，首项aKO,a203+a2（M>0,a203•a204<0,则使前n项和S<0的最

大自然数n是.

16.已知等差数列｛aj的公差公0,前n项和为Sn,且a2a3=45,S4=28.

（1）则数列｛an｝的通项公式为an=________；

（2）若（C为非零常数），且数列｛bj也是等差数列，则，=.

四、解答题

17.若等差数列瓜｝的首项a】=13,d=-4,记1\=国+|a21T-卜an|,求Tn,

18.在等差数列｛a“｝中，aw=23,a25=-22.

(1)数列｛aj前多少项和最大？

⑵求｛|a.|｝的前n项和S...

19.已知数列⑸｝的前n项和为和数列｛a,,｝为等差数列，a,=12,d=-2.

(1)求S“，并画出｛SJ(lWnW13)的图象;

(2)分别求£“｝单调递增、单调递减的n的取值范围，并求｛SJ的最大(或最小)的项:

(3)⑸｝有多少项大于零？

20.已知等差数列｛aj的前n项和Sn=r?—2n,求a?+a3—aa+as+ae.

|13

21.设是数列｛aj的前n项和且nGN*,所有项a“>0,且S„=—a：+—a”一一.

424

(1)证明：⑸｝是等差数列；

(2)求数列｛a.｝的通项公式.

22.求等差数列｛4n+l｝(lWnW200)与｛6m—3｝(lWmW200)的公共项之和.

答案解析

一、单选题

1.在项数为2n+l的等差数列中，所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n

等于()

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【解析】7^=—,,165_n+l

1•--------------------------------/.n=10,故选B.

s儡"150n

2.数列｛aj为等差数列,它的前n项和为权，若S„=(n+1)2+A,则X的值是()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】等差数列前n项和Sn的形式为S“=an2+bn,.•.入=-1.

3.己知等差数列｛aj的前n项和为S“，若砺=q砺+40G。心，且A,B,C三点共线(该

直线不过点0),则S须等于()

A.100B.101C.200D.201

【答案】A

【解析】由A,B,C三点共线得出+&。。=1,

，S200=----(ai+4200)=100.

2

4.若数列｛aj的前n项和为Sn=n2-4n+2,则a|+&+…+囱。|等于()

A.15B.35C.66D.100

【答案】C

—1n-1

【解析】易得&尸''

2n-5,n>2.

|ai|=1,|a21=L|a31=L

令a〉0则2n—5>0,An>3.

|ai|+|a21+*,,+|aioI

=1+1+@3+…+aio

=2+(Sio—S2)

=2+[(102-4X10+2)-(22-4X2+2)]=66.

5,设数列｛a｝是等差数列,若a1+a3+a5=105,a2+a,i+a«=99,以Sn表示｛aj的前n项和,

则使S“达到最大值的“是()

A.18B.19C.20D.21

【答案】C

【解析】:21+@3+国=105=3@3,

**•a3=35,

•32a,6=99=3a1,

•**a4=33,

••d—3.1—a3=-2,

an=as+(n—3)d=41—2n,

令a>0,A41-2n>0,

2

An<20.

6.设等差数列｛aj的前n项和为S“，Sm-i=-2,S.=0,S.+尸3,则m等于（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】a«=Sm—Sm-1=2,ao+i=Sm+i—Sm=3,所以公差d=am+i—④=1,由Sm="（4+q〃）

2

=0,得ai=-2,所以am=-2+（m—1）•1=2,解得m=5,故选C.

7.现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么

剩余钢管的根数为()

A.9B.10C.19D.29

【答案】B

【解析】钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1,

逐层增加1个....钢管总数为：1+2+3+…+n="(〃+l).

2

当n=19时,Si9=190.当n=20时,S2o=21O>2OO..,.n=19Bt,剩余钢管根数最少，为10

根.

8.已知命题：“在等差数列｛aj中，若4az+a.+a,)=24,则S”为定值”为真命题，由于

印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为()

A.15B.24C.18D.28

【答案】C

【解析】设括号内的数为n,则4a2+am+a(n>=24,

即6ai+(n+12)d=24.

又因为Su=llai+55d=ll(ai+5d)为定值，

所以ai+5d为定值.

所以生上=5,解得n=18.

6

二、多选题

9.设等差数列｛aj的前n项和为S“，公差为d.己知a3=12,S12>0,a7<0,则()

A.a6>0B.——<d<—3

7

C.SWO时，n的最小值为13D.数列｛口S■卜中最小项为第7项

【答案】ABCD

+6?l2

【解析】依题意得a3=a】+2d=12,ai=12—2d,Si2=X12=6(a6+a7).

2

而aKO,所以a6>0,ai>0,d<0,A选项正确.

%=4+6d=12+4d<0,

且<%=4+5d=12+3d>0,

4+%=2q+1Id=24+7d〉0,

24

解得一一<d<一3,B选项正确.

7

a+a3

由于Si3=''X13=13a7<0,而Si2>0,所以S„<0时，n的最小值为13.由上述分析可知,

2

nd[1,6]时,a„>0,n27时,a„<0；当n©[1,12]时，S„>0,当n213时,S«0.所以当nd

[7,12]时,a„<0,S„>0,工0,且当ne[7,12]时，⑸|为递增数列，S.为正数且为递减数

4

列，所以数列卜中最小项为第7项.故选A、B、C、D.

10.己知等差数列匕“｝的前n项和为S,”若Si=a“则（）

A.a】+a3=0B.33as=0C.S3=S4D.Si=Ss

【答案】BC

【解析】由ST=7（4-+"7）=7a*=a.i,得a.i=0,所以a3+as=2ai=0,S3=S,，故选B、C.

2

11.等差数列｛%｝是递增数列，满足的=3%,前〃项和为S“，下列选项正确的是（）

A.d>0B.a,<0

C.当〃=5时S,最小D.S“>0时〃的最小值为8

【答案】ABD

【解析】由题意，设等差数列｛4｝的公差为4,

因为%=3%，可得q+6d=3（4+4d）,解得q=-3d,

又由等差数列｛/｝是递增数列，可知。>0,则4<0,故A、B正确；

srdzd、dId

因m为Sa,=y«'2+（«I_22rt'-Trt，

_7J

由“一一5_7可知，当〃=3或4时S.最小，故C错误，

d2

令S“=5〃2—当〃>0,解得〃<0或〃>7,即s”>0时〃的最小值为8,故D正确.

故选：ABD.

12.在等差数列｛q｝中每相邻两项之间都插入左（keN*）个数，使它们和原数列的数一起

构成一个新的等差数列｛〃｝.若”,是数列｛q｝的项，则k的值可能为（）

A.1B.3C.5D.7

【答案】ABD

【解析】由题意得：插入々（々eN）个数，则q=4，a2=hk+2,a3=b2k+3,a4=bik+4---

所以等差数列｛4｝中的项在新的等差数列｛2｝中间隔排列，且角标是以1为首项，k+1为

公差的等差数列，所以氏="1+（〃-1）（左+1）'

因为a是数列｛%｝的项,

所以令1+(〃-1)(A+D=9,〃GN*MGN*,

当〃=2时，解得々=7,

当〃=3时，解得％=3,

当”=5时，解得左=1,

故k的值可能为1,3,7,故选：ABD

三、填空题

13.已知等差数列｛a„｝中，S”为其前n项和，已知S3=9,ai+a5+a6=7,则S»—S6=.

【答案】5

【解析】VSs,Se—S3,S9—So成等差数列，而$3=9,Se—S3—a.i+as+ae—7,.'.Ss-S（i—5.

14.已知数列｛aj的前n项和Sn=r）2—9n,第k项满足5<ak<8,贝ijk=.

【答案】8

S|("=l),

【解析】尸

S„-S„_,(n>2),

.♦.a“=2n-10.由5<2k—10<8,得7.5<kV9,又kGN*,，k=8.

15.若数列｛aj是等差数列,首项aKO,a203+a2M>0,a203•a204<0,则使前n项和SWO的最

大自然数n是.

【答案】405

【解析】由azKj+azmX）知ai+aio«>0,即S«o«>O,又由aKO且3.203•azoKO,知azo3〈O,a2（w>0,

所以公差d>0,则数列｛&｝的前203项都是负数,那么2a203=ai+am《0,所以孔£0,所以

使前n项和S„<0的最大自然数n=405.

16.己知等差数列｛aj的公差公0,前n项和为S”，且a2a尸45,S“=28.

（1）则数歹IJ｛a,,｝的通项公式为a„=；

q

（2）若（c为非零常数），且数列｛bj也是等差数列，则。=.

n+c

【答案】(l)4n—3(2)--

2

【解析】(l)：s』=28,；.(,+4)〈4=28,ai+a)=14,a2+a3=14,

2

又..”@,=45,公差d>0,

・・a2〈a3,••32=5,33=9,

4+d=5,4=1,

<解得《

a}+2d=9,d=4,

(2)由(1),知Sn=2r?—n,Abn=—―=----------

〃+c几+c

._1_6_15

••uDl---------,Uu2-----------，0u3-----------.

1+c2+c3+c

又・・•{bn}也是等差数列,

.*.bj+b3=2b2,

2+c1+c3+c

解得c=—L(c=0舍去).

2

四、解答题

17.若等差数列{&J的首项ai=13,d=-4,记Tn=等/+瓜21T-----FIan|,求Tn.

【解析】d=-4,.\an=17—4n.

当n<4时，Tn=|ai|+|a2|4------F|an|

=ai+az+…+&i

,n(n-l),…।n(n—V)/

=nai+----------d=13n+----------X(-4)

22

=15n—2n3

当n25时，Tn=|ai|+|a2|4------F|an|

=(ai+az+as+a，)—(@5+%+…+a)

=S，1—(Sn—Sa)=2S|—Sn

=2X(13+I)x4_(15n_2n2)

2

=2n-15n+56.

15/7-2n2(n<4),

2n~-15/1+56(/i>5).

18.在等差数列｛aj中，aio=23,a25=-22.

(1)数列｛aj前多少项和最大？

（2）求｛|a„|｝的前n项和S”.

4+91=23,4=50,

【解析】（1）由41得1

+24d=—22,d=-3,

an=ai+(n—l)d=­3n+53.

令a〉0,得n〈一，

3

.•.当nW17,nGN*时,a„>0；

当n》18,nGN"时，a„<0,

{aj的前17项和最大.

(2)当nW17,nWN*时，

iii।।।II।।।〃2

ai|+|a1H---1-a„=ai+az-l----Han=nai十।--(-“---1-)d,=——3n十।-]-0-3-n.

2222

当n218,nSN*时，

Iai|+|a2|+…+|an|

=ai+a2+…+a*—a*—aia—…—an

--3n-2--1-0-3n+8,8c4c.

22

3,103皿

——erd-----n,n<17,«eN*,

•»Sn—,22

3103

—n2------n+884,»>18,/ieN*,

[22

19.己知数列｛a.｝的前n项和为Sn,数列｛aj为等差数列，&=12,d=-2.

（1）求S.，并画出｛Sj（1这nW13）的图象;

（2）分别求｛&｝单调递增、单调递减的n的取值范围，并求｛&｝的最大（或最小）的项;

（3）｛SJ有多少项大于零？

【解析】（D