2023-2024学年天津市和平区数学九年级上册期末质量检测模拟试题含解析

2023・2024学年天津市和平区数学九上期末质量检测模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.方程打一1）2=0的根是（）

A.=x2=1B.x,=l,x2=0

C.=-l,x2=0D.=l,x2=-1

2.已知两个相似三角形，其中一组对应边上的高分别是2和6,那么这两个三角形的相似比为（）

1111

A.—B.—C.—D.一

2346

3.若关于x的一元二次方程"2-工+4=0有实数根，则k的取值范围是（）

A.ZW16B.k<—C.左«-!-,且攵=0D.攵W16,且左。0

1616

4.如图，0O中弦AB=8,OC±AB,垂足为E,如果CE=2,那么。O的半径长是（）

5.已知关于工的一元二次方程2丁—3/-&=0有一个根为1,则另一个根为（）

6.如图，已知ABI/CD/IEF,那么下列结论正确的是（）

V-

ADBCBCDFCL）BCCDAD

A.——=——B.——=——C.一--D.—

DFCECEADEF'BEEFAF

7.下列二次函数中，如果函数图像的对称轴是y轴,那么这个函数是（）

A.y=x24-2xB.y=x2+2x+1C.)'=丁+2D.y=(x-l)?

8.按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数()

①N2=90°；②N1=NAEC；③△ABES2XECF；④NR4£=N1.

A.1个B.2个C.1个D.4个

9.关于x的一元二次方程（工-3）（1-2）-p2=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.没有实数根

C.有两个相等的实数根D.不确定

10.如图，在A45C中，点却在上一点，下列条件中，能使4A3C与AD/K相似的是（）

A.ZBAD=ZCB.ZBAC=ZBDAC.AB2=BDBCD.AC2=CDCB

11.一组数据-3,2,2,0,2,1的众数是（）

A.-3B.2C.0D.1

12.如图，AB是。O的直径，点C在。。上，若NB=50。，则NA的度数为（）

A.80°B.60°C.40°D.50°

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，在平面直角坐标系中，直线I的函数表达式为'=%，点。的坐标为（1,0）,以。।为圆心，2。为半径画圆,

交直线/于点々，交X轴正半轴于点。?，以。2为圆心，。2。为半径的画圆，交直线/于点鸟，交X轴的正半轴于点

。3,以Q为圆心，QO为半径画圆，交直线/与点A，交大轴的正半轴于点。4，…按此做法进行下去，其中弧

巴019°2020的长为•

14.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,E是BC的中点，DE交AC于点F,则tan/BDE=,

15.已知圆锥的侧面积为圆锥的母线长8cm,则其底面半径为cm.

16.若方程/-4x+1=0的两根X，不，贝!1%(1+%)+工2的值为•

17.如图，点D在AA3C的边上，已知点E、点F分别为AABO和AADC的重心，如果BC=12,那么两个三

18.抛物线y=x2+3与y轴的交点坐标为.

三、解答题(共78分)

19.(8分)如图，已知二次函数y=ax?+bx+3的图象交x轴于点A(1,0),B(3,0),交y轴于点C.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求ABCP面积的最大值；

(3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当ABMN是等腰三角形时，直接写出m的值.

20.(8分)如图，已知抛物线产。/+加+c(〃#0)的对称轴为x=L且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,

23.（10分）如图将矩形ABC。沿CM折叠，使点。落在边上的点K处,

（1）求证：△4M£S2\8EC.

（2）若△EMCs2\AM£,求A3与5c的数量关系.

24.（10分）课外活动时间，甲、乙、丙、丁4名同学相约进行羽毛球比赛.

（1）如果将4名同学随机分成两组进行对打，求恰好选中甲乙两人对打的概率；

（2）如果确定由丁担任裁判，用“手心、手背”的方法在另三人中竞选两人进行比赛.竞选规则是：三人同时伸出“手

心”或“手背”中的一种手势，如果恰好只有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新竞选.这三人伸出“手

心”或“手背”都是随机的，求一次竞选就能确定甲、乙进行比赛的概率.

25.（12分）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩

形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长.

26.（特例感知）

（1）如图①，ZABC是。。的圆周角，BC为直径，BD平分NABC交。。于点D,CD=3,BD=4,则点D到直

线AB的距离为.

B

（类比迁移）

（2）如图②，ZABC是o。的圆周角，BC为。。的弦，BD平分/ABC交O。于点D,过点D作DEJBC,垂

足为E,探索线段AB、BE、BC之间的数量关系，并说明理由.

（问题解决）

（3）如图③，四边形ABCD为。。的内接四边形，ZABC=90°,BD平分NABC,BD=7及，AB=6,贝!J^ABC的

内心与外心之间的距离为_____.

3

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、A

【分析】利用直接开平方法进行求解即可得答案.

【详解】（X—1）2=0,

x-l=0,

/.X1=X2=1»

故选A.

【点睛】

本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择恰当的方法是解题的关键.

2、B

【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可得出结论.

【详解】解：•・•相似三角形对应高的比等于相似比

.,・相似比二;

故选B

【点睛】

此题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，熟记相关性质是解题的关键.

3、C

【分析】一元二次方程有实数根，则根的判别式且据比列不等式求解.

【详解】根据题意，得：

4=1-16攵21且％WL

解得：心!且

16

故选：C.

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式与实数根的情况，注意k于1.

4、B

【分析】连接OA,由于半径OC_LAB,利用垂径定理可知AB=2AE,设OA=OC=x,在Rt2\AOE中利用勾股定理易

求OA.

【详解】解：连接OA,

VOC±AB,

AAB=2AE=8,

AAE=4,

设OA=OC=x,贝！1OE=OC-CE=x-2

在RlAAOE由勾股定理得：

OA2=AE2+OE2

即：x2=42+(X-2)2,

解得：x=5f

故选择：B

c

【点睛】

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

5、B

3

【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，*1+、2=彳,把刈=1代入即可求出.

【详解】解:方程21—3,♦火=0有一个根是斗=1,另•一个根为9,

由根与系数关系内+马=1+工2='，即9=:

即方程另一根七是g

故选:3.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，还可根据一元二次方程根的定义先求出k的值，再解方程求另一根.

6、A

【分析】已知AB〃CD〃EF,根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可.

【详解】：AB〃CD〃EF,

.ADBC

''~DF~~CE'

故选A.

【点睛】

本题考直平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案.

7、C

【分析】由已知可知对称轴为x=0,从而确定函数解析式y=a、2+bx+c中，b=0,由选项入手即可.

【详解】二次函数的对称轴为y轴，

则函数对称轴为x=0,

即函数解析式y=ax2+bx+c中，b=0,

故选：C.

【点睛】

此题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键.

8、C

【解析】・.・N1+N1=N2,Zl+Z14-Z2=180°,

AZ1+Z1=Z2=9O°,故①正确；

VZ1+Z1=Z2,・・・N"NAEC故②不正确；

VZ1+Z1=9O°,Zl+Z^AE=90°,

；・N1=NBAE,

又•・・/△=NC,

•••△AB£SZ\ECF.故③，④正确；

故选C.

9、A

【分析】将方程化简，再根据△=〃-4〃c判断方程的根的情况.

【详解】解：原方程可化为V—5x+6—p2=0,

/.A=（—5了—4（6—犷）=1+/>o

所以原方程有两个不相等的实数根.

故选：A

【点睛】

本题考杳了一元二次方程根的情况，灵活利用」的正负进行判断是解题的关键.

当/>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个不相等的实数根；当/<0时，方程没有实数根.

10、D

【解析】

根据相似三角形的判定即可.

【详解】

二r5c与二D二苜一个公共角,即UC5=田』

要使一二5c与，D.K相似，则还需一组角对应相等，或这组相等角的两边对应成比例即可，

观察四个选项可知，选项D中的=C5,

即f正好是一rC5与4Cr的两边对应成比例，符合相似三角形的判定，

CDM.

故选：D.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键.

11、B

【解析】一组数据中出现次数最多的数据是众数，根据众数的定义进行求解即可得.

【详解】数据・3,2,2,0,2,1中，2出现了3次，出现次数最多，其余的都出现了1次，

所以这组数据的众数是2,

故选B.

【点睛】本题考查了众数的定义，熟练掌握众数的定义是解题的关键.

12、C

【解析】TAB是G)O的直径，AZC=90°,VZB=50°,AZA=90°-ZB=4()°.故选C.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、220,7^.

【分析】连接PM,M易求得2Q垂直于1轴，可得弧向为!圆的周长，再找出圆半径的规律即可

4

解题.

＜是。a上的点,

6a=oq,

直线/解析式为)'=乙

/勺0。1=45°,

.26。01为等腰直角三角形，即轴,

同理，与。〃垂直于x轴,

「.婀,心为泮的周长‘

以O1为圆心，01。为半径画圆，交M轴正半轴于点。2,以。2为圆心，。2。为半径画圆，交X轴正半轴于点。3,

以此类推，

ootl=2"T,

1

二弧加用二：2小OO”万

2-

当〃=2019时，弧％902磔=220%.

故答案为2237%

【点睛】

本题考查了圆周长的计算，考查了从图中找到圆半径规律的能力，本题中准确找到圆半径的规律是解题的关键.

1

14、-

3

AH

【分析】设AD=DC=a,根据勾股定理求出AC,易证△AFDs2\CFE,根据相似三角形的性质，可得：——=—

CFCE

=2,进而求得CF,OF的长，由锐角的正切三角函数定义，即可求解.

【详解】•・,四边形ABCD是正方形，

/.ZADC=90°,AC±BD,

设AD=DC=a,

.\AC=V2a,

6

r.OA=OC=OD=—

2

•・・E是BC的中点，

11

ACE=-BC=-a,

22

VAD//BC,

/.△AFD^ACFE,

AFAD

~CF~~CE

/.CF=-AC=—a,

33

AOF=OC-CF也

6

企

./OF_6"_1

♦♦tanNBDE=-----=―产—=—，

。。&3

——a

2

故答案为：—.

3

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定和性质定理以及正切三角函数的定义，根据题意，设AD=DC=a,表示出OF,OD

的长度，是解题的关键.

15、1

【解析】圆锥的底面圆的半径为r,利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的

半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到]xi7rXrX8=167r,解得r=L然后解关于r的方程即可.

【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r,

根据题意得LxEXrX8=167r,解得r=L

2

所以圆锥的底面圆的半径为1cm.

故答案为1.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的

母线长.

16、1

【分析】根据根与系数的关系求出％当代入即可求解•

【详解】,・,内,占是方程丁一4%+1=0的两根

.bc

/.+x-=--=4,x=—=1

ci~2a

:.%(1+r2)+r2=X1+x]x2+x2=xi+x2+xxx2=4+1=1,

故答案为：1.

【点睛】

bc

此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知百十七=一，玉"2=一的运用.

aa

17、4

【分析】连接AE并延长交3。于G,连接A尸并延长交CO于H,根据三角形的重心的概念可得。G=[80,

2

卜

DH=\cDtAE=2GEfA=2Hk,即可求出GH的长，根据对应边成比例，夹角相等可得△£工bSAGA”，

2

根据相似三角形的性质即可得答案.

【详解】如图，连接AE并延长交于G,连接AF并延长交C。于H,

•・•点E、F分别是小双)和AAC。的重心，

：.DG=-BDDH=-CDAE=2GE,AF=2HF,

2t2t

VBC=12,

：.GH=DG+DH=-(BD+CD)=-BC=-x\2=6

222t

•；AE=2GE,AF=2HF,

AEAF2

..==—,

AGAH3

•；/EAF=/GAH,

：.，

•,•EF=AE=2一,

GHAG3

:.EF=4,

故答案为：4

【点睛】

本题考查了三角形重心的概念和性质及相似三角形的判定与性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心

到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍.

18、（0,3）

【分析】由于抛物线与y轴的交点的横坐标为0,代入解析式即可求出纵坐标.

【详解】解：当x=0时，尸3,则抛物线y=x?+3与y轴交点的坐标为（0,3）,故答案为（0,3）.

【点睛】

此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与解析式的关系，利用解析式中自变量为0即可求出与y轴交点的坐标.

三、解答题（共78分）

27

19、（1）这个二次函数的表达式是y=P-4x+3；（1）SABCP«X=—:（3）当ABMN是等腰三角形时，m的值为

8

&，-&，1，1・

【解析】分析：(1)根据待定系数法，可得函数解析式；

(1)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二

次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

(3)根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案.

详解：(1)将A(1,0),B(3,0)代入函数解析式，得

a+Z?+3=0

9a+3〃+3=0'

a=\

解得，/

b=-4

这个二次函数的表达式是y=x'-4x+3；

(1)当x=0时，y=3,即点C(0,3),

设BC的表达式为y=kx+b,将点B(3,0)点C(0,3)代入函数解析式，得

3k+b=0

<b=0，

解这个方程组，得

k=-\

b=3

直线BC的解析是为y=・x+3,

过点P作「£〃丫轴

交直线BC于点E(t,-t+3),

PE=-t+3-(t,-4t+3)=-t'+3t,

SABCP=SABPE+SCPE=—(-t'+St)x3="—(t--)N-----,

2228

3327

V--<0,・••当t=不时，SABCP最大二—•

228

(3)M(m,-m+3),N(m,m1-4m+3)

MN=m,-3m,

当MN=BM时，®m,-3m=72(m-3),解得m=Q,

②mL3m=•/(m-3),解得m=・Q

当BN=MN时，ZNBM=ZBMN=45°,

n】L4m+3=0,解得m=l或m=3(舍)

当BM=BN时，ZBMN=ZBNM=45°,

-(nV-4m+3)=-m+3,解得m=l或m=3(舍)，

当ABMN是等腰三角形时，m的值为、5，•收，1,1.

点睛：本题考查了二次函数综合题，解(D的关键是待定系数法；解(1)的关键是利用面积的和差得出二次函数，

又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏.

20、(1)y=x2-2x-l.(2)M(1,-2).(1P(1,-4).

【解析】分析：(1)根据抛物线的对称轴可求出区点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；

(2)由于4、3关于抛物线的对称轴直线对称，若连接BC,那么3。与直线x=l的交点即为所求的点M；可先

求出直线5C的解析式，联立抛物线对称轴方程即可求得M点的坐标；

(I)若NPC3=90。，根据△3CO为等腰直角三角形，可推出△C0P为等腰直角三角形，根据线段长度求P点坐

标.

详解：(1)•・•抛物线的对称轴为x=L且4(-1,0),：.B(1,0)；

可设抛物线的解析式为产a("1)(x-l),由于抛物线经过。(0,-1),则有：

a(0+1)(0-1)=-1»a=l,；・y=(J+1)(x-1)=x2-2x-1；

(2)由于A、8关于抛物线的对称轴直线x=l对称，那么"点为直线3c与x=l的交点；

由于直线经过C(0,-1),可设其解析式为产h・1,则有：lhl=0,k=l；

，直线3c的解析式为产x-1；

当x=l时，y=x-1=-2,即A/(1,-2)；

(1)设经过C点且与直线AC垂直的直线为直线/,作尸OJLy轴，垂足为D：

•：OB=OC=lf：.CD=DP=lt0D=0C+CD=4t：.P(1,-4)

点睛：本题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及特殊三角形的性质等知识，难度适中.

21、(1)50°；(2)60°

【分析】(1)根据切线性质求出NOBM=NOAM=90。，根据圆周角定理求出NCOB,求出NBOA,即可求出答案;

(2)连接AB、AD,得出平行四边形，推出MB=AD,推出AB=AD,求出等边三角形AMB,即可得出答案.

【详解】⑴连接OB,

图①

VMA、MB分别切OO于A.B,

/.ZOBM=ZOAM=90°,

丁弧BC对的圆周角是NBAC,圆心角是NBOC,NBAC=29,

AZBOC=2ZBAC=50°,

AZBOA=180°-50°=130°,

AZAMB=360°-90°-90°-130°=50°.

⑵连接AD,AB,

VBD/7AM,DB=AM,

:.四边形BMAD是平行四边形,

ABM=AD,

VMA切。O于A,

AAC±AM,

VBD/7AM,

.*.BD±AC,

〈AC过O,

.\BE=DE,

AAB=AD=BM,

VMA>MB分别切。O于A.B,

AMA=MB,

.*.BM=MA=AB>

・•・△BMA是等边三角形，

/.ZAMB=60°.

【点睛】

本题考杳切线的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的性质、平行四

边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质.

33

22、(1))，=・/+〃+3；(2)@S=-/»2+3m,l<m<3；②P(],3)；(3)存在，点尸的坐标为(彳,3)或(・3+3忘,

12-672).

【分析】(1)将点氏C的坐标代入)，=—Y+bx+c即可；

(2)①求出顶点坐标，直线MB的解析式，由尸。_Lx轴且OZ)=〃7知尸(加，・2加+6),即可用含机的代数式表示

出S；

②在①的情况下，将S与〃，的关系式化为顶点式，由二次函数的图象及性质即可写出点P的坐标；

(3)分情况讨论，如图2-1,当NCPO=90。时，推出叨=CO=3,则点尸纵坐标为3,即可写出点尸坐标；

如图2・2,当NPCD=90。时，证/PDC=NOCD,由锐角三角函数可求出机的值，即可写出点P坐标；当

ZPDC=90°时，不存在点P.

【详解】(1)将点〃(3,0),C(0,3)代入〉=一/+/.+。，

[0=-9+3Z?+3

・•・二次函数的解析式为y=——+2x+3；

(2)®Vy=-x2+2.r+3=-(x-l)2+4,

・,・顶点M(1,4),

设直线BAf的解析式为，-左v+A,

将点R(3,0),M(1,4)代入，

(3k+b=0

得，，

Z+力=4/,

解得CM.

P=O

，直线BM的解析式为)=-2工+6,

•・・PD_Lx轴且OD=m,

；・PGn,-2m+6),

11,

2

:.S=SKD=—PD・OD=—〃z(―2〃?+6):-m+3m,

即S=—m2+3/n»

•・•点尸在线段氏以上，且5(3,0),M(1,4),

:.1<m<3；

、2

②•:S=+3/n=—('〃-])+]，

%--KO,

39

・・・当〃?二：时，S取最大值?,

24

(3)存在，理由如下：

①如图2・1,当NC7V)=90。时，

,:NCOD=/ODk/CPD=90。,

二四边形COOP为矩形，

:・PD=CO=3，

将)，=3代入直线产-2x+6,

得x=5，

2

3

••P(一,3)；

2

②如图2-2,当NPCO=90。时，

VOC=3，OD=m,

ACD2=OC2+OD2=9+m2,

VPD//OC,

：・/PDC=/OCD，

:.cosZ.PDC=cosZ.OCD,

.DCOC

••=9

PDDC

ADC2=PD-OC，

.・.9+6。=3（-26+6）,

解得叫二-3-班（舍去），“二-3+3正，

，尸（一3+3加，12-6&），

③当NPDC=900时，

丁尸。，1轴，

:•不存在，

综上所述，点尸的坐标为弓，3）或（-3+3血，12-6夜）.

图2-1

本题考查了二次函数的动点问题，掌握二次函数的性质以及解二次函数的方法是解题的关键.

AB_2y/3

23、(1)详见解析；(2)

【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明.

(2)利用相似三角形的性质证明NBCE=NECM=NDCM=30°即可解决问题.

【详解】(D・・,矩形ABCD,

.,.ZA=ZB=ZD=90°,

;将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，

/.ZMEC=ZD=90°,

AZAEM+ZBEC=90°,

VZAEM+ZAME=90°,

AZAME=ZEBC,

又..・NA=NB,

AAAME^ABEC.

(2)VAEMC^AAME,

AZAEM=ZECM,

VAAME^ABEC,

AZAEM=ZBCE,

AZBCE=ZECM

由折叠可知：△ECMg^DCM,

AZDCM=ZECM,DC=EC,

即NBCE=NECM=NDCM=30°,

BF

在RtABCE中，COS/BCE=-

CE

8s30=立=些

2CE

VDC=EC=/XB,

.AB26

••---------------

【点睛】

此题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，利用30。角的余弦值求边长的比，利用三角形相似及折叠得到NBCE

=NECM=NDCM=30。是解题的关键.

24、（1）-；（2）-

34

【解析】分析：（1）列举