高考数学专题：导数大题专练(含答案)

高考数学专题：导数大题专练(含答案)

一、解答题

1.已知曲线/(x)=L

X

⑴求曲线在点处的切线方程.

⑵求曲线过点。(1.0)的切线方程.

2.已知/(尤)=e'+〃氏(〃7<-1).

(1)当,〃二一2时，求曲线)，=/(力上的斜率为7的切线方程：

⑵当於0时，小)亭2+1-|恒成立，求实数加的范围.

3.已知函数/")=(尤-l)e'(«€R)

⑴讨论了«的单调性；

⑵若“X)有两个零点，求实数Q的取值范围.

4.己知函数满足/(%)=乌，叱0,/⑴=1,r(0)=-2.

cix—1

⑴求函数/(X)的表达式；

oIA1

⑵若〃<。，数列｛4｝满足。=《，%=f—,设5=7-1,〃wN',求数列出｝

a

J\n/八

的通项公式.

5.已知函数f(x)=e2x-2(e+l)e，+2ex.

⑴若函数g(x)=/("-a有三个零点，求a的取值范围.

⑵若/(1)=/(三)=/(&)($<三</)，证明：+X,>0.

6.己知/(.¥)=^—(m。0),g(x)=.ve'---ax(aGR).

x2

⑴当x>0时，讨论/㈤的单调性;

(2)若〃?=-g,对内引1,+0：),网6[0,+8),使得&(%)>/«)恒成立，求。的取值

范围.

7.已知函数/(x)=e"'(lnx+l)(awR),/'(')为f⑺的导数.

⑴设函数g(x)=华,求欢功的单调区间;

e

(2)若/(X)有两个极值点，与々(»</)，求实数Q的取值范围

8.已知函数，(x)=eLsin,WeN)其中e为自然对数的底数.

⑴若/-1,求函数N=/(x)的单调区间；

⑵证明：对于任意的正实数M,总存在大于例的实数a,b,使得当十百外加

时，I-

9.己知函数八幻=-^--1,awO.

e

⑴当”=|时，

①求曲线在x=o处的切线方程；

②求证：了⑶在(0,杵)上有唯一极大值点；

(2)若八幻没有零点，求〃的取值范围.

10.2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提

高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030

年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳

中和〃及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：

小学初高大学及大学以60岁以下的60岁及以上

生中生上在校生社会人士的社会人士

不了解“碳中和〃

4030805570

及相关措施

了解“碳中和〃及

208015019085

相关措施

⑴根据所给数据，完成下面的2x2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的

把握认为“是否了解'碳中和'及相关措施〃与“学生〃身份有关？

学生社会人士合计

不了解“碳中和”及相关措施

了解“碳中和〃及相关措施

合计

附:心目湍西，

n=a+b+c+d.

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

⑵经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和〃及相关措施以便让节能减排

的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，冉

根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和〃的人概率都为

每个被调查的人之间相互独立.

①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为/（P）,求〃〃）的最大值点外；

②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的%作为答错的概率p的值.已

知回答正确给价值Q元的礼品，回答错误给价值b元的礼品，要准备的礼品大

致为多少元？（用。，b表示即可）

【参考答案】

一、解答题

1.（1）%+>--2=0

（2）4.¥+y-4=0

【解析】

【分析】

（1）求得函数的导数/'（*=-｝，得到曲线在点PSD处的切线的斜率，结合直

线的点斜式方程，即可求解；

（2）设切线坐标为4%，/），得出切线的方程为根据点

Q。,。）在切线上，列出方程求得小的值，代入即可求解.

（1）

由题意，函数〃x）=L,兀得r（x）=_g,

.1

所以r（i）=-i,即曲线在点p（u）处的切线的斜率为A=-I,

所以所求切线方程为y-i=-（xT）,即尤+y-2=o.

⑵

解：设切点坐标为4%%），则切线的斜率为4=-1，

所以切线的方程为）'-B=-3。-%），

因为点Q（i，o）在切线上，可得-;解得/=:，

所以所求切线的方程为）-2=T（X-3，即4.r+y-4=（）.

2.(l).v+y-l=0；

(2)[ln3-3,⑸.

【解析】

【分析】

(1)根据导数的几何意义可利用斜率求得切点坐标，由此可得切线方程;

(2)令心)=小)-#-y-|l将问题转化为当X20时，履力小。恒成

立；①当〃-)0时，由导数可证得g(x)单调递增，由&(。上。可求得，”范围；

②当，〃+1<0时，利用零点存在定理可说明存在(5)=0,并得到《(力单调性,

4

知g(x)mw=8(*。)=一六2"+”+5之°，由此可解得小的范围，根据.％-e&=切可求

乙乙

得〃范围.

⑴

当m=-2时，/(x)=ev-2x,f'(x)=cx-2；

令r(x)=e「2=-l,解得：x=0,••.切点坐标为(0,1),

•・所求切线方程为：y=f+i,即x+yT=o；

(2)

I、m~312"3

令g(x)=〃x)--x~+-----=ev+ntx——x~---+—,

222222

则原问题转化为：当xNO时，g")NO恒成立，即鼠⑼“小。恒成立；

/(x)=ev+m-x,g*(x)=e*-1,

则当xN0时,g"(x)>0,二g'(x)在[0,+8)上单调递增，二g'(x)之/(0)=加+1；

①当m+lNO,即/〃2-1时，g'(x)NO,飞⑴在[。,+8)上单调递增，

x=0=1--+0

-^()min^()^|-»解得：-V5<m<x[5,W€[-1,5/5];

②当m+lvO,即/〃<一1时，g[0)<0,当x->+8时，g'(x)->+℃；

.•./«0,用),使得/(%)=0,即所-e"=,〃，

贝I]当xw((Uo)时，g'(x)<0；当xw(.0,+oc)时，g'")>0；

g(x)在(。，%)上单调递减，在(毛，田)上单调递增，

/\\&1，W3%/C12(%0七。)23

•••g(x)min=g(Xo)=e+〃%—万跖一万+万=小+/(小一铲)一5苍一•2+2

11

=--c2x°+e"+->0,

22

解得：-l«e"«3,即％Wln3,又%w(O.y),.•.天«0Jn3],

令/z(.v)=x-er,贝lj"(x)=1-e",当xe(OJn3］时，/f(x)<0,

.•./心)在(0,1113］上单调递减，.1.力(毛)=』-已电e［ln3-3,-l),即we［ln3-3,-1)；

综上所述：实数加的取值近围为［皿3-3,后］.

【点睛】

思路点睛：本题重点考查了导数中的恒成立问题的求解，解题基本思路是通过

构造函数的方式，将问题转化为8(力神之0,从而利用对含参函数单调性的讨论

来确定最小值点，根据最小值得到不等式求得参数范围.

3.(1)答案见解析

(2)«<0

【解析】

【分析】

(1)求出导函数/'(%)=%(e'-。)，对“分.£0、0<«<K。=1、”>1四种情况讨

论即可求解；

(2)由(1)问结论，对〃分“<()、。=0、4=1、a>l讨论即可得答案.

(1)

解：f\x)=er+(x-l)ex-av=x(er-a),

若a«0,则当XG(YO,0)时，/V)<0,当时广(力0,

所以/⑸在(Y=，0)上单调递减，在(0，y)上单调递增；

若4>0,由/"(X)=0得>^。或户\na,

①若。=1，则/'(力=*…”0,所以/“)在(7),句上单调递增；

②若则InavO,当xw(-co,ln4)50.y)时，/'(工)>0；当xw(lna,O)时，

/'(x)<。，

所以八1)在(Y.Ina)和(0,+co)上单调递增，在(Ina,0)上单调递减；

③若a>l,则lna>0,当xw(-<»,0)51na.+oo)时，/z(x)>0；当xROJna)时，

ruxo,

所以/(幻在(-8,0)和(Ina,巾)上单调递增，在(OJna)上单调递减：

综上，当心。时，/(X)在(-8.0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增；

当0<“<1时，f(x)在(YoJna)和(0,+x)上单调递增，在(lna,O)上单调递减；

当a一1时，/(")在(8,|⑹上单调递增：

当a>l时，/(x)在(Y,0)和(lna,+co)上单调递增，在(O,lno)上单调递减；

(2)

解：当a<0时，由(1)知，/(x)在(YO,0)上单调递减，在(。,田)上单调递增，

又f(0)=-l<0J(l)=-ga>0,取b满足方<-3且b<ln(—。)，则

f(b)>-ci(b-\)-ab2=^a(b2+2b-2)>0,

所以/(x)有两个零点；

当a=0时，令/(x)=(x-l)e'O,解得x=0,所以〃制只有一个零点；

当“1时,令小)—)=0,解得x=0,所以〃x)只有一个零点;

当0<“<1时，由(1)知，在(ro』na)和(0,+co)上单调递增，在(Ina,0)上单调

递减，

又f(0)=-l,当b=Ina时,Ax)有极大值

f(b)=a(b-1)--ab2=--a(b2-2b+2)<0,

22

所以f(x)不存在两个零点；

当〃>1时，由(1)知，在(-8,0)和(Ina,+<»)上单调递增，在(0Jna)上单调递

减，

当x=0时，/(x)有极大值〃。)=-1<0,所以/(X)不存在两个零点；

综上，Q的取值范围为“<0.

【点睛】

关键点点睛：本题(2)问解题的关键是，当。<0时，取b满足。〈-3且

/><111(-67),从而可得/S)>-aS-l)-L力2=，492+»一2)>0.

2

4.(1)/U)=或f(x)=

x+1

⑵。=泉.

【解析】

【分析】

(1)求出导函数，然后列方程组求得“，〃，得函数解析式;

2

(2)由(1)得/“)===，求出｛，｝的递推关系，从而得出收｝的递推式，得

x+1

其为等比数列，从而易得通项公式.

⑴

「八、2b_.a=2

由题意广⑶=一品所以八)一二r,解得］或L।，

［八0)=-2必=-2斥7尸5

21

所以,“)=77T或八#=n;

⑵

2

a<0,则/(x)=.,

x+\

(1=1an+}I11,1z1lx

\5n)4/>♦InnIn

则2.1=；"，又4=5-1=；，

uf\乙u\4

所以uu是等比数列，^=|x(lr'=±.

5.(l)(-e\-2e-l)

⑵证明见详解

【解析】

【分析】

(1)令1=/换元得函数M，)=/2-2(e+l"+2elnf,r>0,然后通过导数求极值,根

据)，=a与函数图象有三个交点可得；

(2)构造函数见，)=牝)-，“)，通过导数研究在区间(l，e)上的单调性，然后由

单调性结合已知可证.

⑴

令e'=f,则x=ln[,记/?(/)=/-2(6+1"+2311八/>0

4-fi(t)=2/-2(e+1)+—=2(Z-l)(Z~C)=0,得”lj,=e

tt

当Ov/vl时，hXt)>0,love时，A(/)<0,时，h\t)>0

所以当/=1时，咐)取得极大值Ml)=-2ef，=e时,依)取得极大值〃(e)=-e2,

因为函数g(x)=/(x)-。有三个零点=)，=2)与y=，有三个交点，

所以-e2<a<-2e-l,即a的取值范围为.

⑵

记，〃⑺=/?")-A(-)=z2—2(e+1)，+2cIn/-1+2(c+l)--2cln-

trtf

=r2-2(e+l)r+4eln/--：+"

rt

加")=2-2(e+l)+生+2-3=始三3*^^

ttrt

记"Q)=2〃-2(e+1)/+4e/2-2(e+1)，+2

则"(f)=8产-6(e+1)产+8er-2(e+l)

记s(r)=8?-6(c+l)r2+8c/-2(c+1)

则s")=24产-12(e+l"+8e

易知s'O)在区间(Le)上单调递增,所以s")>"l)=12-4e>0

所以所在区间0,e)上单调递增,所以s⑴>5(1)=0

所以〃⑺在区间Qe)上单调递增,所以〃⑺〉〃⑴=0

所以加⑺在区间(l,e)上单调递增

因为/(玉)=/«)=/(七)(禺<演)，记e*f,e"=G，e"=4

所以=hM=，?&)«<A<fy)

由(1)可知，Oj<l<q<e<G

所以m(tz)=//(/,)-//(—)>zn(D=0,即万&)>/?(—)

，2’2

又北)=此)，所以如)>;?(;)

*2

因为l<G<e,所以。<；<1

*2

由⑴知也在区间(0,1)上单调递增,所以仅>1,即-'*2=/也>1

所以8+占>0

【点睛】

本题第二问属于极值点偏移问题，关键点在于构造一元差函数，通常构造成

F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)或F(A)=f(x)-/(2X0-A-),本题由于采取了换无法转化问

题，因此构造函数为胆⑺=h(l)-h(；).

6.(1)答案见解析

⑵S，e)

【解析】

【分析】

(1)求出函数的导数，根据导数的正负可求出函数的单调区间，

(2)将问题转化为rfU/UU=/(l)=-j,所以问题再转化为

g(q”加>一?然后分心。，。<心1和，>1三种情况求解g(x)的最小值即可

⑴

由f(x)="#0),得f\x)="忙([D.

XX

①,〃>0,当XW(0,l),/'(x)<0,/(x)单调递减；

当内e(l,y),/⑺>O./(A)单调递增.

②/"<0,当xe(0,1),/V)>0,/(乃单调递增；

当xe(U+oo)，r(x)<0J(x)单调递减.

⑵

依题意得g")min"(Hz」*)=-(；，；・73=e晨),

即当XG[1,内)时，f(X)<O.f(X)单调递减，

A/(A-U=/(1)=-j.

^,(x)=e'Cv+l)-ar-a=(x+l)(e*-a)(x^O).

1)当心。时，er-«>0,・••在似+8)上，g'(©>O,g(x)单调递增，

・•・.其初,而=<式。)=。>-£恒成立.

2)当〃>0时，令g'(x)=。，则得％=7,回=lna,

①当0<aW1时，ln«<0,短⑴在[0,-KO)>0,或x)单调递增，

.**g(X)min=8(。)=。>一|恒成立.

②当a>1时，Ina>0.

当工€[0,Ina)时,gXx)<0,g⑴单调递减；

当AG(Ina,+8)时，g'(x)>0、g(x)单调递增.

g(x)min=g(1n4)=Ina-e',,u-^a(\na)2-a\na=-ga(lna)2.

一ga(lna)?>-|恒成立，即[(Ina):<e恒成立.

令lna=z,则“=6,a(\na)2=r2ef,令0(/)=/%«>()),

:.”Q)=(2/ef+re')=re;(2+z).

当/w(0,+a>)时，dQ)>0«⑴单调递增，且奴l)=e,

t<1,即lna<I.

:.«e(l,e).

综上所述。的取值范围为(e，e).

【点睛】

关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查

利用导数决不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为然后

利用导数分情况求解g(x)的最小值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难

题

7.(1)当"0时，X。)的减区间为(0,”)，无增区间；

当〃>0时，gQ)的减区间为(0,)，增区间为(LM)

aa

(2)(e2,+co).

【解析】

【分析】

(1)依题意，"X)的定义域为(0，m),且g(x)=^=aln%+a+L则

ex

g，(X)=qF，再对Q进行分类讨论即可得到答案.

X

(2)因为/CO有两个极值点,所以g(x)有两个零点.由(1)知。<0时不合题

意；当”>0时，g(x)E=g4)=a(2-l〃a),接下来对Q进行讨论即可得到答案.

a

⑴

一

依题意，/(X)的定义域为丘伸》),ra)=Kinx+i)+J

x

贝Ug(x)=A^=0nx+a+，，则g'(x)=^?^.

exx

①当a<0时，&5<。在xw(0,+oc)上恒成立，g(x)单调递减；

②当a>0时，令<。)=。得，x=",所以，当xe(0」)时，内*)<0,g*)递减;

aa

当.re(L+<»)时，g\x)>0,g(x)递增；

a

综上，当〃<0时，贝工)的减区间为(0,取)，无增区间；

当〃>0时，g(x)的减区间为(02)，增区间为(L+8).

aa

⑵

因为/J)有两个极值点，所以公。)有两个零点，

由⑴知a<0时不合；

当a>0时，g(x)min=gd)=a(2-\na).

a

当(Rave?时，g(x)>g(3>0,g。)没有零点，不合题意；

a

当“=不时，gd)=o,以外有一个零点L不合题意；

a«

当a〉/时，g(1)<。，g(-U=a(a+l-21na),

aa'

,2

设次a)=a+l-21na,>2,则夕(a)=l-->0,

flea

所以例a)>夕(/)=62-3>0,即g(3)>0,

a~

所以存在$6(3」)，使得身(X|)=0；

aa

又因为屋)=e>0,所以存在占使得为彳2)=。・

eae

/(x)的值变化情况如下表：

(西㈤(七,+8)

X(O.A()为巧

f'(x)+0-0+

极大极小

/(X)递增递减递增

值值

所以当a>e?时，/(x)有两个极值点,

综上，Q的取值范围是(e\+cc).

8.⑴增区间为2就点.2br+?,kwZ

减区间为2^+-.2^+—,kwZ

L44_

⑵证明过程见解析.

【解析】

【分析】

(1)对函数求导，利用辅助角公式合并为同名三角函数，利用单调增减区间代

入公式求解即可.

(2)将绝对值不等式转化为-移向构造新函数，利用导数判

定单调性，借助零点定理和隐零点证明新构造函数恒正，再结合三角函数的特

有的周期特点寻找M即可.

(1)

/'(X)=e"(sinx+cosx)=sin(x+£)

令2k兀一x+几+%,得2k^--,2k^+—

44j

_.,5兀

令24兀+gWx+；W2女兀+日,得xe2#乃+—,2&乃+—

44_

当xe2k”*2k兀时,ra)>oj(x)单调递增

当XG2丘+?,2版+今时，/a”0J(x)单调递减

综上“X)单调递增区间为2以-,,2丘+?,k^Z

单调递减区间为鼠；r+f,2A/苧］,ZwZ

_44_

⑵

要证1/(©仁1,

即证QsinH,

即证卜山江区二二

e

即证<sinrx<gj在X€【4向时成立即可,

sinkg)

<0

时

sinrx+Q

>0

令h(x)=sinrx/z,(x)=rcos?:v+

当xe时,/cosrx>0,

.(也”'十万)，满足力(%)=。

rr

由单调性可知xe(一,x)满足饵©</?(%)=0

.%),sin匚x>0,(，)>0,

又因为当xe

sin次+(，)>0,

sinZ:r-(-|<0

,4能够同时满足,

所以

sinrr+f-j>0

对于任意的正实数M,总存在正整数h且满足篝时，使得季,M成立,

所以不妨取"=->汇>"=小，

贝Ij>M且xe[a,b]时,

sinrx-

sinrv+f-l20

故对于任意的正实数M,总存在大于M的实数使得当xw[9]时,|f(x)区1.

9.⑴①尸京-1;②证明见解析

(2){-l}o(0,e2)

【解析】

【分析】

(1)①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；

②令g(x)=e1—利用导数判断出飘光)在3+8)上有唯一零点%,利用列表

法证明出了⑶在(0,+8)上有唯一极大值点；

(2)令力(x)=e'+a-5.对《分类讨论:①a<0,得到当。=-1时,/(幻无零

点；②a>0,/(x)无零点，符合题意.

⑴

若则〃加岛T，

1+11

①在工=0处，/'⑼=7^7=5，/(«)=-!.

所以曲线)，=/。)在x=o处的切线方程为y=

②令g(X)=e、+1-AC，,g\x)=-xeT,

在区间(0,+x)上，g<x)<0：则g(x)在区间(。，+8)上是减函数.

又g(l)=l>0.^(2)=-C2+I<(I,

所以g(x)在(0，例))上有唯一零点人.

列表得：

X(0.&)(/*)

fXx)+0-

/极大值

所以人工)在(。，物)上