高考数学-数列经典题型解析

高考数学一一数列经典题型解析

考点1:等差数列与等比数列的通项、求和公式，以及基本性质

考点2：证明数列为等差数列或等比数列

考点3：数列通项与求和，综合题常结合函数或不等式

考点4：数列应用题

1.数列｛an｝满足：a,=l,厂4〃=2。,1々“(〃22),求通项公式：

2.数列｛%｝中，己1=1/同=:々一，求数列｛%｝的通项公式。

1+2an

3.数列｛%｝前n项和记为S”，q=1,4+i=25〃+1,(〃21).求｛%｝通项公式；

4.设数列｛4｝的前八项和为S.=2/-2”，

(1)证明：｛。向-2。力是等比数列：(2)求｛4｝的通项公式

5、(2010福建)设等差数列｛〃”｝的前n项和为S”，假设q=Tl,a+4=-6,则当S”取最小值时,n

等于

A.6B.7C.8D.9

6、(2010辽宁理数数列卜/“｝满足%=33MH-勺=2/7,则外的最小值为.

7、(2010湖北文数)等比数列｛%,｝中，各项都是正数，旦片，,外,2a,成等差数列，则发士也■二

2-“e+4

A.14-72B.1-V2C.3+272D3-2V2

8、(2010北京理数)在等比数列｛《｝中，％=1,公比假设则巾=

(Ai9(B)10(C)11(D)12

9.(2009广东卷理)等比数列(叫满足4>0,〃=1,2,♦,且6a2T=22”5N3),则当〃之1时，

log24+log2%+…+log202M=

A.fi(2n-l)B.(〃+l)2C.n2D.(z?-l)2

10.等比数列｛%｝的前n项和为s.,邑，52成等差数列

(1)求｛%｝的公比q：(2)求4—〃3=3，求S”

11.等差数列｛%｝的公差d不为0,设S“二4+生4+…+。”夕1

(I)假设夕=1吗=14=15，求数列｛凡｝的通项公式:

(H)假设4=d,日5,S3成等比数列,求q的值c

12.点(1,是函数/(x)=/(a>0,且awl)的图象上一点，等比数列｛%｝的前〃项和为了(〃)一。,

数列｛"｝(a>0)的首项为c，且前〃项和S”满足S"一Si=JM+E：(n>2).

(1)求数列｛4｝和｛"｝的通项公式;

(2)假设数列｛，一｝前〃项和为O，问7；>黑的最小正整数人是多少？

2

13.设5”为数列｛&｝的前〃项和，SM=kn+n,nwN*,其中攵是常数.

(I)求4及《,：

(II)假设对于任意的〃7WN’，%，生,“，4,”成等比数列，求上的值.

14.曲线C“：X2_2〃X+)，2=O(〃=1,2,).从点P(—1,O)向曲线C,引斜率为勺⑸>0)的切线小切点

为［(%，%)•求数列｛土｝与｛”｝的通项公式।

15、设G，G，…，c〃，一是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线)，=理不相

切，对每一个正整数〃，圆C”都与圆相互外切，以「表示Q的半径.为递增数列.

证明：为等比数列；勺

16、(2010四川理数)数列｛a｝满足2=0,4=2,且对任二7^^：

意勿、〃匕V都有“21+"2"-1=2劣+〃-1+2(/〃—〃),|X'

(I)求日3，&5；第(21)题图二.

(II)设4=桀〃+1一的?-1(〃£”‘)，证明：｛4｝是等差数列；

(IH)设Cn=(4-1—4)cf-'(qWO，nqN)，求数列｛cj的前〃项和S.

解答题前几道训练：

17.(2010陕西)如图工.3是海面上位于东西方向相距5(3+6)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°,3

点北偏西60°的。点有•艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20%/3海里的。点

的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时，该救援船到达。点需要多长时间?

18.(2010陕西)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进展分层抽样调查，测得身

高情况的统计图如下：

(1)估计该校男生的人数；

⑵估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；

(3)从样本中身高在165~180cm之间的考生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间的概率.

8.如图，在四棱锥PTBCD中，小，平面48CD,P8与平面48C成60°的角，底面4BCD是直角

梯形，^ABC=^BAD=9Q^,AB=BC=-AD=\

2

(1)求证：平而PCD_L平面以C；

(2)在棱PD上是否存在一点E,优异面直线AE与P8所成的角的

余弦值为巳3.

4

参考答案:

5.A6.—7.C8.C9,C

2

10.解：(I)依题意有4]+(%+%〃)=2(4]+4"+”/)

由于《WO,故2g，+4=0又qwO,从而q=一工

4(l-(--)n)

(II)由可得q-6(一工＞=3故4=4从而Sn=-------------—

21-(--)

2

11.⑴解:由题设，S3=々]+3]+d)4+(q+2d)q2,将q=I,%=LS3=15

弋入解得"=4,所以4=4〃-3〃wN*

(2)解：当％=d,S】=d,S2=d+2dq,S3=d+2dq+3dq'•；Si，S?,S3成等比数列,所以

2

S2=S,S3,即(d+2dq)2=d(d+2dq+3dq2),注意到〃工0,整理得夕=一2

12.解析(1)Q/(l)=rt=l.-./(x)=

3

।2

^=f^-c=--c,a2=[/(2)-e]-[/(l)-c]=--z

_4

又数列｛q｝成等比数列，671=^-=-Sl-=-|=l-c,所以c=l；

~T1

八“a,1,2(1丫,1丫X7,

又公比q=二•二一，所以〃“=——-=-2-neNi

q33\3y13,

又包>。，后>。，，后一卮=1:

数列｛、区｝构成一个首相为1公差为1的等差数列，区=1+(〃-1)x1=*S“二〃2

当〃之2,£=S“-SI=/-(〃-[)2=2〃一1；.•.a=2〃-l(〃e/V")；

…、,111Tl111〃1

(2)T=----1-----1-----FLH-----=----H------1------FK+--------------r

b\b?b2b3b3bA〃也向1x33x55x7(2〃一l)x(2〃+l)

出］一熹卜含

n1000Z(11000满足（＞照的最小正整数为112.

由----->-----得〃>

I2n+l--2009--------92009

13.解析：(I)当〃=l,q=S|=k+1,

22

n>2,an=Sn-Sn_i=kn+n-[k\n-\)+(n-1)]=2kn-k+1(*)

经历，n=\,（*）式成立，/.an=2kn-k+\

（ii）=《”，生,“，％”,成等比数列，•.•巴/=金4,”，

即（4&帆一々+1）2=（2女小一2+1）（8右〃一攵+1）,整理得:由"1）=0,

对任意的meN*成立，:.k=0或k=1

14.解：(1)设直线小y=勺(x+1),联立小-+)/=o得0+/)/+*_2n)x+十=0,

77

则人=(2片-2〃)2-4(1+%；)4=0,kn=.(―/“舍去)

J2〃+1J2〃+1

?_k；_"2,?V2n+l

“一4^-5+1)2%="(£+D=

n+1〃+1

16.解：（1）由题意，令加=2,1,可得a=2&—&+2=6

再令勿=3,〃=1,可得后=2.-&+8=20

⑵当〃邑V时，由（以〃+2代替就可得

%。+：＜+d2n-I=2d2n-\-1+8F是［我S+J+1-―（a〃+1—a”-l）=8

即"一＞=8所以｛4｝是公差为8的等差数列

（3）由（1）（2）解答可知｛4｝是首项为占=@=6,公差为8的等差数列

则&=8〃-2,即丽=1—电-1=8〃-2另由（令而I）可得

&〃='O-（〃-1）t那么a1rH—a“="2，用'“2”-i-2〃+1

22

QG

=----—2〃+1=2〃于是.当<?=1时，£=2+4+6+........+2〃=〃(〃+1)

2

当<?工1时，S,=2•q+4,/+6•q+......+2〃•q~{.

两边同乘以6可得qS„=2•，+4•</+6•q'+.......+2n•q.

两式相减得(1一0)S,=2(l+。+</+...+</')~2nq

17.解:由题意知48=5(3+石)海里./QH4=90°-60°=30°.N/)AB=90"-45°=45°.

DBAB

AZADB=180°-(45°+30°)=105°.在△DAB中,由正弦定理得

sinZDABsinZAOB

AB-sinZDAB5(3+V3)-sin455(3+V3)-sin45J54V3+1)

..DB=--------------------=------------------------=-----------------------------------------=10%/3

sinZADBsin105sin45cos60+cos45sin60V3+1

2

又NO8c=NO8A+N48C=30°*90,-60°)=60°,8C=20百海里，

在△O8C中,由余弦定理得CgBgBgBD•BC•cosZDBC

=300+12OO-2X1OV3X20V3X-!-=900,

2

••・CD=30(海里)，则需要的时间后3考0=1(小时).答:救援船到达。点需要1小时.

18.解:(1)样本中男生人数为40.由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.

⑵由统计图知,样本中身高在170-185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70,所以样本中学

生身高在170-185cm之间的频率户得=05故由〃占计该校学生身高在170785cm之间的概率p=0.5.

(3)样本中女生身高在165780cm之间的人数为10,身高在170~180cm之间的人数为4.

设4表示事件“从样本中身高在165780cm之间的女生中任取2人,至少有1人身高在l70~180cm之间".

C2?C：C+C：=2

则P(A)=\-#=不或24)=

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