第一章空间几何体-单元测试

第一章空间几何体单元测试（一）

一、选择题

1.以下图是由哪个平面图形旋转得到的（）

ABC.D

2.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面,分成的三局部

的面积之比为（）

A.1:2:3B.1:3:5

C.1:2:4D.1:3:9

3.在极长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，

那么截去8个三楂锥后，剩下的几何体的体积是（）

4.圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为匕和匕，那么匕：匕=（）

A.1:3.B.1:1C.2：ID.3:1

5.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的外表积之比为（）

A.8:27B.2:3C.4:9D.2:9

6.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm）,那么该几何体的外表枳及体枳为：

2

A.l4Tvcnv，1InarTB.15乃cm?,\27rcm

C.24/vcnr,36/rc/w2,D.以上都不正确

二、填空题

1.假设圆锥的外表积是154，侧面展开图的圆心角是60。，那么圆锥的体积是0

2.一个半球的全.面积为。，一个圆柱与此半球等底等体枳，那么这个圆柱的全而枳是.

3.球的半径扩大为原来的2倍，它的体积扩大为原来的________倍.

4.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，，水面升高9厘米那么此球的

半径为_____厘米.

5.棱台的上下底面面积分别为4,16,高为3,那么该棱台的体积为,_0

三、解答题

1.（如图），在底半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为J5的圆柱，

求圆柱-的外表枳

2.如图，在四边形A8CO中，ZDAB=90\ZADC=\35(),AB=5,2,AD=2,求

四边,形A3CZ)绕AD旋转一周所成几何体的外表积及体积.

空间几何体［提高训练C组］

一、选择题

1.A几何体是网台上加了个圆锥，分别由直角梯形和直角三角形旋转而得

2.B从此圆锥可以看出三个圆锥，，j：G：4-1:2:3/4，3—1：2：3,

3.D匕+彳*—8V-拈姬=］—8x—x—x_x_x_=一

止方体二桢钺322226

4.DK：%=(S/z):(gs〃)=3:15.C匕：匕=8:274：4=2:30：52=4:9

6.A此几何体是个圆锥，r=3J=5,/?=4,5..,*.=^x32+^x3x5=24^V=—^x32x4=12^

仅问3

二、填空题

1.空叵加设圆锥的底面半，径为广，母线为/,那么24—1用/,得/一6"，

73

S=7rr2+7rr-6r=17rr2=15万，得r=J，,圆锥的高〃=府・

2.3。S全=2乃A?+乃R?=34M=Q,R=埠

3.85=2、匕=8乂4.12V=S/i=nrh=^R\R=^/64x27=12

5.28V=-(S+VsT+S)//=-X(4+>/4X]6+I6)X3=28

33

三、解答题

1.解：圆锥的高〃="万=2#,圆柱的底而半径r=l,

1.解：S表面=5回台底面+S网台俯面+S网椎例面=;rx5~+4x(2+5)x3x/5+/rx2x2&

第一章空间几何体

一、选择题

1、以下说法中正确的选项是()

A.棱柱的侧面可以是三角形

B.正方体和长方体都是特殊的四楼柱

C.所有的几何体的外表都能展成平面图形

D.楼柱的各条棱都相等

2、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）

A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆台、一人

圆柱

C.两个圆台、一个圆柱，【）.一个圆柱、两个圆锥

3、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，那么所得截面的面枳与球的外表积的比为（）

2_93

A.16B.16c.8

9

D.32

解析：设球半径为R,截面半径为r.

（城+/=/,

一A

••・屋4.

S._一3

4、如下图的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的选项是

（）

解析：由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用，知A正确.

答案：A

5、长方体的高等于h,底面积等于S,过相对侧棱的截面面积为S',那么长方体的侧面积等于（）

A.2依B.2J2S#+W,S

c.26f2+2刀D,

参考答案与解析：解析：设长方体的底面边长分别为a、b,过相对侧棱的截面面积

S'?g+2S

S'=周①,S=ab②，由①②得

(a+»=+2S,Aa+b=第

巴+2S=2j$2+W£

=2(a+b)h=2hV卜.

答案:C

6、设.长方体的对角线长度是4,过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°,那么此长方体的体积月

)

显

A.9B.8显C.8出

D.1673

参考答案与解析:解析：设长方体的过一顶点的三条棱长为a、b、c,并且长为a、b的两条棱与对角线

的夹角都是60°,那么a=4cos600=2,b=4cos60*=2.

根据长方体的对角线性质，有一+1六/=42,

即22+22+C2=42.：.c=2-j2,

因此长方体的体积V=abc=2X2X2质=8应

答案：B

主要考察知识点:简单几何体和球

7、棱椎被平行于底面的平面所截，当截面分别平分极锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分

别为Si、S?、S3,那么（）

A.SiVS2VsaB.S3VS2VsiC.S2<Si<

S3D.SiVS3<S?

参考答案与解析:解析：由截血性质可知，设底面积为S.

用平行于底面的平面截极锥所得截面性质都是一.些比例关系：截得面积之比就是对应高之比

的平方，截得体积之比，就是对应高之比的立方，所谓“高”，是指大棱锥、小棱锥,的高，而不是两局

部几何体的高.

答案：A

主要考察知识点：简单几何体和球

8、正四面体的内切球球心到一个面的距离等于这个正四面体高的（）

2।2

A.2B.3C.4

1

D.5

参考答案与解析:解析：球心到正四面体一个面的距离即球一的半径r,连结球心与正四面体的四个顶点

111

把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4X*S-r=3-S-h,r=4h

（其中S为正四面体一个面的面积，「为止四面体的高）

答案：C

主要考察知识点:简单几何体和球

9、假设圆台两底面周长的比是1：4,过高的中点作平行于底面的平面，那么圆台被分成两局部的体积

比是（）

A.1：16B.3：27C.13：129

I）.39：129

参考答案与解析:解析：由题意设上、卜底面半径分别为r,4r,截而半径为x,圆台的高为2h,那么有

x-r1

------=—

>2,

5

—r

x=2.

八（户+巾+#）39

G）/（一+4"+1”2）129

♦♦3・

答案：D

主要考察知识点:简单几何体和球

10、在校♦长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，那么截去8个三棱锥后,

剩下的凸多面体的体积是（）

274

A.3B.6C.5

5

D.6

lx=_1_

参考答案与解析:解析：用共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，所得三棱锥的体积为-48,

8x—=—

故剩下的凸多面体的体积为486.

答案：D

主要考察知识点:简单几何体和球

11、高为3的直棱柱ABCABG的底面是边长为1的正三角形（如图），那么三棱锥B.-ABC的体积为

（）

显

A.4.B.2C.6D.4

r=l^=lx^x3=—

参考答案与解析:解析：3344.

答案：D

主要考察知识点：简单几何体和球

12、向高为II的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图

中的（）

参考答案与解析:解析：如果水瓶形状是圆柱，V=3i，h,r不变，V是h的正比例函数，其图象应该是过

原点的直线，与图象不符.由函数图可以看•出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度

的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐

渐变小.

答案：B

主要考察知识点:简单几何体和球

二、填空题

1、以下有关棱柱的说法：

①棱柱的所有的面都是平的；

②棱柱的所有的棱长都相等；

③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形：

④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等：

⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等.

正确的有

参考答案与解析:①④⑤

主要考察知识点:简单几何体和球

2、一个横放的圆柱形水桶，桶内的水占底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度

的比为_________.

参考答案与解析:解析：横放时水桶底面在水内的面积为42.V水=42，直立时

V水=nR'x,x:h=（n-2）:4n

答案：（兀-2）:4月

主要考察知识点：简单几何体和球

3、一个正三棱柱的三视图如下图，那么这个正三极柱的外表积为_________.

参考答案与解析:解析：由三视图知正三棱柱的高为2cm,由侧视图知正三棱柱的底面三边形的高为2、百

cm.

-a=

设底面边长为a,那么2

Aa=4.

••・正三棱柱的外表积S=S慑+2S法

=3X4X2+2X2X4X2招=8(3+状)(cm)

答案：8(3+73)(cm).

主要考察知识点:简单几何体和球

4、一圆台上底半径为5cm,下底半径为10cm,母线AB长为20cm,其中A在上底面上，B在下底面

上，从AB中点M,拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B点，.那么这条绳子最短长为.

解折：画出圆台的侧面展开图，并复原成圆锥展开的扇形，比形圆心角90°

答案：50cm

主要考察知识点：简单几何体和球

三、解答题

1、画出图中两个几何体的三视图.

参考答案与解析:解析：(1)如以下图

(2)如以下图

主要考察知识点:简单几何体和球

2、在图中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，假设从M点绕圆柱体的侧面到

达N,沿怎么样的路线路程最短？

解析：沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开辅平，得出圆柱的侧面展开图，从M点绕圆柱体的侧而到

达N点，实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N.而两点间以线段的长

度最短.所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线.

如下图.

主要考察知识点:简单几何体和球

3、倒圆锥形容器的轴截面是正三角形，内盛水的深度为6cm,水面距离容器M距离为1cm,现放入一

个校长为4cm的正方体实心铁块，让正方体一个面与水平面平行，问容器中的水是否会溢出？

解析：如图甲所示：

O'P=6cm,0()'=】cm.当正方体放入容器后，一局部露在容器外面，看容器中的水是否会溢出，只要比

拟圆锥中ABCD局部的体积和正方体位于容器口以下局部的体积即能判定.

如图甲，设水的体积为V”容器的总容积为V,那么容器尚余容积为VV,.

由题意得，O'P=6,00z=1.

49

/.0P=7,0A2=3,0'C2=12,

[2

••・v=3JI()A2X7=9X49JT,

Vi=3K0ZC2X6=24n.

•••未放入铁块前容器中尚余的容积为

7

V-V,=9X49n-24n%44.3cm:，.

如卜.图，放入铁块后，EMNF是以铁块卜底面对角线作圆锥的轴截面.

.・不\=4点..・.04=2应.O,P=2V6,AGM=7-2V6,

...正方体位于容器口下的体积为

4X4X（7—2瓶）=112-32而=33.e<44.3,

••・放入铁块后容器中的水不会溢出.

主要考察知识点：简单几何体和球

4、棱长为2cm的正方体容器盛满水，把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没.然后再放入一个铁球,

使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？

参考答案与解析:解析：此题考查球与多面体相切问题.解决此类问题必须做出正确的截面（即截面一定

要过球心），再运用几何知识解出所求量.

过正方体对角面的截面图如下图.

AG=26A（>V3,AS=AO-OS=^-1,

1

设小球的半径r,tan/3AC=.

在中，AOi=0r,

*e•AS-AOj+OiS,

...出~[=6r+r.

解得：r=2-招（cm）为所求.

主要考察知识点:简单几何体和球

5、小迪身高1.6m,-一天晚上.回家走到两路灯之间，如下图，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯

的底部，他又向前走了5m,又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，两路灯之间的距离为10m,（两

路灯的高度是•样的）求：

（1）路灯的高度.

（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？

参考答案与解析:解:如以下图所示，设A、B为两路灯，小迪从MN移到PQ,并设C、D分别为A、B灯的

底部.

由题中得MN=PQ=L6m,

NQ=5.m,CD=10m

⑴设CN=x,那么QD=5r,路灯高ED为h

VACMN^ACBD,

即COBD10h

又2XPQDS2XACD

FQ，JI6k

即而.丽=厂

由①②式得

x=2.5m,h=6.4m,

即路灯高为6.4m.

(2)当小迪移到BD所在线上(设为DE),连接AH交地面于E.

那么DE长即为所求的账长.

DHDE16DE

•/△DEH^ACEACACE6.4DE+10

1010

解得DE=3m,即影长为3ID.

主要考察知识点:简单几何体和球

6、如图1在透明塑料做成的长方体容器中灌进一些水，固定容器的•边将其倾倒，随着容器的倾斜度

不同，水的各个外表的图形的形状和大小也不同.试尽可能多地找出这些图形的形状和大小之间所存在

的各种规律(不少于3种).

图1

参考答案与解析:解析：思考问题时，最好做一个实际的水槽进行演示.下面是可能找到的有关水的各人

外表的图形的形状和大小之间所存在的规律：

(1)水面是矩形.

(2)四个侧面中，一组对面是直角梯形，另一组对面是矩形.

(3)水面面积的大小是变化的，如图2所示，倾斜度越大(即a越小)，水面的面积越大.

(4)形状为直角梯形(如ABDC)的两个侧面的面积是不变的：这两个直角梯形全等.

(5)侧面积不变.

(6)在侧面中，两组对面的面积之和相等.

(7)形状为矩形的两个侧面的面积之和为定值.

在图中，我们可以得到

(8)a+b为定值.

⑼如果长方体的倾斜角为a,那么水面与底面所成的角为9()。-a.

(10)底而的面枳=水面的.面积Xcos(90°-。)=水面的而枳Xsina.当倾斜度增大，点A在BD上时，有

最大值.

(IDA与D重合时b=2h(h为原来水面的高度).

(12)假设容器的高度PDV2h,当A与B重合时，水将溢出.

(13,)假设A在BD的内部，△△1)€的面积为定值，即be为定值.

点评：此题对空间想象能力有一定的要求，我们可以边操作边分析，观察并得出结论.

主要考察知识点:简单几何体和球

空间几何体检测题

（时间120分钟分数150分）

一、选择题（本大题共12小题，每即5分，共60分）

1、一个长方体的长、宽、高分别为3,8,9,假设在上面钻一个圆柱形孔后其外表积没有变化，那么孔

的半径为0

A.3B.8C.9D.3或8或9

2、要使圆柱的体积扩大8倍，有下面几种方法：①底面半径扩大4倍，高缩小,倍：②底面半径扩大

2

Q

2倍，高缩为原来的2；③底面半径扩大4倍，高缩小为原来的2倍；④底面半径扩大2倍，高扩大2

9

倍：⑤底面半径扩大4倍，高扩大2倍，其中满足要求的方法种数是（）

A.1B.2C.3D.4

3、在用斜二测画法画水平放置的平面图形直，观图时，与轴不平行的线段的大小0

A.变大B,变小C.一定改变D.可能不变

4、向高为H的水瓶中匀速注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如下面左图所示，那么

水瓶的形状是0

5.、设正方体的全

面积为24,那么其

内切球的体枳是

0

6、圆锥的外表枳是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为0

A.120°B.150°C.180°D.240°

7、四棱柱有两个侧面互相平行，并且这两个侧面的面积之和为S,它们的距离为h,那么这个四棱柱的

体积是O

A.ShB.-ShC..-ShD.2Sh

23

8、长方体的一个顶点上三条棱的边长分别为3、4、5,且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的外

表积是0

A.20V27cB.25A/2reC.50乃D.200乃

9、如下图的直观图的。平面图形ABCD是（）

A.任意梯形

B,直角梯形

C.任意四边形

D.平行四边形

10、体积相等的球和正方体，它们的外表积的大小关系是0

A.S球＞s正方体B,S球=s正力体C.

S球VS正力体D.不能确定

正三棱锥的底面边长为〃，莅为&,那么此棱锥的侧面积等于0

11、

6

D工2

2

12一个圆台的上、下底面面积分别是1C〃/和49。?」,一个平行底面的截面面积为25m那么

这个截面与卜、下底面的跖离之比是（）

A.2:1B.3:1C.V2:1D.V3:l

二、填空题（此题共4小即，每题4分，共16分）

11、轴截而是等边三角形的圆锥，它的侧面展开图的圆心角等于

12.一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径，那么这个圆柱的体积与球的体积之比为

13.把一根长4m,直径1m的圆木锯成底面为正方形的方木，那么方木的体积为

14、三棱柱ABC—4'3'C'的底面是边长为1cm的正三角形，侧面是长方形，侧棱长为4cm,一个小

虫从A点出发沿外表一圈到达A点，那么小虫所行的最短路程为cm

三、解答题（此题共6小题，第17-21题每题12分，第22题14分，共74分）

17.