高考文科数学试卷及答案-全国2

普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修+选修I）

本试卷分第I卷（选择题）和第【I卷（非选择题）两部分.第I卷I至2页.第II卷3至10页.

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.

3.本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

参考公式：

如果事件A8互斥，那么球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B]5=4病

如果事件A,，相互独立，那么其中A表示球的半径

P(4/)=P(A)JP(B)球的体积公式

4

如果事件4在一次试验中发生的概率是〃，那么

3

n次独立重复试验中事件A恰好发生女次的概率其中R表示球的半径

R(k)=C；p«(l-p)"T(Z=0,1,2,…，/?)

一、选择题

1.若sinav0且tana>0是，则a是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

2.设集合M={6£Z|-3V/〃<2},N={〃CZ|-1W〃W3},则Mp|N=（）

A.{0,1}B.{-1,04}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

3.原点到直线x+2）-5=0的距离为)

A.1B.V3C.2D.45

4.函数/（X）='—X的图像关于（

)

X

A.y轴对称B.直线y=-x对称

C.坐标原点对称D.直线），=x对称

5.若不£（6，1）,a=lnx,/;=21nx,c=In3x,则（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

6.设变量x,y满足约束条件：，x+2），W2,,则z=x-3），的最小值为（）

A.-2B.-4C.—6D.一8

7.设曲线y=a?在点（］,0）处的切线与直线2x—），-6=0平行，则。=（）

11,

A.1B.—C.---D.-1

22

8.正四棱锥的侧棱长为26，侧棱与底面所成的角为60。，则该棱锥的体积为（）

A.3B.6C.9D.18

9.（1一五）4（1+4）4的展开式中x的系数是（）

A.-4B.-3C.3D.4

10.函数/（x）=sinx-cosx的最大值为（）

A.1B.V2C.V3D.2

11.设△ABC是等腰三角形，乙48。=120°,则以A8为焦点且过点C的双曲线的离

心率为（）

II1Inrrr

A.------B.——C.1+V2D.I+V3

22

12.已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,

则两圆的圆心距等于（〉

A.1B.72C.6D.2

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文科数学(必修+选修I)

第n卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.

13.设向量。=(1,2),力=(2,3),若向量勿与向量c=(T,—7)共线，则a=.

14.从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学

又有女同学的不同选法共有种(用数字作答)

15.已知产是抛物线G)，2=4工的焦点，A8是C上的两个点，线段A8的中点为

M(2,2),则AAB/的面积等于.

16.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，

写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件①；

充要条件②__________________________________________________.

(写出你认为正确的两个充要条件)

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

53

在/\ABC中，cosA=-,cosB=—.

135

(1)求sinC的值；

(H)设8c=5,求△ABC的面积.

18.(本小题满分12分)

等差数列｛q｝中，4=10且%，线，4。成等比数列，求数列｛凡｝前20项的和邑0・

19.(本小题满分12分)

甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹.根据以往资料知，甲击

中8环，9环，10环的概率分别为0.6,0.3,0.1,乙击中8环，9环，10环的概率分别为

0.4,0.4,0.2.

设甲、乙的射击相互独立.

(I)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；

(II)求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率.

20.(本小题满分12分)

如图，正四棱柱A8CO-A4G2中，AA=2A8=4,点E在CG上且GE=3EC.

(I)证明：A。，平面BED;D

A/|G

(ID求二面角A—OE—8的大小.'N\B'\

21.(本小题满分12分)

设awR,函数f(x)=axy-3x2.

(I)若x=2是函数y=/(©的极值点，求。的值：

(II)若函数g(x)=/(x)+f'(x),XG[0,2],在x=0处取得最大值，求。的取值范围.

22.(本小题满分12分)

设椭圆中心在坐标原点，A(2,0),8(0,1)是它的两个顶点，直线)，=kHk>0)与A8相交

于点。，与椭圆相交于E、尸两点.

(I)若前=6评，求Z的值：

(H)求四边形AE8b面积的最大值.

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文科数学试题(必修+选修I)参考答案和评分参考

评分说明：

i.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要

考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和

难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半：

如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

4.只给整数分数.选择题不给中间分.

一、选择题

1.C2.B3.D4.C5.C6.D

7.A8.B9.A10.B11.B12.C

二、填空题

13.214.42015.2

16.两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交十一点；底面是平行四边

形.

注：上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案，同样给分.

三、解答题

17.解：

512

(I)由cos4=------,得sinA=—,

1313

34

由cosB=—,得sin8=w................................................................................................2分

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=—................................................5分

(H)由正弦定理得4。='0』'血8=4=丫..............................8分

sinA123

13

所以△ABC的面积S=LxBCx4CxsinC='x5x史x3=»...........................10分

223653

18.解：

设数列｛4｝的公差为d，则

。3=。4-4=10-4，

4=+2d=10+2(/,

4o=%+61=10+64......................................................................................................3分

由av纥，4o成等比数列得。刈0=

即(10-4)(10+6d)=(10+2d)2,

整理得10d270d=(),

解得4=0或d=l.........................................................7分

当d=()时，520=20%=200..............................................9分

当d=1时，％=%—34=10-3x1=7,

20x19

于是$20=204+-----J=20x7+190=330..............................12分

19.解：

记A，4分别表示甲击中9环，io环，

线分别表示乙击中8环，9环，

A表示在•轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，

。表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多丁乙击中的环数，

G，G分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数.

(I)A=A+4.......................................2分

P(A)=P(A再+4耳+海耳)

=p(A耳)+p(4再)+P(&ZB?)

=p(A)DP(B,)+P(A2)DP(B,)+P(A2)ZP(B2)

=0.3X0.4+0.1X0.4+0.1X0.4=0.2........................................6分

(II)8=G+G.........................................................8分

P(C1)=C；[P(A)]2[\-P{A}\=3X0.22x(l-0.2)=0.096,

33

P(C2)=|P(A)]=0.2=0.C08,

P(B)=P(C,+C2)=P(C1)+P(G)=0.096+0.008=0.104..................12分

20.解法一：

依题设，AB=2,CE=\.

(I)连结AC交于点/，则8O_LAC.

由三垂线定理知，BDL\C................................................3分

在平面4cA内，连结£尸交AC于点G,

由喂啥.日

故RlZ\AACsRt/\pcE,ZA41C=ZCFE,

NCFE与N〃CA互余.

于是ACLE/7.

4。与平面8E力内两条相交直线8D样都垂直,

所以AC_L平面3fo.....................................................6分

(H)作G//JLOE,垂足为“，连结由三垂线定理知A〃_LOE,

故/A〃G是二面角4一。七一8的平面角.......................................8分

EF=y]CF2+CE2=x/3,

CG=筌冬如疝F邛.

EG1EFxFD

=GH=—x

~EF33DE

又40=〃^+3=2瓜Afi=\C-CG=^~.

tanNA"G=^=5百.

HG

所以二面角A-DE-8的大小为arctan5逐..........12分

解法二：

以。为坐标原点，射线QA为x轴的正半轴，

建立如图所示直角坐标系D-xyz.

依题设，8(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,l),/\(2,04).

DE=(0,2,1),丽=(2,2,0),A^C=(一2,2,-4),函=(2,0,4).3分

(i)因为^5S=o,

故4coA.C1DE.

又DBRDE=D,

所以AC_L平面OBE.................................................6分

(ID设向量〃=(x,y,z)是平而。的法向量，则

n_LDE,n±.

故2y+z=0,2x+4z=0.

令y=l,则z=—2,x=4,n=(4,1»—2)................................9分

<n,A^C>等于二面角A.-DE-B的平面角，

cos<>="„=.

同年|42

所以二面角4一。七一8的大小为arccos±-.............................12分

21.解:

(I)f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).

因为x=2是函数y=/(x)的极值点，所以/'(2)=0,即6(加-2)=0,因此。=1.

经验证,当〃=1时，<=2是函数y=/(x)的极值点.............................4分

(II)由题设，,i?(x)=av3-3x2+3ax2-6x=ar2(x+3)-3x(x+2).

当g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)时，

g(0)2g⑵,

即0,20。-24.

故得aWg..........................................................9分

反之，当。时，对任意KE[0,2],

g(x)Wx2(x+3)-3x(x+2)

=3X

5-(2X2+X-10)

版

=5一(2x+5)(x-2)

Wo,

而g(O)=0,故g(x)在区间［0,2］上的最大值为g(0).

综上，。的取值范围为1-8,1

..............................................................................................12分

22.(I)解：依题设得椭圆的方程为三+9=1,

4

直线ABM的方程分别为工+2)，=2,y=kx(k>0)........................2分

如图，设0(%,E(xe依)，F(X2,kx2),其中X]<F，

且不£满足方程(1+4^)/=4,

2_

故x,=-%=-,=,.(J)

g4k2

——1510

由£7)=6DF知/一%-6($-%)，得小=—(6不+x)=一居=—/:

7]77a+4严

2

由/)在AB上知天)+2Z0=2,得x0

1+2攵

所以——-=—7=--------

l+2k7J1+422

化简得24公一25Z+