高考数学北师大版讲义第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ22

§2.2函数的单调性与最值

最新考纲考情考向分析

以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其

单调区间及函数最值的确定与应用；强化*j

几何意义.

函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的

论思想的考查，题型既有选择、填空题，又

性质.

有解答题.

基础知识自主学习

——回扣基础知识训练基础题目——

厂知识梳理

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

在函数的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数XI，

定义当汨<¥2时，都有/U1)〈AX2)，当X]<X2时，都有AX|)>/(.¥2)»那

那么，就称函数人。在区间A么，就称函数月幻在区间4上是

上是增加的减少的

y

图像四)小)

0

描述

自左问右看图像是上升的自左向右看图像是下降的

⑵单调区间的定义

如果函数、，=人力在区间A上是增加的或是减少的,那么就称A为单调区间.

2.函数的最值

前提函数)，=/&)的定义域为。

条件(1)存在那£。，使得心o)=M；(3)存在％0仁。，使得/Uo)=M；

(2)对于任意x£D,都有(4)对于任意xW。，都有/k)2M

结论M为最大值M为最小值

【知识拓展】

函数单调性的常用结论

⑴对任意为，足工应)，二"")>OC/U)在D上是增加的，人“)二次X2)<0经心)在D

»一及X\-X2

上是减少的.

(2)对勾函数y=.r+?4>()i的递增区间为(一8,一3］和［5，+8),递减区间为［一由，())

和(0,3］.

(3)在区间。上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.

(4)函数十式明的单调性与附数)，=*〃)和〃=飘X)的单调性的关系是“同增异减”.

r基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J"或"X")

(1)若定义在R上的函数/5),有人一1)勺(3),则函数人幻在R上为增函数.(X)

(2)函数y=./(x)在［1,+8)上是增函数，则函数的递增区间是［1,+8).(x)

(3)函数)，=：的递减区间是(一8,0)U(0,+oo).(X)

。)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.(J)

题组二教材改编

2.函数_/U)=f—2x的递增区间是.

答案［1,+8)(或(1,4-00))

2

3.函数)，=言在［2,3］上的最大值是.

答案2

4.若函数次式)=『一2/群+1在［2.+8)卜是增函数，则实数〃?的取值范围是.

答案(一8,2］

解析由题意知，［2,+8),.•.机《2.

题组三易错自纠

5.函数y=log］(F—4)的递减区间为.

2

答案(2,+8)

6.若函数./U)=|2x+a|的递增区间是［3,+oo),则〃的值为.

答案一6

解析由图像(图略)易知函数段)=|2x+a|的递增区间是［一今+8),令一>3,得&=一

6.

［1X>1

7.函数1'的最大值为.

x?+2,x<\

答案2

解析当时，函数/2=：为减函数，所以yu)在x=i处取得最大值，为人1)=1；当x

<1时，易知函数人%)=一f+2在x=0处取得最大值，为五0)=2.故函数7U)的最大值为2.

题型分类深度剖析

真题典题深度剖析歪点难点多维探究

多维

题型一确定函数的单调性(区间)探究

命题点1给出具体解析式的函数的单调性

典例(1)(2017・全国II)函数41)=111，-2X一8)的递增区间是()

A.(—8,—2)B.(—8,1)

C.(1,+°°)D.(4,+8)

答案D

解析由A2—2A-8>0,得x>4或x<—2.

设2x—8,则y=h"为增函数.

要求函数凡。的递增区间，即求函数，-2A,—8的递增区间.

•・•函数f=『一2x—8的递增区间为(4,4-oo),

・•・函数火幻的递增区间为(4,+8).

故选D.

(2)函数y=―/+2仅|+3的递减区间是.

答案［1，+8)

解析由题意知，当x20时，y=­/+法+3=一。-1)2+4；当x<0时，y=一『一2x+3

=-(X+1)2+4,

二次函数的图像如图.

L

.-/2-10J12L~x

由图像可知，函数丁=一/+2园+3的递减区间为［-IQ］,［1,+8）.

命题点2解析式含参数的函数的单调性

典例判断并证明函数人的=加+：（其中1V〃V3）在［1,2］上的单调性.

解函数/（x）=af+：（lvav3）在［1,2］上是增加的.

证明：设1WXIVMW2,则

/2）-/U1）=渥-ad

人2人1

=（及一方）。（工1+12）一士，

-人1人2_

由1〈X|VX2<2,得X2—N|>0,2VX|+'2々4,

1<X|X2<4,一IV一士<一；・

人］42r

又因为1V“V3,

所以2V〃（X|+X2）V12,

得〃⑺+及）一表>°，

从而风。）一/（内）>0,即«V2）>/（M）,

故当a£（l,3）时,凡r）在［1,2］上是增加的.

引申探究

如何用导数法求解本例？

ane、r,I2加—1

解因为/（x）=2ax—^=>

因为1WXW2,・・・1W,FW8,

又1V〃V3,

所以2aF-l>0,

所以/a）>o,

所以函数（其中1V〃V3）在［L2］上是增函数.

思维升华确定函数单调性的方法

（1）定义法和导致法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；（2）复合函数法，复合函数单

调性的规律是“同增异减”；（3）图像法，图像不连续的单调区间不能用“U”连接.

跟踪训练⑴（2017•郑州模拟）函数>，=（9谭-3-1的递增区间为（）

A.（1,+8）B.（-8,1

C.&+8）D.I，+8）

答案B

解析易知函数y=G）为减函数，，="一3什1的递减区间为（一8,今

••・函数）'=G）"一或"的递增区间是（一8,J-

（2）函数式幻=田一2年的递减区间是（）

A.［1,2］B.［-1,0］

C.（0,21D.［2,+8）

答案A

2x,

解析由题意得，/（A）=

-f+Zr,x<2,

当x22时，［2,+8）是函数贝©的递增区间；

当N2时，（-8,1］是函数/U）的递增区间，

［L2］是函数/U）的递减区间.

题型二函数的最值———“•・自主演练

1.函数1x）=G>-log2（.x+2）在区间［一1,1］上的最大值为.

答案3

解析由于>=（；>在R上是减少的，），=log2（%+2）在［-1,1］上是增加的，所以/U）

在［-1,1］上是减少的,故危）在上的最大值为/-1）=3.

a

2.已知函数4x）=（,6则4r）的最小值是.

6,x>I,

答案2加一6

解析当xWl时，凡r）min=0，当x>1时，/U）min=2#—6,当且仅当X=加时取到最小值,

又2#—6V（）,所以儿5i］=2加-6.

3.（2017•浙江）若函数在区间［0,1］上的最大值是M,最小值是小，则M-

皿）

A.与。有关，且与。有关

B.与a有关，但与〃无关

C.与。无关，且与〃无关

D.与。无关，但与有关

答案B

解析方法一设汨，4分别是函数yu)在。1]上的最小值点与最大值点，

则=小+&口+/7,加=五+ax2+b.

•'•M—〃?=E—才+a(M—川)，

显然此值与。有关，与b无关.

故选B.

方法二由题意可知，函数J(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图像的形状一定,随着

b的变动,相当于图像上二移动，若〃增大2个单位，则最大值与最小值分别变为M+左，m

+%,而(M+&)—(/〃+&)=M—〃?，故与b无关.随着〃的变动，相当于图像左右移动，则M

一加的值在变化，故与公有关，故选B.

思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式

求出最值.

(4)导致法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.

多维

题型三函数单调性的应用

探究

命题点I比较大小

典例已知函数段)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当也加>1时，[/CV2)-/(A1)]-(X2

—X1)<O恒成立，设。=/(一§,〃=42),c=fi3),则a,h,c的大小关系为()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

答案D

解析根据已知可得函数/U)的图像关于直线X=1对称，且在(1,+8)上是减函数，因为。

=/(-0=/日，且2<|<3,所以/»a>c.

命题点2解函数不等式

典例若Ki)是定义在(0,+8)上的增函数，且满足/Uy)=/U)+/()，),/(3)=1,则当/(x)+/U

—8)W2时，x的取值范围是()

A.(8,4-oo)B.(8,9]

C.[8,9]D.(0,8)

答案B

解析2=1+1=«3)+火3)=/(9),

由7U)+yU—8)W2,可得/hU—8)](A9),

因为凡目是定义在(0,+8)上的增函数，

人＞0,

所以有上一8＞0,解得8＜工＜9.

Mx—8)W9,

命题点3求参数范围

典例(1)(2018•郑州模拟)函数产二一二在(一1,+8)上是增加的，则〃的取值范围是()

-VaL

B.“V3

C.aW—3D.3

(4〃-1)x+4〃.r＜U

(2)已知病)=是(-8,+8)上的减函数，则。的取值范围是()

lo&*,

A.(0,1)BP3

「1

亍

C.3.D.1

答案(DC(2)C

x一。-2+。-3a—3

解析⑴产—2=1+x—〃一2,

a—3V0,

由题意知，“+2WT,得忘—3.

的取值范围是“W—3.

3d-KO,

(2)由是减函数，得OVaVL

(3(7—1)X1+4a2log“l,

fJ

・•・〃的取值范围是d，g.

思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小.

(2)解不等式.利用函数的单调性将符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数

的定义域.

（3）利用单调性求参数.

①依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；

②需注意若函数在区间[小上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；

③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.

跟踪训练（1）已知函数凡在区间[2,4]上是减少的，则实数a的值是.

答案8

（..a

x\2x—a）,

解析J（x）=x\2x—a\=y（a>0）,

[—x（2x—a）,

「1/2，

作出函数图像（图略）可得该函数的递减区间是^，麻以彳解得〃=8.

1>4,

（2）（2017珠海模拟）定义在R上的奇函数），一/（x）在（0,+刈上是增加的，旦娘一0,则不等

式y（log]x）>0的解集为.

9

答案卜卜制或1a<31

解析由题意知，/'（一；）=一/'（；）=。，

K0在（一8,0）上也是增加的.

.7/Uogi©>/（；）或/（logI幻>/（一。

99

•二log]或一:Vlog]xVO,

99

解得0Vx<?1或1VXV3.

工原不等式的解集为{[oag或I4V3}.

课时作业

y基础保分练

1.下列函数中，在区间（0，+8）上为增函数的是（）

A.产出+1B.y=(x-l)2

C.y=2~xD.y=logo,5(-r+l)

答案A

解析函数y=[市的递增区间是（一1,+8）,在（0,+8）上为增函数，故选A.

2.（2017•河南中原名校第一次质检）函数），=log|（一『+x+6）的递增区间为（）

Ca+8）D.（_8,§

答案A

解析由一f+x+6>0,得一2VxV3,故函数的定义域为（一2,3）,令，=—/+x+6,则y

=log,i,易知其为减函数，由复合函数的性法则可知本题等价于求函数，=—f+.丫+6在（一

2

2,3）上的递减区间.

利用二次函数的性质可得f=—*+x+6在定义域（一2,3）上的递减区间为（｝,3）,故选A.

10g2X,X31,

3.已知函数兀r）=,,则％=—1”是“函数Ax）在R上是增加的”的（）

X十C,XV1,

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

答案A

解析若函数凡0在R上是增加的，

则需log212c+l,即cW—1.

由于c=-1,即cW—1,但cW-1不能得出。=—1,

所以％=—1”是“函数/U）在R上是增加的”的充分无必要条件.

4.已知函数y=log2（or—1）在（1,2）上是增函数，则实数〃的取值范围是（）

A.（0,1]B.[1,2]

C.[1,+8）D.[2,+8）

答案C

解析要使y=log2（or—1）在（1,2）上是增函数，则。>0且“一120,即“21.

5.（2017•天津）已知奇函数加）在R上是增函数.若a=-/（logzS，〃=y（log24.1）,c=y（2°$）,

则a,h,c的大小关系为（：）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

答案C

解析・・・代丫）在R上是奇函数，

•**«=-/6og2T）=X-log27）=/（log25）.

又7U)在R上是增函数，

08

且log25>log24.I>log24=2>2-,

.*./(log25)>yilog24.1)>人2°用)，：.a>b>c.

故选C.

f(x—A)2,

6.设/u)=(若与))是yu)的最小值，则〃的取值范围为()

x+q+小x>0.

A.[-1,2]B.[-1,0]C.[1,2]D.[0,2]

答案D

解析•・•当xWO时,_/U)=a—a)2,<0)是人x)的最小值，，当x>0时,yU)=x+：+aN2

+〃，当且仅当％=1时取“=”.要满足人0)是./U)的最小值，需2+“宓0)=病，即/一。

—2W0,解得一1WOW2,

・••〃的取值范围是0WaW2.故选D.

7.已知函数«r)=q『一2x—3,则该函数的递增区间为.

答案[3,+8)

解析设/=f—2x—3,由720,即x2—2x—320,解得xW—1或x»3.

所以函数的定义域为(-8,-1]U[3,+8).

因为函数，=/一标-3的图像的对称轴为工=1,所以函数，在(一8,—1]上是减少的，在[3,

+8)上是增加的.

所以函数7U)的递增区间为[3,+8).

1,Q0,

8.设函数人x)=，。，x=0，g(x)=x2J(x—\),则函数g(x)的递减区间是________.

1,,v<0,

答案[0,1)

x2,x>\,

解析由题意知g(x)=o,x=l，

「0X<\,

函数g(x)的图像如图所示，其递减区间为[0,1).

一f+4]，xW4,

9.(2017・潍坊模拟)设函数加)=若函数y=/U)在区间(小。+1)上是增

Iog2.V,x>4.1

加的，则实数。的取值范围是.

答案（一8,1]U[4,+8）

解析作函数7U）的图像如图所示，由图像可知凡I）在（以，。+1）上是增加的，需满足

或a+1W2,

即aW1或a24.

r=log2^(.r>l)

、•=一犬+4x

&W4)

,1

io.已知函数凡r）=J2＞若yu）在（0,+8）上是增加的，则实数。的取值

a,x＞l,

范围为.

答案（1,2]

解析由题意，得F+5—2W0,则aW2,又），="-a（Ql）是增函数，故所以。的

取值范围为lvaW2.

II.已知/

（1）若。=-2,试证7U）在（-8,—2）上是增加的；

（2）若a＞0且凡r）在（1,+8）上是减少的，求。的取值范围.

（I）证明设XiVx2V—2,

彳、一介\此_力2QI—X2）

人J7U1）以2）—内+2北+2-QI+2）（X2+2）.

因为（X|+2）（X2+2）＞O,X[—X2＜0,

所以凡叫）一©2）＜。，即凡）＜於2），

所以人幻在（-8,—2）上是增加的.

（2）解设lVxi〈X2,

则/1）一%2）=卷一六

a（X2-x\）

（x\—a）（x2—ay

因为。＞0,X2—X]＞0,所以要使4口）一/（工2）＞0,只需（X]—4）（X2-4）＞0恒成立,

所以aWl.综上所述，OV〃W1.

12.函数hx）=4f-4ai+，一%+2在区间[0,2]上有最小值3,求a的值.

解人工）=4（丫一§2

一2〃+2,

①当30,即。W0时，函数启）在［0,2］上是增函数.

*,»/（-v）niin=y（0）=a2—la+2.

由『一2a+2=3,得Q=1±A/5.

TaWO,・・・a=l

②当0vm2,即0v〃v4时，

Hx）min=/（?=~2a+2.

由一2a+2=3,得a=一/（0,4）,舍去.

③当,22,即“24时，函数«r）在［0,2］上是减函数，

K0min=A2）=/一|Oa+］8.

由片一10〃+18=3,得a=5±VT5.

•・,心4,・"=5+回.

综上所述，4=1一加或”=5+S5.

子技能提升练

13.已知函数人幻=«-2or+a在区间（一8,|）上有最小值，则函数g（x）=力?在区间（I,+

人

8）上一定（）

A.有最小值B.有最大值

C.是减函数D.是增函数

答案D

解析由题意知avl,又函数g（x）=x+3—2a在（丽，+8）上为增函数，故选D.

人

^2-4（+3,_rW0,

14.已知«r）=2-二、：不等式人工+。）次加一x）在①，a+1］上恒成立，则实数

一广一2Y+3,A>0,

。的取值范围是.

答案（一8,-2）

解析二次函数》=/一曲+3的对称轴是x