第2章 直线与圆的位置关系 综合素质评价卷（含答案）

第2章线与圆的位Jt关系

一、选择题（每题3分，共30分）

1.已知。O的半径为6cm,圆心。到直线/的距离为7cm,则直线

/与。。的位置关系是（）

A.相交B.相切

C.相离D.不能确定

2.如图，已知A3是。。的直径，8C与00相切于点5,连结AC,

若3C=1,OB=也,则AC的长为（）

3.如图，。。是△AHC的内切圆，则点。是△ABC的（）

A.三条边的垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点

C.三条中线的交点D.三条高的交点

4.如图，B4,尸8分别切OO于点4B,PA=4fCD切于点E,

分别交RI,PB于C,。两点，则△PCD的周长是（）

A.4B.8

C.12D.16

5.在平面直角坐标系中，以点（3,—4）为圆心，2为半径作圆，这个

圆与直线x=l的位置关系为（）

A.相交B.相切

C.相离D.不能确定

6.[2024.宁波江北区期末]如图，点。为。0外一点，连结0P,作以

0P为直径的。A,两圆交于点Q,连结PQ,可得PQ是。。的切

线，则判定其为切线的依据是（）

A.经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线

B.垂线段最短

C.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直

D.过圆外一点所作的圆的两条切线长相等

7.[2023•衢州衢江区一模]如图，点O在AABC的边4c上，。。经

过点C,且与AB相切于点B.若0C=1,AC=3,则比的长为（）

A兀n2

A.gB.于

4

C.7iD.g兀

8.如图，已知NPOQ=30。，点A,B在射线。。上（点A在点0,B

之间），半径长为2的。A与直线OP相切，半径长为3的。5与

OA相交，那么08的取值范围是（）

A.4«9B<9B.5<OB<9

9.如图，RIA48C的内切圆。。与两直角边AB,8C分别相切于点。,

E,过劣弧。风不包括端点。，场上任一点尸作。。的切线MM

与A8,8C分别交于点M,N,若。。的半径为八则RtZkMBN的

周长是（）/一方今

A'B④l

C.2rD.|rD

（第10M）

10.[2024.金华期末]如图，点七是△A3。的内

心，AE的延长线和AABC的外接圆相交于点。，与8C相交于点

G,则下列结论：①/区4。=/。。；②若N84C=60。，则N8EC

=120°；③若点G为BC的中点，则N5GD=90。；®BD=DE.

其中一定正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题（每题4分，共24分）

11.已知。。的半径为5,直线A8与。。相交，则圆心0到直线4?

设t=PE+PF,则t的取值范围是

三、解答题（17〜19题每题6分，20,21题每题8分，22,23题每题

10分，24题12分，共66分）

17.如图，在△04B中，OA=OB,。。与A8相切于点C

求证：AC=BC.

18.如图，在△AgC中，NACB=90。，NA=30。，CD上AB,3C=4cm,

以点C为圆心，4cm为半径画。C,试判断直线与。。的位

置关系，并说明理由.

c

19.如图，在△A3C中，/B=/C,AO是边上的中线.请用尺

规作图，作出△A8C的内切圆.(保留作图痕迹，不写作法)

20.如图，。。是AA8C的外接圆，点E是△A8C的内心，AE的延

长线交于点F,交。。于点Q,连结BQ,BE.

⑴求证：DB=DE；

(2)若AE=3,D尸=4,求。8的长.

21.如图，B4,分别与。O相切于A,B两点，连结PO交。。于

点。，AC是。。的直径.

(1)求证：NBAC=g/APB；

4

(2)若AC=6,cos/氏4(7=亍求PO的长.

22.如图，4?为。。的直径，点C是勃的中点，过点C作射线BO

的垂线，垂足为E

E

(1)求证：CE是。。的切线；

(2)若8E=3,A8=4,求8C的长;

(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积(用含有兀的式子表示).

23.装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以A3为直径的半

圆。，AB=50cm,如图①和图②所示，MN为水面截线，GH为

台面截线，MN//GH.

【计算】在图①中，已知VN=48cm,作OC_LMN于点C.

⑴求0C的长；

【操作】将图①中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出

一部分，当NAMM=30。时停止滚动，如图②.其中，半圆的中点

为。，G〃与半圆的切点为E,连结0E交MN十点D.

【探究】在图②中.

(2)操作后水面高度下降了多少？

(3)连结。。并延长交G”于点F,求线段E尸与愈的长度，并比

较大小.

24.[2023•丽水]如图，在。。中，是一条不过圆心。的弦，点C,

。是M的三等分点，直径CE交于点儿连结AO交C/于点

G,连结AC,过点。的切线交84的延长线于点H.

E

(1)求证:AD//HC；

(2)若7京=2,求tanNMG的值;

v-T

⑶连结BC交A。于点N,若。。的半径为5.

①若。尸=|,求8C的长；

②若A〃=①，求△4VB的周长；

③若HFA8=88,求△8HC的面积.

答案

一、1.C2.A3.B4.B5.B6.A7.B8.B

9.C【点拨】连结OD,OE/：QO是Rt/XABC的内切圆，D,E

为切点，：.ODLAB,0E1BC.

XVZB=90°,：・NODB=NB=N0EB=9。。,

・••四边形。。即是矩形.

又・.,OD=OE,・•・四边形0Q8E是正方形，

，BD=BE=OD=OE=r.

•・・。0切A3于点。，切8C于点石，切MN于点P,

:・MP=MD,NP=NE,

；・Rt八MBN的周长为MB+NB+MN=MB+BN+MD+NE

=BD+BE=r+r=2r.

10.D【点拨】・・•点E是aABC的内心，

・・・AQ平分NB4C,：.ZBAD=ZCAD,故①正确.

如图，连结3石，CE「・,点七是△43C的内心，

・•・NEBC=：NABC,ZECB=^ZACB.

VZBAC=60°,/.ZABC+ZACB=\20°,

：.ZBEC=180°-ZEBC-ZECB=180°-1(ZABC+Z

ACB)=\20°,故②正确.

如图，连结OD

・；NBAD=NCAD,:®=6C,：.ODLBC.

•・,点G为3c的中点,

・・・点G一定为0D与BC的交点，

AZBGD=90°,故③正确.

♦点E是A43C的内心,

・・・3七平分NABC,

・•・NABE=/CBE.

：ZDBC=ZDAC=/BAD,

：.ZDBC+ZEBC=ZEBA+/EAB,

:・/DBE=/DEB,:.DB=DE,故④正确.

综上，一定正确的是①②③④，共4个，故选D.

二、11.0<J<512.65°13.3414.24

15.35°【点拨】如图，连结OE,OD,OB,设OB,DE交于点H,

•・・。0是AABC的内切圆，

：.OA,03分别是NC43,

ZCBA的平分线，

：.Z0AB=^ZCAB9Z0BA=^ZCBA.

•?ZACB=70°,

・・・ZCAB+ZCBA=\80°-ZACB=110°,

・,.ZOAB+ZOBA=|ZC/1B+|ZCBA=55O,

JZAOB=\80°~ZOAB-NOBA=125°.

•・・0O与AB,8。分别相切于点。,E,：.BD=BE.

又\・OQ=OE,JOB是QE的垂直平分线，

AOBIDE,即NOH/=90。，

・♦.ZAFD=ZAOH-ZOHF=35°.

16.2y/2<t<2也+4【点拨】如图①，设。O与NAC8两边的切

点分别为D,G,连结OG,OD,延长DO交CB于点H,

VCA,C8是。。的切线，：.OD±AC,OGLBC.

VZACB=45°,・・・NOHC=45。，:.CD=DH,

：.OH=y/2OG=2”，：.CD=DH=26+2,

AA

如图②，延长EP交C8于点Q,

同理PQ=V^PF.

■:yPE+也PF,：.t=PE+PQ=EQ.

当£。与。。相切时，EQ有最大或最小值,

连结OP,0D.•:D,尸都是切点,

JZODE=NDEP=NOPE=90。,

・・.四边形ODEP是矩形.

9：OD=OP9・・・四边形ODEP是正方形，

.，的最大值为EQ=CE=CD+OE=2也+4.

如图③，

同理，，的最小值为EQ=CE=CD—OE=2也.

综上，，的取值范围是2y[2<t<2也+4.

三、17.【证明】连结OC

••♦(DO与A2相切于点C,AOCLAB.

又.：OA=OB,：.AC=BC,

18.解：直线3。与。。相交.理由如下：

VZACB=90°,ZA=30°,：.AB=2BC=8cm,

：.AC=yjAB2-BC2=yjs2~42=4小(cm).

由三角形的面积公式得14c5C=14BCD,

.ACBC4也x4

••CD—A3—g—2\3R(cm).

・・・2小＜4,・•.直线8。与。。相交.

19.解：如图,。。即为所求.

20.(1)【证明】,・•点£是448。的内心，

二•AD平分NH4C,BE平分NA3C

・・・/BAE=ZCAD,NABE=ZCBE.

又♦:/DBC=/CAD,：.ZDBC=ZBAE.

丁/DBE=ZCBE+NDBC,

/DEB=ZABE+/BAE,

.・・/DBE=/DEB.：.DB=DE.

(2)解：由(1)知NO8C=N8A£

又・.・/Q=ND,:・ADBEsADAB.：,瞿=*

DADD

♦：DE=DB,：.DB=DF+EF=4+EF.

又DA=AE+EF+DF=1+EF,

.4+EF4

,,7+EF=4+EF，

解得石尸=2(负值已舍去)・・・・O/?=6.

21.(1)【证明】如图，连结08,设尸。与A3交于点£

VM,P3为。。的切线，

：.PA=PB,0A±PA,

0B1.PB,

.\Z1=Z2=^ZAPB,

N3+NBAC=90。,：.PE±AB,AZ1+Z3=90°,

・・・ZBAC=Zl,JZBAC=^ZAPB.

J

(2)解：:AC是。。的直径，・・・NABC=9()。.

4

VAC=6,cosZBAC=T»

424

•*AJ?—:TAC,,COSZ^5AC,-6XT--7-,

2_18

：.BC=y]AC2~AB2=-T,

18

BC~533

：.sinZBAC=/.sinZ1=T.

AC~6-5’

VAC=6,ADO=AO=^AC=^x6=3.

An3

VZZ^O=90°,/.PO=--77=5=5,

sinZ13

5

：.PD=PO-DO=5-3=2.

22.⑴【证明】如图，连结OC,•，点。是尬的中点,

・,・R=呢，AZABC=ZEBC.

•：OC=OB,：.ZABC=ZOCB,

：.ZEBC=ZOCB,：.OC//BE.

VBE1CE,/.OCLCE.

•・・OC是。。的半径，・・・C£是。。的切线.

(2)解：如图，连结AC,

・・・A5是。。的直径，

JZACB=90°=ZE.

、：ZABC=ZCBE,

・迪=如

：.dACBsACEB,

・2_=区：.BC=25.

,,BC-3

(3)解：如图，连结OO,CD,

VAB=4,A0C=0B=2.

在RtMCE中，BC=2小,BE=3,

BE3小

♦••cosZCBE=BC=2^3=2'

AZCBE=30°,AZCOD=60°,AZAOC=6Q°.

9：OC=OD,•••△CO。是等边三角形，・・・NCDO=60。,

：.ZCDO+ZAOD=180°,：.CD//AB,

,__6071X222

・・SACOD=SACBD，・・S阴影—S扇形COD—360—］兀.

23.解：(1)连结OM,

TO为圆心，OCJ_MN于点。，MN=48cm,

・・・MC=J〃N=24cm.

;A8=50cm,/.0M=；A8=25cm,

・••在RSOMC中,

OC=^OA/2-MC2=^252-242=7(cm).

(2)・；G”是半圆的切线，AOEA.GH,

•:MN〃GH,・・・OEJ_MN于点D

VZAW=30°,ON=25cm,

125

：.0D=3()N=Wcm,

・,•操作后水面高度F降了胃―7=y(cm)・

(3)・・・。后_1用；7于点。，ZANM=30°,

：.ZDOB=60°.

♦・•半圆的中点为Q,.♦.&=◎，

：.ZQOB=90°,：.ZQOE=30°i

EF=tanZQOEOE=^^cm,

30X71x2525兀

(cm).

皎=180T

・.25小25兀50小一25兀25(2小一兀)

・3---6-6・・・EF＞敢.

24.(1)【证明】•・,点C,。是⑰的三等分点,

・・.At=e=曲

又・・・。£是。。的直径，・・・CE，AD

•・・”c是。。的切线，

：.HC±CE.：.AD//HC.

(2)解：如图，连结AO,

,:Q=Cb,：.ZBAD=ZCAD.

丁C£_LA。，；・ZAGF=ZAGC=90°.

又\・AG=AG,

.•.△CAG^AMG,:・CG=FG.

设CG=FG=a,

..QG

・CG~9

OG=2a,；.AO=CO=3a.

在RSAOG中，由勾股定理得AO2=AG2+OG2,

即：.AG=,a.

.tFGa下

,・tanNFAG-AG-&T5.

(3)解：@VOF=|,OC=OA=59

：.CF=^：.CG=FG=1,

乙I

**•OG=5—••AG=yjOA~OCr—•

VCE1AD,・・・AO=2AG=5巾.

•・,祝=6=加，和=CB,：.BC=AD=^巾.

②如图，连结CD,

FGAF

■:NDIIHC,・・・衣=,

VFG=GC,：.AH=AF.

VZ//CF=90°,：.AC=AF=AH=y[id,

设CG=FG=x,则OG=5~x.

由(2)得△CAG之△布G,JAF=AC=y[ld.

・.・。=/，：.CD=AC=\[ib.

由勾股定理得4G2=4。2—0(^=4。-CG2,

即25—(5—x)2=10—%2,解得x=l.

：.AG=3,：.AD=2AG=6.

・.・。