第03讲 中心对称与中心对称图形（知识解读+达标检测）（解析版）

第03讲中心对称与中心对称图形

题型归纳________________________________________

【题型1中心对称图形】

【题型2中心对称的性质】

【题型3利用中心对称的性质•找对称中心】

【题型4利用中心对称的性质•求边长长度】

【题型5利用中心对称的性质•求点坐标】

【题型6利用中心对称的性质•求面积】

【题型7利用中心对称的性质•作图】

基础知识,知识梳理理清教材

考点：中心对称(两个图形)

1.概念

把一个图形绕着某一点旋转180。，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图

形关于这个点对称或中心对称；

2.性质

(1)关于中心对称的两个图形是全等形.

(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。

3.判定

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点

对称。

4.作图步骤：

(1)连接原图形上所有的特殊点和对称中心。

(2)将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距

离相等。

(3)将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形

5.中心对称图形（一个图形）

把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这

个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心o

题型分类深度剖析)

【题型1中心对称图形】

【典例I】（2023秋•南沙区期末）剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称

【答案】4

【解答】解：选项从C、。中的图形都不能找到一人点，使图形绕某一点旋转180°后

与原来的图形重合，所以不是中心对称图形.

选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以

是中心对称图形.

故选：A.

【变式（2023秋•蒙城县校级期木）下列图形中，是中心对称图形的是（）

【答案】C

【解答】解：A、B、。中的图形不是中心对称图形，故A、B、。不符合题意;

C中的图形是中心对称图形，故C符合题意.

故选：c.

【变式1-2］（2023秋•清河区校级期末）四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大

【答案】。

【解答】解：4.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意;

B.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.该图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意;

D.该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意;

故选：D.

【变式1-3］（2023秋•沙坪坝区校级期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图

【答案】。

【解答】解：A、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；

B、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故8不符合题意；

C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；

D.图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故。符合题意.

故选：D.

【题型2中心对称的性质】

【典例2】（2022秋•浦北县期末）如图,△ABC与关于点。成中心对称，则下列结

论不成立的是（）

B'

A.点A与点A是对称点B.BO=B'O

C.AB=A'B'D.NAC8=NC7TS

【答案】。

【解答】解：:△ABC与△A5C关于点。成中心对称，

・••点A与点A是对称点,BO=BO,AB=A'B',

B,C正确，

故选：D.

【变式2-1］（2023春•内江期末）如图，△AQE与△COB关于点。成中心对称，连结48,

以下结论错误的是（）

A.AD=CDB.ZC=ZE

C.AE=CBD.SAADE=SMDH

【答案】B

【解答】解：:△ADE与△COB关于点。成中心对称，

：,AD=CD,BD=ED,AE=CB,/E=/CBD,

♦：BD=ED,

；・SaAB£）=S&WE,

故选：B.

【变式2-2］（2023春•泉港区期末）如图，△AO。与△BOC关于点。成中心对称，连结.48、

CD,以下结论错误的是（）

A.OA=OBB./^AOD^^COB

C.AD=BCD.SAACD=S^BCD

【答案】4

【解答】解：•••△AOZ）与△BOC关于点。成中心对称，

丝△COB,故选项B正确；

：,AD=BC,故选项C正确；

但不一定04=08,故选项4不正确：

•/XACD迫△COB、

^•SAAOD=S^BCO,

:.SMOD+SKOD=SABCD+SKOD,B|JSMCD=S^HCD,故选项O正确,

故选：A.

【变式2-3］（2023秋•安新县期中）如图，。是△ABC边8C的中点，连接AO并延长到点

E,使。E=AD,连接BE.

（1）ZLAOC和△EQA成中心对称;

（2）已知△AOC的面积为4,则△ABE的面积是8.

【答案】（1）△EOB；

（2）8.

【解答】解：（1）根据中心对称图形的性质可得；

△AOC和△££>6成中心对称，

故答案为：△EQB：

（2）由（1）得：△ADC和△EOB成中心对称，

・•・线段是△/1AC的中线，

••SAAHD=S/xACD=4,

•・•£＞是△A8C边8c的中点,

/.SrABE=2SAEDH=8,

故答案为:8.

【题型3利用中心对称的性质•找对称中心】

【典例3】（2023秋•张北县期中）如图，在正方形网格中，A,B,C,D,E,F,G,H,

M,N是网格线交点，AABC与△。石厂关于某点对称，则其对称中心是（）

A.点GB.点”C.点MD.点N

【答案】C

【解答】解：AD.CF.8E相交十点M,

:.点、M是△A3C与△OE”的对称中心，

故选：C.

【变式3-1］（2023春•渭南期末）如图，在平面直角坐标系X。）•中，△ABC经过中心对称

变换得到夕C,那么对称中心的坐标为（）

【答案】B

【解答】解:由图可知，点A与点4关于（-I,0）对称，点8与点关于（-1,0）

对称，点C与点C'关于（-1,0）对称，

所以△A8C与B'C关于点（-1,0）成中心对称，

故选：B.

【变式3-2］（2023春•高碑店市期末）如图，△ABC与△。所关于某点成中心对称，则其

对称中心是（）

•M

E

A.点尸B.点QC.点、MD.点N

【答案】C

【解答】解：如图，连接8E、CF,发现其交于点

根据中心对称的性质可知点M即为其对称中心.

故选C.

【题型4利用中心对称的性质•求边长长度】

【典例4】（2023秋•仪陇县期中）如图，菱形4ACQ的对角线AC、BD交于点、O,4c=2,

8。=8,将△40C绕着点C旋转180°得到△夕。,C,连接A9,则的长是（）

A.3B.4C.5D.7

【答案】C

【解答】解：•••四边形48C。是菱形，

J.ACYBD,OC-AAC,08=AD,

22

•・・AC=2,80=8,

；・OC=1,08=4,

•••△50C绕着点C旋转180°得到△B'O'C,

・・・NO'=N8OC=90°,CO'=OC=\,O'=08=4,

：.A0'=AC+O'C=3,

•W=VAOZ2+B，0,2=5.

故选：C.

【变式4-1X2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形,A为对称中心，若NC=90°,

N8=30°,AC=1,则88'的长为（）

ci~

A.4B.近

C.2V1D,W3

333

【答案】A

【解答】解：:在RtA48C中,N4=30°,AC=\,

：.AI3=2AC=2,

・・・BB'=2AB=4.

故选：A.

【变式4-2］（2023秋•富县期末）如图,△ABC与△ABC关于点A对称，若NC=90°,Z

8=30°,AC=1,则88'的长为_Jl_.

BN_1c

【答案】4.

【解答】解：如图，

C'7B'

/J

~~1c

■:AABC与△ABC关于点A对称，

•••△ASCg/XAB'C,

：.AB=ABr,

VZC=90°,NB=30°,AC=1,

：,AB=2AC=2,

：.BB'=248=4,

故答案为：4.

【变式4-3］（2023秋•前郭县期中）如图，△AO8与△CO。关于点。成中心对称，已知/

8Ao=90°,48=4,AO=3,则AQ的长为.

【答案】2^13.

【解答】解：•••△405与△CO。关于点。成中心对称，

：,AO=CO=3,CD=AB=4,ZC=ZBAO=90°,

/MD=762+42=2V13,

故答案为：2^13.

【题型5利用中心对称的性质.求点坐标】

【典例5】（2023秋•青岛月考）如图，线段A8与线段C。关于点P对称，若点A（3,3）、

【答案】B

【解答】解：（5,1）、。（-3,-1）关于点。对称，

IZ3=1,1Z1=O,

22

・••点P的坐标为（1,（））.

设点C（x,y）,

VA（3,3）,

・①=］,"=0,

22

.*.x=-1,y=-3.

AC（-1,-3）.

故选：B.

【变式5-1］（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△A8C与△人方9关于。

（-1,0）成中心对称.已知点A的坐标为（-3,-2）,则点4的坐标是（)

C.(3,2)D.(2,3)

【答案】B

【解答】解:设点4的坐标是（。，b）,

根据题意知:

解得a=l,b=2.

即点4的坐标是（I,2）,

故选：B.

【变式5-2］（2022春•青州市期末）如图，将△ABC绕点。（0,1）旋转180°得到△AZC

(2,-2)D.(2,-1)

【答案】D

【解答】解：设4,（加，〃）,

'：AC=CA',4(-2.3),C(0,1),

:.蜷=0,尤=1,

22

•)，〃=2,〃=-1,

(2,-1),

故选：D.

【题型6利用中心对称的性质•求面积】

2

【典例6】（2022秋•乌鲁木齐县校级期中）如图，正方形边长为小则阴影部分面积为_工__.

2

【答案】见试题解答内容

12

【解答】解：由题意得：S阴彬=—5正方形=另一，

22

2

故答案为：J_.

2

【变式6-1］（2022春•南关区期末）如图，直线〃、〃垂直相交于点O,曲线C关于点。成

中心对称，点A的对称点是点Ai,于点B,A\DLb于点D,若OB=5,。。=3,

则阴影部分的面积之和为15.

A

【答案】15.

【解答】解：•・•直线〃、〃垂直相交于点O,曲线C关于点。成中心对称，点4的对称

点是点4,于点儿于点Q,OB=5,。。=3,

：.AB=3,

・••图形①与图形②面积相等，

・•・阴影部分的面积之和=长方形4BOE的面积=3X5=15.

故答案为：15.

A

【变式6・2】（2023春•徐汇区期末）如图，长为6,宽为3的矩形A8CO,阴影部分的面积

为9.

AID

——L-------------

【答案】9.

【解答】解：因为。为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面枳的一半，因为矩

形面积为6X3=18,所以阴影部分的面积为9.

故答案为:9.

【变式6-3］（2023秋•东湖区期中）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂

鱼台，已知04=08=2米.求阴影部分的面积.

【答案】8TT平方米.

【解答】解：因为观赏鱼池是中心对称，且04=03=2米，

所以阴影部分相当于2个以点。为圆心，0A长为半径的圆，

所以阴影部分的面积为2XirX22=8n（平方米），

答：阴影部分的面积为87r平方米.

【题型7利用中心对称的性质•作图】

【典例7】（2023秋•沛北县期末）如图，△4AC和△。£厂关于点O成中心对称.

（1）找出它们的对称中心0;

（2）若4B=6,AC=5,BC=4,求△。石尸的周长.

【答案】（1）见解析；

（2）15.

【解答】解：（1）如怪所示，点O即为所求；

（2）和△。£尸关于点O成中心对称，

：.AB=DE=6,AC=DF=5,BC=EF=4,

:・/\DEF的周长=OE+OF+EF=6+5+4=15；

答：七/.的周长为15.

【变式7-1]（2023春•雁塔区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐

标分别为A（1，4）,（4,2）,C（3,5）.

（1）请画出△A181C1,使△A1A1C1与△ABC关于原点成中心对称，并写出点4,B],

Ci的坐标.

（2）根据中心对称的性质可得5△A[B.C]=S；A3c=3X3

111Q7

yX3Xl-yX2X1苫X3X2=9谭77=看.

乙乙乙乙乙

【变式7-2]（2022秋•沙河市期末）如图所示，三角形ABC和三角形A'B'C关于某一

点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到三角形ABC和线段8C的对应

线段"C',请你帮该同学找到对称中心。，且补合三角形A'B'C.

B'

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图，B'C即为所求;

缰^达标测试7

一.选择题（共10小题）

1.（2023秋•江海区期末）下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（）

A.B.

c及

【答案】。

【解答】解•：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；

8、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；

。、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意；

故选：D.

2.（2023秋•长海县期末）平面直角坐标系内与点P（7,2）关于原点对称的点的坐标是

（）

A.（1,-2）B.（1,2）C.（2,-1）D.（-2,-1）

【答案】A

【解答】解：与点尸（-1,2）关于原点对称的点的坐标是（1,-2）.

故选：A.

3.（2023秋•武汉期中）已知点A（小2023）与点A'（2024,b）是关于原点。的对称点，

则a-b的值为（）

A.-1B.1C.-4047D.4047

【答案】A

【解答】解：•・•点A（«,2023）与点H（2024,b）是关于原点。的对称点,

・•・”=-2024,b=-2023,

：.a-b=-2024-(-2023)=-1.

故选：A.

4.（2023秋•莱州市期末）下列各图中，四边形人BC。是正方形，其中阴影部分两个三角形

成中心对称的是（）

【答案】4

【解答】解•：根据中心对称的定义可知，选项A中阴影部分两个三角形成中心对称.

故选：A.

5.（2022春•相城区校级期中）如图，菱形A8CQ的对角线AC、/切交于点O,将△40C

绕着点C旋转180°得到△8OC,若AC=2,AB'=5,则菱形ABC。的边长是（）

A.3B.4C.V15D.

【答案】。

【解答】解：•・•四边形是菱形，且△80C绕着点C旋转180°得到△8。匕AC

：,OA=OC=O'C=\,OBLOC,BC=B'C,

O'A=AC+O'C=2+1=3,

'：AB'=5,

•••0/By=VABy2-3yA2=A/52-32=4*

•••B，C=VoyBz2+3yC2=^42+l2=A/17-

C=V17，

即菱形A8C。的边长是，

故选：D.

6.（2022秋•五华县期中）如图是北师大版九年级上册数学教材第25页第4题内容的变式,

如图，三个边长相同的正方形重叠在一起，01、3是其中两个正方形的中心，阴影部分

的面积和是8,则正方形的边长为（)

4C.8D.2近

【答案】B

【解答】解：如图所示，连接。4、OiC,

•••/BOiF+N产OiC=9D°，NFQC+NCQG=90°，

・・・NBOF=/COiG,

•・•四边形ABC。是正方形，

・・・NO18F=NO1CG=45°,

在AOTBF和△OCG中，

<

ZF01B=ZC01G

-B01=C01,

NFBO]=NGCO]

(ASA),

"SAO.BF-SAO.CG，

・•・两个正方形重叠阴影部分的面积是4正方形ABC。，

4

同理，另外两个正方形重叠阴影部分的面积也是E方形A3CD，

4

・•・阴影部分的面积和=8=工正方形A8C。，

2

:.S正方形48C9=16,

，正方形ABCD的边长=

故选：B.

7.（2023秋•德城区期中）如图，已知△A8C与8c关于点O成中心对称，则下列判断

不正确的是（)

B.ZBOC=ZB'A'C

C.AB=A,HD.OA=OA'

【答案】B

【解答】解：•••△"C与△48C关于点O成中心对称,

B'C,

：.ZABC=ZA'B'C,AB=AfB',OA=OA,,

故A,C,。正确,

故选：B.

8.（2023秋•泽州县期中）如图，在平面直角坐标系中，0A=A4=5,点3到），轴的融离为

4,将△048关于原点对称得到A。'A'B',再将AO'A'）向左平移5个单位长度

得到△0〃4〃B",则点的坐标为（)

-9)C.(-9,-9)D.(-9,-8)

【答案】D

•・•点8到〉轴的距离为4,

・・・8C=4,

・・・AC==3,

・・・OC=5+3=8,

・••点B的坐标为（4,8）,

，点6关于原点对称的点"的坐标为（・4,-8）,

・••点3”的坐标为（・9,-8）.

故选：D.

9.（2023秋•邯郸期末）如图，在正方形网格中，A,B,C,D,E,F,G,H,M,N是网

格线交点，△ABC与△。七厂关于某点对称，则其对称中心是（）

A.点GB.点”C.点MD.点N

【答案】C

【解答】解：4。、CF、4E相交于点M,

:,点M是AABC与ADEF的对称中心，

故选：C.

10.（2023秋•仪陇县期中）如图，菱形48CD的对角线AC、8D交于点。，AC=2,BD=

8,将△8OC绕着点。旋转180°得到△"O'C,连接48,则A8的长是（）

A.3B.4C.5D.7

【答案】C

【解答】解：•・•四边形/WCO是菱形，

：.AC±BD,OC=^AC,OB=LD,

22

\'AC=2,BD=8,

：.OC=\,08=4,

:△BOC绕着点C旋转180°得到△）O'C,

：,NO'=ZBOC=W,CO'=OC=\,O'B'=08=4,

：.AO'=AC+O,C=3,

•MB'=VAO/2+B，0,2=5.

故选：C

二.填空题（共6小题）

11.（2023春•徐汇区期末）如图，长为6,宽为3的矩形A8Q）,阴影部分的面积为9

【答案】9.

【解答】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩

形面积为6X3=18,所以阴影部分的面积为9.

故答案为：9.

12.（2023春•青冈县期末）如图，△ABC与△OEC关于点C成中心对称，4G为△ABC的

高，若CE=5,AG=2,则SMEC=5.

【答案】5.

【解答】解：•••△A4C与△QEC关于点C成中心对称，AG=2,

:・CE=BC,SaEC=5dABC,

.11

・・S=yBCxAG=yX5X2=5，

AABC乙乙

:&DEC=5,

故答案为：5.

13.（2023•靖江市校级模拟）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和

雪花两种元素.如图所示，这个图案绕着它的中心旋转角a（0°<a<360°）后能够与

它本身重合，则角a可以为60（答案不唯一）度.（写出一个即可）

【答案】见试题解答内容

【解答】解：360°4-6=60°,

则这个图案绕着它的中心旋转60°后能够与它本身重合，

故答案为：60（答案不唯一）.

14.（2023秋•开平市期末）如图，△/WC是△ABC绕点八旋转180°后得到的，已知

=90°,AB=\fZC=30°,则CC的长为4.

【答案】4.

【解答】解:在中,

sinC=—,

AC

则，

得4c=2.

又因为△ABC是△ABC绕点A旋转180°后得到的，

所以AC'=AC,且C,A,Cf三点共线，

所以CC'=2AC=4.

故答案为：4.

15.（2023秋•前郭县期中）如图，AAOB与4。。。关于点。成中心对称，已知2840=90°,

AB=4,AO=3,则4。的长为2A/13.

【答案】2^13.

【解答】解：〈△人。月与△C。。关于点O成中心对称，

：,AO=CO=3,CD=AB=4tNC=N8八。=90°，

A/'D=762+42=2V13,

故答案为：2^13.

16.（2023秋•二道区校级月考）如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形

又是关于坐标原点O成中心对称的图形.若点A的坐标为（1,3）,点B的坐标为（3,

1）,点M的坐标为（。，。），点N的坐标为（c,d）,则a+c的值为-2.

【答案】-2.

【解答】解：由图形可知，点A和点N关于x轴成轴对称，点M和点8关于坐标原点0

成中心对称，

因为点A的坐标为（1,3）,点8的坐标为（3,1）,

所以a=-3,c=1,