初中几何重点模型专题10 相似三角形中的双垂直型(提升训练)（老师版）

专题10相似三角形中的双垂直型

【基础训练】

一、选择题

1、如图所示，在匚48c中，38C=90。，BDAC,DEQBC,垂足分别为。、E两点，则图中与口48。相

似的三角形有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解析】□在匚力4C中,ABC=90°,BD匚4C,DE匚BC,

mA=UEBD=2CDE,ADBJ匚BEDnQDECDCBDCD匚ABC,

共有四个三角形与RtEM8c相似.故选：A.

2、如图，等边口48。的边长为6,P为8C上一点，BP=2,。为力。上一点，若口47）=60。，则CO的长

2

C.一D.1

3

【答案】B

【解析】□[8=口＜2。=口。=60°,□力。。=口4+BAP.

B+UBAP=[APD+3CPD,^JBAP=nCPD,

ABBP62故选：B.

ABP]匚尸CO,力4=6,BP=2,CD=1

CP一CD'4CDo

3、如图，四边形A8C。中，AD//BC,N8=90。,E为AB上一点、,分别以EQ、EC为折痕将

两个角（NA、NB）向内折起，点A、4恰好落在CO边的点尸处，若AO=3,BC=5,则£/的长是（）

C.V17D.2^/17

【解析】'：AD//BC,/.Z/\DF+ZFCB=I8O°.

根据折叠前后的图形全等得到。尸=D4=3,

NADE=NFDE,CF=CB=5,/BCE=NFCE,NEFC=NB=90°,

：.NFDE+/户CE=90。，NFCE+ZFEC=90%

NDFE=NEFC=90°,：.NFDE=ZFEC,

FFDF

:.八DEFS/\RCF.

CFEF

/.EF2=DFCF=3X5=15,尸=灰.故选A.

二、填空题

4、如图，在平面直角坐标系中，点Q的坐标为（0,8）,直线y=*-6与x轴、y轴分别交于点力、B,点

〃是直线彳8上的一个动点，则,M长的最小值为.

【解析】如图：作直线48于点时，根据“点到直线上所有的点的连线指中，垂线段最短”可知：PM，

的长是长的最小值，设PW=a,AM'=b,

o

直线尸永-6与，轴、y轴分，别交于点4、R,匚4(8,0),B(0,-6),又口。尸=04=8,匚/尸=8近

口在REjPW与REAP”中，由勾股定理得：卜：+?：(??)2解之得：「一再

(a24-(10-b)2=142b=。

5

56

即：长的最小值为w

5、如图，UJ=D5=90",AB=1,AD=2,BC=3,在边力8上取一点P,使得□为D与UP8C相似，则这样的P

点共有个.

【解析】设加则有04=48—力0=7-x,当口尸/切口口。＞8时，—,即2=匕二

APBCx3

ADAP?v

解得：x=l或x=6,当二〃。4口口夕。8时，—,即±二-，

BCPB37-x

解得：x=*14，则这样的的点P共有3个.

5

6、如图，在R/AA8c中，ZABC=9(),48=3,8c=4,RMPN,4MPN=快，点尸在4c上，PM

2.如图，在册AA8C中，NA8C=90,48=3,BC=A,RMPN，NMPN=90,点户在4c上，PM

交A8于点E,PN交BC于点F,当PE=2尸尸时，AP=.

如图作尸0AB于Q,PR8c于R.由QPERQ尸，推出丝=丝=2,可得尸0=2PR=280,由PQBC,

PRPF

可得4。：QP：AP=AB：BC：JC=3：4：5,设尸0=4x,则40=3x,AP=5x,BQ=2x,可得2x+3x=3,求出x

即可解决问题.

【详解】

如图，作。0门/出于0,PRDBC于R.

匚PQB=[JQBR=[JBRP=9()。,口四边形PQBR是矩形，□[QPR=90°=lMPN,口口。尸斤RPF,QPE口匚RPF,

啜噜="□怯2PR=28Q

PQCBC,□40：QP：AP=AB：BCzAC=3：4：5,设夕。=4工，则力。=3x,AP^5x,BQ=2x,2x+3x=3,

3

x=—,LAP=5x=3.

J

故答案为3.

【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

三、解答题

7、在RhABC中，=90°,CD±AB,垂足为。,AD=8,03=2,求C。的长

【答案】4

【解析】□CDJ_A3,□ZA2X'=ZCDB=90o.

JZACD+ZA=90°,

ZACB=90。,aZACD+ZBCD=90°,

ZA=ZBCD,□乙ADCSQB,

CDADi4

—=——，HCD2=ADBD=8x2=\6匚CQ=4.

BDCDf

8、如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC,DA=DE,如果点。在边8C上，且NEDC=NBAD,

点。为AC与。E的交点.

(1)求证：

(2)求证：DAOC=ODCE.

【解析】证明：(1)VZADC=ZABC+ZBAD=ZADE-^-ZEDC,NEDC=NBAD,：,ZABC=ZADE.

&=型.BA=BC

又•・•AABC与^ADE均为等腰三角形,,,BC=DE=1,，，~DA=~DEf

(2):△ABCSZXAOE,AZBAC=ZDAE,：.ZBAD=ZCAE=ZCDE.VZCOD=ZEOA,

:.△CODs^EOA，：芸=织即鉴=黑

OEOAOEOC

又•：/AOD=/COE,:•丛AODs丛EOC,・••券=段，即ZMOC=ODCE.

CNC/C

9、已知：如图，已知□XBC与匚/DE均为等腰三角形，BA=BC,D4=OE.如果点。在BC边上，且」EOC

=1BAD.点O为AC与DE的交点.

(1)求证：匚以8c□二以。氏

(2)求证：DA・OC=OD・CE.

A

O

【解析】证明：(1)□□4。。=匚44。+口54。=匚/。£+口£'。。，JDB=nADE,

BADA

匚一=—=1,DDABCUCADE；

BCDE

(2)□匚48。□匚4OE,

QCBAC=QDAE,

UCBAD=DCAE=[JCDE,

QCCOD=[JEOA,QCCODQnEOA,

OCOD

□—=—,

OEOA

nCAOD=[JCOE,□匚4。。口口£。。，

DDA：CE=OD：OC,

即DA-OC=OD<E.

10、如图，在正方形45CO中，点M是边8c上的一点(不与8、C重合)，点N在C。边的延长线上，且

满足[M4/V=90。，联结MV、AC,N与边力。交于点月.

(1)求证；AM=AN；

(2)如果口。。=2口乂4。，求证：AM1=AC-AE.

【分析】

(1)根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明一BAMDAN,根据全等三角形的性质证明；(2)证明

AMCLAEN,根据相似三角形的性质证明.

【详解】

证明：（1）四边形ABCD是正方形，

：.AB=AD^BAD=90，又/MAN=骄,

NBAM=ZDAN,

在和D4N中，

/B=NAON=90

<AB=AD,

NBAM=ZDAN

BAM□,DAN,

：.AM=AN：

（2）四边形ABCD是正方形，

/.NC4O=45",

r£CAD=2乙NAD,mAM=QAN,

「./MAC=45，

/MAC=NEAN,乂ZACM=ZANE=45,

/.AMCAEN,

.AMAC

"~AE~~AN'

：.ANAM=ACAE,

：.AM2=ACAE.

【点拨】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理

是解题的关键.

11、在Rt,ABC中，NACB=90,CD1AB,垂足为D,E,尸分别是AC,BC边上一点.

…、七r

⑴求证：记AC=说CD;

（2）若CE=；AC,BF=|BC,求4DF的度数.

C

【解析】

分析:

（1）由已知条件易证RtADCXRtCDB,由此即可得到所求结论g=挈

oCBD

（2）由已知条件易得侵=%结合（1）中所得票=累可得兽=黑，这样结合DACDVB可得

BFBCBCBDBFBD

CED□匚BFD,由止匕可得□CDE=DBDF,从而可得二】EDF=UEDC+匚CDF=1BDF+匚CDF=匚CDB=90。.

详解:

(1)UCDCAB,

A+DACD=90°,

XU3A+CB=90°,

B=LACD,

RtCADCRt：CDB,

ACCD

BCBD

(2)CE=-AC,BF=-BC,

33

CEAC

BFBC

又由（1）可知：=

DCDL）

CECD

□----=----

BFBD

^□□ACD=ZB,

CEDQCBFD；

CDE=IBDF；

EDF=QEDC+nCDF=nBDF+CCDF=DCDB=90o.

点睛：这是一道考查“应用相似三角形的判定与性质进行推理论证”的题目，熟悉“相似三角形的判定定理和

性质”是解答本题的关键.

⑵如图，在RQ4C中，M39。。，登=『C。□"于点。，点E是直线数上一动点，连接。已

过点。作尸。口瓦），交直线8c于点E

（1）探究发现:

DE

如图1,若〃?=〃，点E在线段4C上，则；下=

DF

（2）数学思考:

:如图2,若点七在线段4C上，则==_______（用含机，〃的代数式表示）；

Dr

□当点E在直线力C上运动时，】中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明;

（3）拓展应用：若4C=泥，8c=2加，DF=4近,请直接写出CE的长.

分析：（I）先用等量代换判断出NADE=NCO/，NA=N£>C8,得到二ADEtZUCO尸，再判断出.AOCCDB

即可；（2）方法和⑴一样，先用等量代换判断出NAOE=N8凡ZA=ZDCB,得到_AD£EUC。少,再判

断出“DC即可；（3）由（2）的结论得出二ADE口心CD尸，判断出C〃=24E,求出。E,再利用勾股

定理，计算出即可.

详解：⑴当〃?=〃时，即：BC=AC,

vZACB=90,

.\ZA+ZAZ?C=90,

-CDLAB,

ZDCB+ZABC=90,

.•.Z4=NOC8,

vZFDE=ZADC=9Q,

/.Z.FDE-乙CDE=ZADC-NCDE,

即ZADE=NCDF,

:.^ADE2.CDF,

.DEAD

~DF~~DC'

\'ZA=ZDCB,ZADC=ZBDC=90,

：，t,ADC□aCDB,

ADAC,DE.

--=-----=1,-----=1

DCBCDF

⑵①ZACB=90,

:.ZA+ZABC=90,

\CDA.AB.

ZDCB+ZABC=90，

:.ZA=/DCB,

〈NFDE=ZADC=9()，

ZFDE-/CDE=ZADC-^CDE,

即ZADE=ZCDF,

:.,,ADECDF,

DEAD

"DF-DC'

,・・ZA=NQC8,ZADC=^BDC=90,

：.cADC口bCDB,

ADACnDEn

~DC~~BC~~ni*,~DF~~m

②成立•如图，

ZACB=90，

.♦Z+NABC=90,

又;CDA.AB,

.•.NOCV+Z/WC=9()，

:.ZA=ZDCB,

\NFDE=ZADC=90，

ZFDE+ZCDE=ZADC+ZCDE,

即四DE=NCDF,

CDF,

DEAD

---=----,

DFDC

ZA=/DCB,NADC=ZBDC=90,

:.AADC□y.CDB,

ADACn

/.——=——=—,

DCBCm

DE_n

'DF"'

⑶由(2)有，^ADE&CDF、

DEBC1

——=——=-,

DFAC2

ADAEDE1

---===一,

CDCFDF2

：.CF=2AE,

在Rf；.DEF中,DE=2叵,DF=46，

EF=2M,

①当E在线段4C上时，在RkCE尸中,CF=2AE=2(AC-CE)=2(^5-CE),EF=2屈,

根据勾股定理得，CE，5=E产,：，CE2+12(45-CE)]1=40

:.CE=2y[5,或CE=-苧(舍)

②当E在直线上时，

在R3CEF中,CF=2AE=2(AC+CE)=2[45+CE)tEF=2屈,

222

根据勾股定理得，CE+CF=EF,

.•(£2+磔石+C£)f=40,

.•.CE=芈，或CE=-2百(舍)，

即：CE=2有或CE=半.

点睛：此题是三角形综合题，主要考兖了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解本题的关键，

求CE是本题的难点.

13、如图，正方形力EFG的顶点E在正方形力8C。的边C。上，4。的延长线交所于〃点.若E为CD的

中点，正方形力8C。的边长为4,求。〃的长.

AB

【解析】

试题分析：根据正方形的性质和等角的余角相等，可得两个三角形中，有两个角对应相等，证得两个三角

形相似，在此基础上，根据相似三角形的性质进行求解.

试题解析：□正方形力EFG和正方形48CQ中，口花，=口4。0口£1。〃=90°,

CAED+\2DEH=90°,\2AED+\2DAE=90°,

UCDEII-LDAE.

UCAED3[.\EHD,

ADDE

~DE~~DH'

□正方形48CQ的边长为4,

LAD=CD=4.

□E为CO的中点，

匚QE=2.

CDH=1.

14、如图，在矩形川火:。中，AD=kAB（A>0）,点£是线段CB延长线上的一个动点，连接,4七，过点力

作AF~\AE交射线DC于点F.

（1）如图1，若4=1,则力尸与力£•之间的数量关系是；

（2）如图2,若胖I,试判断4尸与力E之间的数量关系，写出结论并证明；（用含A,的式子表示）

（3）若40=248=4,连接8。交力尸于点G,连接EG,当b=l时，求EG的长.

(1)证明□EABUEIFAD(AAS),由全等三角形的性质得出AF=AE：

ARAp

⑵证明□ABE—ADF,由相似三角形的性质得出-77；=.，则可得出结论；

ADAF

(3)口如图1,当点F在DA上时，证得UGDF□匚GBA,得出第二绊=：,求出AG=冬叵.由

GABA23

□ABEDDADF可得出生=怨=:，求出AE=@1.则可得出答案；

AFAD22

如图2,当点F在DC的延长线上时，同理可求出EG的长.

【详解】

解：⑴AE=AF.

匚AD=AB,四边形ABCD矩形,

四边形ABCD是正方形，

EBAD=90°,

AFDAE,

匚EAF=90。，

EEAB=FAD,

EEABJCFAD(AAS),

[AF=AE；

故答案为：AF=AE.

(2)AF=k