北师大版七年级数学下册-期末试卷易错题（含答案）

【精选】北师大版七年级数学下册期末试卷易错题（Word版含答案）

一、解答题

1.已知，AE/IBD,ZA=AD.

（1）如图1,求证：ABi/CD：

（2）如图2,作NE4E的平分线交。。于点尸，点G为A8上一点，连接尸G,若NCFG的

平分线交线段AG于点”，连接AC,若NACE=NB4C+N8GM,过点”作交

（1）若N1的度数为试求N2的度数（用含〃的代数式表示）：

（2）如图②，再将纸片沿GH对折，使得C。落在的位置.

①若EF/CG,N1的度数为。，试求N3的度数（用含。的代数式表示）；

②若8/_LCG,N3的度数比N1的度数大20。，试计算N1的度数.

3.如图1,点A在直线MN上，点4在直线57上，点C在MN,S7之间，且满足

ZM4C+么CB+NSBC=360°.

（1）证明：MNHST；

（2）如图2,若NACA=60。，AO//C4,点E在线段4c上，连接AE,且

/DAE=2々CBT,试判断与ZC4N的数量关系，并说明理由；

1QAO

（3）如图3,若乙4。8=——（〃为大于等于2的整数；，点七在线段8c上，连接4E,

n

若/MAE=n/CBT,则NC4E:NC47V=.

4.已知，ABWCD,点E在CO上，点G,F在2B上，点H在AB,CD之间，连接FE,

EH,HC,ZAGH=^.FED,「E1.HE,垂足为£.

(1)如图1,求证：HG1HE,

(2)如图2,GM平分NHG8,EM平分NHE。，GM,EM交于点M,求证：ZGHE=

(3)如图3,在(2)的条件下，FK平分NAFE交CD于点K,若4KFE：ZMGH=13：5,

5.综合与实践

背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的

直线只有一个公共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直

线互相平行两条直线的位置关系的性质和判定是几何的重要知识，是初中阶段儿何合情推

理的基础.

己知：AMl\CN,点8为立面内一点，AB_L8C于B.

问题解决：(1)如图1，直接写出N人和NC之间的数量关系；

(2)如图2,过点B作8D_L4Vf于点D,求证：NA8D=NC；

(3)如图3,在(2)问的条件下，点E、F在。M上，连接8E、BF、CF,8F平分ND8C,

BE平分NABD,若/FCB+ZA/CF=180°,Z8FC=3NDBE,则/EBC=_.

6.如图，以直角三角形AOC的直角顶点。为原点，以。C、Q4所在直线为x轴和)'轴建

(1)C点的坐标为；A点的坐标为.

(2)如图1,已知坐标轴上有两动点/＞、。同时出发，/＞点从C点出发沿1轴负方向以1

个单位长度每秒的速度匀速移动，。点从。点出发以2个单位长度每秒的速度沿》轴正方

向移动，点。到达A点整个运动随之结束.AC的中点。的坐标是(1,2),设运动时间为

(00).问：是否存在这样的/,使=若存在，请求出I的值：若不存在.请

说明理由.

(3)如图2,过。作OG//AC,作=交4c于点尸，点E是线段04上一动

点，连CE交OF于点、H,当点£在线段Q4上运动的过程中，4"'：廿上的值是否会

Z.OEC

发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由.

7.为更好地理清平行线相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条A8、BC、

(1)如图2,小明将折线调节成“=50°,ZC=85°,ZD=35°,判断A8是否平行于

ED,并说明理由；

(2)如图3,若NC=NO=35。，调整线段48,8。使得48//CD求出此时DK的度数,

要求画出图形，并写出计算过程.

（3）若NC=85。，ZD=35°,AB//DE,请直接写出此时DB的度数.

8.将两块三角板按如图置，其中三角板边A8=AE,ZBAC=ZEAD=90°,ZC=45%

ZD=30°.

②NBAE+ZCAD=180°；

③如果4C//A。，则48平分NE4O.

（2）如果NC4O=150。，判断N8ED与NC是否相等，请说明理由.

（3）将三角板A8C绕点A顺时针转动，直到边AC与人力重合即停止，转动的过程中当两

块三角板恰有两边平行时，请直接写出NE4B所有可能的度数.

9.综合与探究（问题情境）

王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动.

（1）如图1,EFIIMN,点4、8分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请

直接写出/%F、NP8N和NAP8之间的数量关系；

（问题迁移）

（2）如图2,射线OM与射线ON交于点O,直线mll〃，直线m分别交OM、ON于点

A、D,直线〃分别交OM、0/V于点8、C,点P在射线0M上运动.

①当点P在小B（不与4、8重合）两点之间运动时，设/AOP=/a,ZfiCP=Z|3.则

NCPD，Na,/B之间有何数量关系？请说明理由；

②若点P不在线段A8上运动时（点P与点4B、。三点都不重合），请你画出满足条件

的所有图形并直接写出NCP。，Na，之间的数量关系.

EE

A-----------BA-----------B

(1)在AB,CD之间有一点M(点M不在线段E/上)，连接ME,MF,探究

ZAEM,/EMF,/MFC之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应

的数量关系，选其中一个进行证明.

(2)如图2,在AB,CO之两点M,N,连接WN,NF,请选择一个图形写出

ZAEM,/EMN,/MNF,NNPC存在的数量关系(不需证明).

三、解答题

11.(1)如图1,NBAD的平分线4E与N8CD的平分线CE交于点E,A8IICD,

ZADC=5Q°tNA8c=40°,求NAEC的度数；

(2)如图2,/外。的平分线4£与/88的平分线*交于点£,ZADC=a\N48c邛。，

求NAEC的度数；

(3)如图3,PQJ_MN于点。，点4是平面内一点，A8、AC交MN于B、C两点，4。平

ZADP

分NBAC交PQ于点D,请问国贰2函的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改

变，请说明理由.

12.阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数

的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别

是120。，40。，20。，这个三角形就是一个“梦想三角形反之,若一个三角形是“梦想三角

形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.

(1)如果一个“梦想三角形”有一个角为108。，那么这个“梦想三角形"的最小内角的度数为

(2)如图1,已知NMO〃=60。，在射线0M上取一点儿过点4作A8_LOM交CW于点

B,以4为端点作射线AD,交线段08于点C(点C不与。、8重合)，若NACB=80。.判

定△A08、△AOC是否是“梦想三角形"，为什么？

(3)如图2,点D在△ABC的边上，连接0C,作NADC的平分线交47于点E,在DC上

取一点F,使得NEFC+/fiDC=180°,ZDEF=4B.若ABCD是“梦想三角形”,求NB的度

图1图2

13.在△48C中，N84C=90。，点。是BC上一点，将△八8。沿4。翻折后得到△AED,边

AE交BC于点F.

⑴如图①，当4E_L8c时，写出图中所有与N8相等的角：；所有与NC相等的

角：.

(2)若NC-Z8=50°,ZBAD=x°(0<x<45).

①求/8的度数；

②是否存在这样的x的值，使得AOEF中有两个角相等.若存在，并求X的值：若不存

在，请说明理由.

14.如图①，AO平分的C,AE±BC,ZB=45°,ZC=73°.

(1)求ND4E的度数；

(2)如图②，若把“八七_L〃C”变成"点尸在。人的延长线上，在_L〃C〃，其它条件不

变，求/£)正的度数；

(3)如图③，若把“AE_L8C”变成"AE平分N8EC”,其它条件不变，ND4E的大小是

否变化，并请说明理由.

15.如图，在△48C中，乙48C与ZAC8的角平分线交于。点.

(1)若乙4=40。，贝1」/切。=—。；

(2)若Z4=〃。，则N4X=。；

(3)若NA=〃。，N48C与446的角平分线交于。点，/48O的平分线与NACO的三分

线交于点。I，……，/。刈6^。的平分线与/。2360£的平分线交于点0。普，则/。刈7=

【参考答案】

一、解答题

1.(1)见解析；(2)

【分析】

(1)根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证；

(2)过点E作，延长DC至Q,过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得出，再根据

平角的

解析：(1)见解析；(2)72°

【分析】

(1)根据平行线的性质得出乙4+4=180°,再根据等量代换可得N3+ND=180。，最后根

据平行线的判定即可得证；

(2)过点E作EP//CD,延长。C至Q,过点乂作MN〃八8,根据平行线的性质及等量

代换可得出NECQ=NBG"=NOR7,再根据平角的含义得出NEb=NCFG,然后根据

平行线的性质及角平分线的定义可推出®F=/CFH/CFA=NFAB；设

ZFAB=a,NCFH=。,根据角的和差可得出NAEC=2N/W77,结合已知条件

3/4成'-5/4”=180。可求得/4/77=18。，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可

得出答案.

【详解】

(1)证明：vAE//BD

.•Z+N4=I8O。

•/ZA=ZD

ZB+ZD=180°

AB//CD；

(2)过点、E作EP//CD,延长DC至。，过点M作MN〃48

-AB//CD

ZQCA=ZCABf4BGM=4DFG,/CFH=/BHF,^CFA=FAG

ZACE=ZBAC+ZBGM

ZECQ+ZQCA=NB4C+NBGM

/ECQ=NBGM=NDFG

NECQ+ECD=180°,ZDFG+CFG=180°

:"ECF=4CFG

AB/1CD

：.AB//EP

/PEA=/EAB,/PEC=NECF

ZAEC=/PEC-/PEA

ZAEC=/ECF-/EAB

NECF=NAEC+/EAB

T4F平分ZfiAE

NEAF=/FAB='NEAB

2

­：FH平分/CFG

NCFH=ZHFG=-/CFG

2

QCD//AB

NBHF=ZCFH,ZCFA=NFAB

设4FAB=a、4CFH=0

•.•ZAFH=乙CFH-NCFA=4CFH-NFAB

:/FH=B—a,^BHF=^CFH=/3

4ECF+2ZAFH=ZAEC+NEAB+2NAFH=ZAEC+Ip

ZECF+2ZAFH=ZE+2ZBHF

ZAEC=2ZAFH

v3Z4EC-5ZAFH=180°

.\ZAIH=\^

•;FH1HM

:.NFHM=90。

ZGHM=90°-

•.•NCFM+NNMF=180。

/.NHMB=4HMN=90°-?

vZE4F=ZE4B

LEAF=ZCFA=ZCFH-AAFH=/?-18°

ZE4F+ZGM/7=/7-lS0+90o-/7=72°

ZEAF+ZGMH=72°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行

推理是解此题的关键.

2.(1)；(2)①；②

【分析】

⑴由平行线的性质得到，由折叠的性质可知，N2=NBFE,再根据平角的定义

求解即可；

⑵①由(1)知，，根据平行线的性质得到，再由折叠的性质及平角的定义

解析：(1)90°--«；(2)①45。+；〃；②50。

2

【分析】

⑴由平行线的性质得到N4=N9/C=a,由折叠的性质可知，Z2=ZBFE,再根据平角的

定义求解即可；

（2）①由（1）知，/8叫=90。-为，根据平行线的性质得到NBFE=NCGB=90。-9,

再由折叠的性质及平角的定义求解即可；

②由（1）知，NBFE=/七/由'=90。一；/1,由8/_LC'G可知：

ZB-FC+ZFGC'=90°,再根据条件和折叠的性质得到

ZB'FC+ZFGC'=Z1+140°-2Z1=90°,即可求解.

【详解】

解：（1）如图，由题意可知4E//8/,

Nl=N4=a,

,/AD//BC,

ZA-Z.B'FC=a»

.•./3m=180。一〃，

「•由折叠可知N2=NBFE=-NBFB'=90°--a.

22

（2）①由题（1）可知N8FE=90。—go,

1.,EF/CG,

ZBFE=NCG3=90。」a,

2

再由折叠可知：

Z3+ZHGC=1800-NCGB=180°一（9（）。一ga）=90。+；o,

由（1）知庄=90。一4/1,

2

/EFC=180。—2/BFE=180。-2（90°—；N1）=N1,

又N3的度数比N1的度数大20。，

Z3=Z1+2O°,

/.Z.FGC=180°-2Z3=180o-2(Zl+20o)=140°-2Z1,

/.ZBFC+4FGC'=Zl+140°-2Zl=90°,

Zl=50°.

【点睛】

此题考查了平行线的性质，属于综合题，有一定难度，熟记“两直线平行，同位角相等“、

“两直线平行，内错角相等”及折叠的性质是解题的关键.

3.(1)见解析；(2)见解析；(3)n-1

【分析】

(1)连接AB,根据己知证明NMAB+NSBA=180°,即可得证；

(2)作CFIIST,设NCBT二a,表示出NCAN,ZACF,ZBCF,根据

解析：(1)见解析；(2)见解析；(3)n-1

【分析】

(1)连接48,根据已知证明NMA8+NS8A=180。，即可得证：

(2)作CFIIS"设NCBT=a,表示出NC4V,NACF,4BCF,根据4)118C,得到

Z047=120。，求出NCAE即可得到结论;

(3)作CFIIS兀设/CBT=6,得到/CB丁=/8CF=6,分别表示出/C4V和/C4E,即可■得到

比值.

【详解】

解：(1)如图，连接

NM4C+ZACB+NSBC=360°,

ZACB+ZABC+ABAC=180°,

.\ZMAB^ASBA=\S(f,

:.MN//ST

(2)ZCAE=2ZCAN,

理由：作B//口，则MNHCFHST、如图,

设NW”，则ND4E=2a.

ZBCF=NCBT=a,/LCAN=ZACF=6()°-cz,

•.•AD/IBC,NHAC=180°-ZACB=120°,

/.ZCAE=120°-ZDAE=120,-2a=2(60°-a)=2NC4N.

即ZC4E=2ZCW.

(3)作CFg,则MM/C尸〃ST,如图,设KBT=0,则NMAE=〃尸.

-CF//ST,

/CB「=/BCF=0,

ZACF=ZCAN=^-/?=1?^,

nn

ZC4E=180O-ZM4E-ZC4V=1800-H/?--+/y=—（I80°-H^）,

nn

〃一11

«AE:/CAN———：一一，一，

nn

故答案为n—\.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式.

4.（1）见解析；（2）见解析；（3）40°

【分析】

（1）根据平行线的性质和判定解答即可；

（2）过点H作HPHAB,根据平行线的性质解答即可;

（3）过点H作HPIIAB,根据平行线的性质解答即可.

解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）40。

【分析】

（1）根据平行线的性质和判定解答即可；

（2）过点H作MPIIA8,根据平行线的性质解答即可；

（3）过点H作/■/Pll48,根据平行线的性质解答即可.

【详解】

证明：(1)ABWCDt

ZAFE=NFED,

zAGH=NFED,

...NAFE=NAGH,

/.EFIIGH,

ZFEH+ZH=180°,

•「FE±HE,

ZFEH=90°,

ZH=1800-ZFEH=909,

HG工HE；

(2)过点M作MQIIA8,

图3

■：AB\\CD,

/.MQWCD,

过点/■/作HPII48,

•/4811CD,

HPIICD,

GM平分/HGB,

NBGM=/HGM=；NBGH,

EM平分/HED,

ZHEM=NDEM=^AHED,

MQWAB,

：.ZBGM=iGMQ,

,/MQWCD,

/.ZQME=ZMED,

：.ZGME=NGMQ+NQME=NBGM+AMED,

,/HPIIAB,

/.ZBGH=NGHP=2N8GM,

1.1HP11CD,

ZPHE=4HED=2Z.MED,

/.ZGHE=4GHP+NPHE=2Z8GM+2NMED=2(ZBGA4+ZMED),

ZGHE=Z.2GME；

(3)过点M作MQWAB,过点H作HPWAB,

由NKFE：ZMGH=13：5,设NKFE=13x,ZMGH=5x,

由（2）可知：ZBGH=2Z.MGH=10x,

ZAFE+NBFE=180°,

.-.ZAFE=180°-lOx,

,「FK平分/AFE,

/.ZAFK=NKFE=；ZAFE,

即,（180—10x）=13x,

2

解得：x=5°,

/.Z8GH=10x=50°,

,/HPIIAB,HPWCD,

ZBGH=4GHP=5O°,ZPHE=NHED,

rZGHE=90°,

ZPHE=NGHE-ZGHP=90°-50°=40°,

ZHED=40°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线

是解题的关键.

5.（1）；（2）见解祈；（3）105°

【分析】

（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解.

（2）过点B作BGIIDM,根据平行线找角的联系即可求解.

（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质

解析：（1）ZA+ZC=90°：（2）见解析；（3）105°

【分析】

（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解.

（2）过点8作8GliDM,根据平行线找角的联系即可求解.

（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解.

【详解】

解：（1）如图1,设AM与8c交于点OJFMIIC/V,

ZC=ZAOB,

•/AB±BC,

ZABC=90°,

ZA+N408=90°,

Z4+ZC=90。，

故答案为：N4+NC=90。；

（2）证明：如图2,过点8作8GII0M,

图2

•••BD±AM,

DB±BG,

/.Z08G=90°,

」.N48。+/A8G=90°,

•/AB±BC,

/.ZC8G+N48G=90。，

ZABD=Z.CBG,

AMWCN,

ZC=ZCBG,

：.ZA8D=NC：

(3)如图3,过点B作8GliDM,

图3

,「8F平分NOBC,BE平分NAB。,

/.ZDBF=NCBF,ZDBE=NABE,

由(2)知N/BD=NCBG，

・'.NA8F=/GBF,

设/D8E=cx,，ABF=6,

则/48E=a,ZABD=2a=^CBG,

ZG8F=NAFB=6,

Z8FC=3ZDBE=3a,

ZAFC=3a-\-6,

ZAFC+NNCF=180°,/FCB+NNCF=180°,

ZFCB=ZAFC=3a+6,

△8CF中，由/C8F+N8FC+N8CF=180°得：2fx+6+3a+3a+6=180°,

,/AB±BC,

8+6+2a=90°,

a=15°,

/48E=15°,

/.ZE8C=NA8E+N4BC=150+90°=105°.

故答案为：105°.

【点睛】

本题考杳平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键.

二、解答题

6.(1),；(2)1；(3)不变，值为2

【分析】

(1)根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a,b的值，再利用中点坐标公

式即可得出答案；

(2)先得出CP工,OP=2-t,OQ=2t,AQ=4-

解析：(1)C(2,0),A(0,4)；(2)1；(3)不变，值为2

【分析】

(1)根据绝对值和算术平方根的非负性，求得。，b的值，再利用中点坐标公式即可得出

答案；

(2)先得出CP=t,OP=2-t,OQ=2t,4Q=4-2t,再根据SAODP=SAODQ,列出关于t的方程，

求得t的值即可；

(3)过H点作4c的平行线，交x轴于P,先判定0GII4C,再根据角的和差关系以及平行

线的性质，得出/PHO=ZGOF=/1+Z2,

ZOHC=ZOHP+NPHC=ZGOF+N4=Z1+Z2+Z4,最后代入，°此+"E进行计算即可.

Z.OEC

【详解】

解：(1)>la-2b+\b-2\=O,

a-2b=0,b-2=0,解得a=4,b=2,

：，A(0,4),C(2,0).

(2)存在，理由：如图1中，D(1,2),

图1

由条件可知：P点从C点运动到。点时间为2秒，Q点从。点运动到A点时间为2秒:

―2时,点Q在线段4。上，即CP=t,0P=2-t,0Q=2t,4Q=4-2t,

SADOP=^•OP*yo=^(2-t)x2=2-t,SADOQ=^*OQ*XD=x2txl=f,

•SAOD^SAODQf

2-0,

/.t=l.

(3)结论：0嚓W”的值不变，其值为2.理由如下：如图2中，

Z.OEC

图2

•••Z2+Z3=90°,又＜Z1=Z2,Z3=ZFCO,

ZGOC+ZACO=180°,

/.OGWAC,

：.Z1=ZCAO,

：.ZOEC=NC40+Z4=Z1-Z4,

如图，过丹点作八c的平行线，交x轴于P，则N4-NP〃C,PHWOG,

：.ZPHOMGOF=/1+Z2,

ZOHC=ZOHP+NPHIGOF+N4=Z1+Z2+Z4,

.4)HC+Z4CE_N1+/2+/4+/4_2

"~ZOEC-Z1+Z4-•

【点睛】

本题主要考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题.

7.(1)平行，理由见解析；(2)35。或145。，画图、过程见解析；(3)50。

或130。或60。或120°

【分析】

（1）过点C作CFIIAB,根据NB=50°,ZC=85°,ZD=35°,即可得C

解析：（1）平行，理由见解析；（2）35。或145。，画图、过程见解析；（3）50。或130。或

60。或120°

【分析】

（1）过点C作CFIM8,根据N8=50。，ZC=85°,N0=35。,即可得CFIIE。，进而可以判断

AB平行于ED；

（2）根据题意作4811CD,即可N8=NC=35°；

（3）分别画图，根据平行线的性质计算出/8的度数.

【详解】

解：（1）A8平行于£。，理由如下：

如图2,过点C作CFIIAB,

：.ZBCF=Z8=50°,

Z8CD=85°,

ZFCD=85°-50°=35°,

,/Z0=35。，

ZFCD=ZD,

：.CFIIED,

1.,CFIIAB,

（2）如图，即为所求作的图形.

■「A8IICD,

/.ZABC=AC=35°,

・•.N8的度数为：35。：

图4

A'BWCD,

/.ZABC+AC=180°,

「•/8的度数为：145°；

」.N8的度数为：35。或145。：

(3)如图2,过点C作CFIIAB,

:48IIDE,

CFIIDE,

：.ZFCD=Z0=35°,

,/Z8385°,

Z8CF=850・35°=50°,

/.Z8=NBCF=50\

答：N8的度数为50。.

如图5,过C作CFIIA8,则A8IICFIICD,

如图6,•/ZC=85°,Z0=35°,

c

图6

ZCFD=1800-85o-350=60o,

ABWDE,

：.Z8=ZCFD=6Q\

如图7,同理得：/B=35°+85°=120°,

综上所述，N8的度数为50。或130。或60。或120。.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并熟练运

用.

8.（1）②③；（2）相等，理由见解析；（3）30。或45。或75。或120。或135。

【分析】

（1）根据平行线的判定和性质分别判定即可；

（2）利用角的和差，结合NCAB=NDAE=90。进行判断

解析：（1）②③；（2）相等，理由见解析；（3）30喊45。或75。或120。或135。

【分析】

（1）根据平行线的判定和性质分别判定即可；

（2）利用角的和差，结合NCA8=N以£=90。进行判断；

（3）依据这两块三角尺各有一条边互相平行，分五种情况讨论，即可得到NE4B角度所有

可能的值.

【详解】

解：（1）①N8FO=6（T,N8=45°,

Z8/W+ND=ZBFD+N8=105°,

Z84D=105°-30°=75°,

/.ZBADMB,

」.8C和八。不平行，故①错误；

②ZB/AC+ZDAE=180°,

：.ZBAE+Z.CADMBAE+Z.CAE+Z.03180。，故②正确；

③若BCWAD,

则N8AD=N8=45°,

Z8A£=45°,

即48平分NE/W,故③E确；

故答案为：©（3）:

（2）相等，理由是：

,/Z040=150°,

...Z84£=1800-1500=30%

Z840=60",

1/ZBAD+Z.D=ZBFD+NB,

/.Z8FO=60°+30°-45°=45°=NC；

（3）若4cliDE,

则/CAE=N£=60°,

ZEA8=90°-60°=30°；

若BCWAD,

则Nfi=ZBAD=45°,

ZEAB=45°i

若BCWDE,

则NE=Z4F8=60°,

ZE/48=180°-60°-45°=75°；

若48IIDE,

则ND=ZDAB=30°,

...Z£48=30°+90°=120°；

若AEII8C,

则NC=ZC4E=45°,

ZEA8=450+90°=135°；

综上：ZEAB的度数可能为30。或45。或75。或120°或135°.

【点睛】

本题考查「平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，分情况画出

图形，学会用分类讨论的思想思考问题.

9.(1)ZPAF+ZPBN+ZAPB=360°；(2)①，见解析：②或

【分析】

(1)作PCIIEF,如图1,由PCIIEF,EFIIMN得到PCIIMN,根据平行线的性

质得/PAF+ZAPC=180°,Z

解析：(1)NPAF+NP8N+N4P8=360°；(2)®ZCPD=+Z/?,见解析；

②4CPD=乙。一4a或4CPD=4a—40

【分析】

(1)作PCIIEF,如图1,由PCIIEF,EFWMN得到PCIIMN,根据平行线的性质得N%F

+/APC=130°,ZP8A/+N"8=180°,即有NPAF+z.P8N+/4P8=360°；

(2)①过P作PEII4。交O/V于E,根据平行线的性质，可得到NEPZ)=Na,

NC尸石=/4，于是NCPO=Na+N£；

②分两种情况：当P在OB之间时；当P在。八的延长线上时，仿照①的方法即可解答.

【详解】

解：(1)N%F+NP8A/+N4P8=360。，理由如下：

图1

PCWEF,EFWMN,

/.PCWMN,

ZP4F+ZAPC=180°,ZPB/V+ZCPfi=180°,

Z%F+NAPC+NPBN+NCP8=360。，

...ZPAF+ZP8N+NAPB=360°；

(2)①/CPD=/a+”,

理由如下：如答图，过P作咱I4）交ON于E,

,/ADWBC,

/.PEIIBC,

；./EPD=Na,4CPE=4。，

：.NCPD=Na+Np

②当P在OB之间时，乙CPD=La—乙B、理由如下:

备用图1备用图2

如备用图1,过P作PEIIAD交。N于E,

40IIBC,

/.PEWBC,

Z.EPD=乙a,/CPE=//，

4CPD=4a-40；

当P在。八的延长线上时，NCPD=N”/a,理由如下：

如备用图2,过P作PEIIAD交ON于E,

,/40IIBC,

PEWBC,

,4EPD=/a,4CPE=4。，

：.NCTO=N£-Ne：

综上所述，NCPD,Na,/0之间的数量关系是/（7?。=/夕一/二或/。「力=/。-//.

【点睛】

本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.观点

是分类讨论作平行辅助线.

10.（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）过点M作MPIIAB.根据平行线的性质即可得到结论；

（2）根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】

解：（1）NEMF=ZAEM+ZMFC.ZAEM+ZE

解析：（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）过点M作MPIIAB.根据平行线的性质即可得到结论；

（2）根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】

解：（1）/EMF=ZAEM+ZMFC.ZAEM+ZEMF+ZMFC=360°.

证明：过点M作MPIIAB.

,/ABIICD,

/.MPIICD.

Z4=Z3.

1.,MPIIAB,

Z1=Z2.

,/ZEMF=Z2+Z3,

ZEMF=Z1+Z4.

ZEMF=ZAEM+ZMFC；

EE__________

S1

证明：过点M作MQIIAB.

,/ABIICD,

/.MQIICD.

/.ZCFM+Z1=180°；

,/MQIIAB,

ZAEM+Z2=180°.

ZCFM+Z1+ZAEM+Z2=360°.

ZEMF=Z1+Z2,

ZAEM+ZEMF+ZMFC=360°；

(2)如图2第一个图：ZEMN+ZMNF-ZAEM-ZNFC=180°；

过点M作MPIIAB,过点N作NQIIAB,

ZAEM=Z1,ZCFN=Z4,MPIINQ,

/.Z2+Z3=180°,

,/ZEMN=Z1+Z2,ZMNF=Z3+Z4,

ZEMN+ZMNF=Z1+Z2+Z3+Z4,ZAEM+ZCFN=Z1+Z4,

/.NEMN+ZMNFNAEM/NFC

=Z1+Z2+Z3+Z4-Z1-Z4

=Z2+Z3

=180°；

如图2第二个图：ZEMN-ZMNF+ZAEM+ZNFC=180<>.

过点M作MPIIAB,过点N作NQIIAB,

/.ZAEM+Z1=180°,ZCFN=Z4,MPIINQ,

/.Z2=Z3,

ZCMN=Z1+Z2,ZMN「=N3+Z4,

/.ZEMN-ZMNF=Z1+Z2-Z3-Z4,ZAEM+ZCFN=180°-Z1+Z4,

ZEMN-ZMNF+ZAEM+ZNFC

=Z1+Z2-Z3-Z4+180°-Z1+Z4

=180°.

图2

【点睛】

本题考杳了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

三、解答题

11.(1)ZE=45°；(2)ZE=；(3)不变化,

【分析】

（1）由三角形内角和定理，可得ND+NECD=NE+NEAD,

ZB+ZEAB=ZE+ZECB,由角平分线的性质，可得NECD=NECB=N

解析：（1）/£=45。；（2）/£=与2；（3）不变化，；

【分析】

（1）由三角形内角和定理，可得ND+NECD=NE+NEAD,ZB+ZEAB=ZE+ZECB,由角平

分线的性质，可得NECD=NECB=」NBCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,则可得NE=1

222

（ZD+ZB）,继而求得答案；

（2）首先延长BC交AD于点F,由三角形外角的性质，可得NBCD=NB+NBAD+ND,又

由角平分线的性质，即可求得答案.

（3）由三角形内角和定理，可得

ZADP+900=ZACB+ZDACZADP+Z.DFO=ZABC+AOEB,利用角平分线的性质与三

角形的外角的性质可得答案.

【详解】

解：（1）丁CE平分/BCD,AE平分/BAD

/.ZECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,

22

,/ZD+ZECD=ZE+ZEAD,ZB+ZEAB=ZE+ZECB,

ZD+ZECD+ZB+ZEAB=ZE+ZEAD+ZE+ZECB

/.ZD+ZB=2ZE,

ZE=-（ZD+ZB），

2

,/ZADC=50°,ZABC=40°,

ZAEC=-X（50°+40°）=45°；

2

图1

（2）延长BC交AD于点F,

/ZBFD=ZB+ZBAD,

/.ZBCD=ZBFD+ZD=ZB+ZBAD+ZD,

CE平分/BCD,AE平分NBAD

ZECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,

22

,/ZE+ZECB=ZB+ZEAB.

ZE=ZB+ZEAB-ZECB=ZB+ZBAE--ZBCD

2

1、

=ZB+ZBAE——(zZB+ZBAD+ZD)

2

=-(ZB—ZD),

2

ZADC=a°,Z48c呻0,

即NAEC="^.

2

图2

ZADP一、ZADP_1

(3)的值不发生变化，\ZACB-ZABC\~2'

理由如下：

如图，记八8与尸Q交于七，八£＞与6交于产，

PQ工MN,

NDOC=NBOE=90。,

•/ZAOP+90。=ZAC5+ND4C①，

ZADP+Z.DFO=ZABC+ZOEB(2),

①一②得：90°-ZDFO=ZACB-ZABC+ZDAC-AOEBy

90°-ZDFO+ZOEB-ZDAC=ZACB-ZABC,

ZADP=90°-/DFOZOEB-4EAD=/ADP,

•••AD平分/BAC,

NBAD=NCAD,

ZOEB-ZCAD=/ADP,

l^ADP=ZACB-ZABC,

ZADP1

"\2ACB^ZABC\~2'

.1/

Q

图3

【点睛】

此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及免平分线的定义.此题难度较大，

注意掌握整体思想与数形结合思想的应用.

12.（1）36。或18。；（2）△AOB.△AOC都是〃梦想三角形〃，证明详见解析；

（3）ZB=36。或NB=.

【分析】

（1）根据三角形内角和等于180。，如果一个〃梦想三角形〃有一个角为108。，

解析：（1）36。或18。；（2）AAOB、4人。。都是“梦想三角形"，证明详见解析；（3；

540

/8=36°或/8=（宁）。.

【分析】

（1）根据三角形内角和等于180。，如果一个“梦想三角形〃有一个角为108。，可得另两个

角的和为72。，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180。

-1080-1084-3°=36°,721（1+3）=18°,由此比较得出答案即可；

（2）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出N48。、N04C的度数，根据“梦想三角形〃

的定义判断即可；

（3）根据同角的补角相等得到NEFC=/40C,根据平行线的性质得到NDEF=/ADE,推

出。日IBC,得到/COE=NBCD,根据角平分线的定义得到NADE=NCDE,求得NB=

NBCD,根据“梦想三角形”的定义求解即可.

【详解】

解：当108。的角是另一个内角的3倍时，

最小角为180°-108°-108+3°=36°,

当180。-108。=72。的角是另一个内角的3倍时，

最小角为72。+（1+3）=18°,

因此，这个“梦想三角形"的最小内角的度数为36。或18。.

故答案为：18。或36。.

(2)AAOB、△AOC都是“梦想三角形〃

证明：F8_L0M,

Z0/48=90°,

o

/.Z480=90°-ZM0N=30f

/.Z048=3/ABO,

△AOB为"梦想三角形"，

•/ZMON=60°,ZACB=80°,ZACB=Z.OAC+zMON,

ZOAC=80°-60°=20°,

ZAOB=3NOACf

△40c是“梦想三角形

(3)解：•••NEFC+N8DC=180°,/ADC+N8DC=180°,

/.ZFFC=ZADC,

「.A。IIEF,

ZOEF=NADE,

•「ZDEF=Z.B,

NB=NADE,

D£llBC,

：.ZCDf=ZBCD,

•「AE平分/ADC,

：.ZADE=Z.CDE,

：.Z8=NBCD,

•••△88是“梦想三角形”,

ZBDC=3Z8,或/8=3NBDC,

,：Z8OC+N8CD+N8=180”，

54()

/.ZB=36°或NB=(--

7

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理、“梦想三角形"的概念，用分类讨论的思想解决问题是解

本题的关键.

13.(l)ZE、ZCAF；ZCDE、ZBAF；⑵①20。；@30

【分析】

(1)由翻折的性质和平行线的性质即可得与NB相等的角；由等角代换即可得

与NC相等的角；

(2)①由三角形内角和定理可得，

解析：⑴NE、ZCAF；ZCDE.ZBAF；(2)①20°；②30

【分析】

(1)由翻折的性质和平行线的性质即可得与NB相等的角；由等角代换即可得与NC相等

的角；

(2)①由三角形内角和定理可得N6+/C=9(T,再由NC-N6=5(T根据角的和差计算即

可得NC的度数，进而得的度数.

②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含X的代数式表示出/FDE、

ZDFE的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x值即可.

【详解】

(1)由翻折的性质可得：ZE=ZB,

,/ZBAC=90°,AE_LBC,

ZDFE=90°,

1800-ZBAC=1800-ZDFE=90°,

即：ZB+zC=ZE4-ZFDE=90°,

NC=NFDE»

ACIIDE,

ZCAF=ZE,

/.ZCAF=ZE=ZB

故与NB相等的角有/CAF和/E：

,/ZBAC=90°,AE±BC,

NBAF+zCAF=90°,ZCFA=180°—(ZCAF+NC)=90°

ZBAF+ZCAF=ZCAF4-ZC=90°

/.ZBAF=ZC

又ACIIDE,

ZC=ZCDE,

故与NC相等的角有NCDE、ZBAF；

(2)①「ABAC=90°

N8+NC=90。

又.ZC-Z5=50°,

ZC=70\ZB=20°;

②ZBAD=x°,ZB=20°则ZADB=\60°-x°,ZADF=200+x0,

由翻折可知：:ZADE^AADB^\60°-x°,NE=NB二20。,

ZFDE=\400-2x°tZDFE=20°+2x°,

当NFDE=ZDFE时，140。-2%°=20。+2犬，解得：x°=30°；

当NFDE=NE时，140°-2x。=20。，解得：X。二60。(因为0Vx445,故舍去)；

当NDFE=NE时，20。+2.广二20。，解得：工。=0(因为0Vx445,故舍去)；

综上所述，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等.且x=30.

【点睛】

本题考查图形的翻折、三龟形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、

等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识.

14.(1)ZDAE=14°；(2)ZDFE=14°；(3)NDAE的大小不变，NDAE

=14。，证明详见解析.