高考数学专题复习-立体几何知识点梳理

高考数学专题复习

--立体几何知识点梳理

一、空间几何体

lo多面体：由若干个多边形围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两

个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.

2o棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，由这些面所

围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做底面，其余各面叫做侧面.

3o棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形：顶点在底面上的射影是底面正多边形的中

2

心。正四面体的高7。（=§/正方体体对角线）

正四面体的体积为噌/（V正方体—4匕卜三棱锥=：/方体）

1LJ

正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为L3（=：/正方体体对触戋:4/正方体体对角线）

外接球的半径为广。（是正方体的外接球，则半径十

正方体体对角线）

内切球的半径为V三6。（是正四面体中心到四个面的距离，则半径二:I/正方体体时角设）

126

正四面体:

4o棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。由正棱锥截得的棱台叫做

正棱台。

正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正桂台的两底面以及平行于底面的截面是相似的

正多边形

5o旋转体：由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴，

6。圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋

转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。

圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角

形、等腰梯形。注：在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时，经常用到弧长公式/=aR

7.球：以半圆的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体（简称球）

球的截面性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半径R及撇面的半径r,

有下面的关系:d2=/?2+r2

球面距离:

例题1：把地球看作半径为？的球，力、〃是北纬30。圈上的两点，它们的经度差为60。，力、〃两点间的

球面距离为_____________

例题2：三棱锥0-ABC的三条棱OA,OB,0C两两垂直，OA=1,OB=OC=2,则内切球表面积为,外接

球体积为.

例题3：已知球。的半径为1,/、氏。三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为8,则球心。到平面

2

/回的距离为（）

,1R石C2D8

A.-15.-------C.-I）.----

3333

例题4：已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=8C=C4=2,则球面面

积是（）

A..——16rBc.—也C八.彳4n门D.-6-曲-

939

内切球和外接球:

例题1：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则

该正三棱锥的体积是（）

A逋B在D.旦

A-4氏3。412

例题2：正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）

A.1：A/3B.1：3C.1：3百D.I：9

例题3：（2012新课标理）已知三棱锥S-A4c的所有顶点都在球。的求面上，A4BC是边长为1的正三角

形，SC为球。的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为（）

3V2D.也

C.

6432

例题4：（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,I）是球0表面上的点,PA_L平面ABCD,四边形ABCD是边长为26正

方形.若PA=2遥，则的面积为,

8o简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图。

一个投影面放皆在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图（正视图）。

和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，

投影到这个平面内的图形叫做左视图（侧视图）。三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的

正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。

（1）、三视图画法规则：

高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐

长对正：主视图与俯视图的长应对正

宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等

（2）、空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影）;

侧视图(从左向右的正投影);

俯视图(从上向下正投影).

例题：某四棱锥底面为直角梯形，

一条侧棱与底面垂直，四棱锥的三视图如右图所示,

则其体积为.

(3)、空间几何体的直观图——斜二测画法特点：

①斜二测坐标系的y轴与x轴正方向成45°角;②原来与x轴平行的线段仍然与x平行，长度不变;

③原来与y轴平行的线段仍然与了平行，长度为原来的一半.

常用结论：平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为2亚：I.

9、特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高,〃为斜高，/为母线)：

S自棱柱侧面枳=%S圆柱侧=2R/ZS正校推例面积=/必'S网钠侧面积=r”

S正核台蚓面枳=g(4+c2ViS圆台侧面积=(r+R)力S圆柱表=2"(厂+/)S峻表=水厂+/)

S|网台衣="(二+"+KI+)S球面=4iR

10、柱体、锥体、台体和球的体积公式：

%=S/iVm=Sh=7rr-h/惟=；加号

JD

/=g6+呵+S)h%台=g(S'++S)〃=*(/+rR+R2)hV球=g

例题1:已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角

形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.

(1)求该几何体的体枳V；(2)求该几何体的侧面积S

例题2：右图是底面为正方形的匹棱锥，

其中棱以垂直于底面，它的三视图正确的是（

B

二、典型例题:

例L（2007湖北文）在棱长为1的正方体中，E、尸分别为棱AA1、8丛的中点，G为棱

人向上的一点，且小6=4（OWLWI）,则点G到平面DxEF的距离为（

A.V3B.旦C.叵D.也

235

例2..Q003北京文、理）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个

圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）

「32731

A.2万B.—7TC.----71D.—TC

232

例4。（2008海南、宁夏文、理）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六楂柱的顶点都在

同一个球面上，且该六棱柱的高为逐，底面周长为3,那么这个球的体积为.

三、基础训练：

1.（2008广东文、理）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A,B,C分别是AGHI三边的中点）得到几何体按

图1M2

2.（2008全国H卷文、理）已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的

公共弦长为2,则两圆的圆心距等于（）

A.1B.V2C.V3D.2

3.（2007陕西理）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的

三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）

⑺苧(B)f(O4⑴)噂

4.（2007山东文、理）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）

①正方形②圆锥③三棱台④正四棱

A.①②B.①③C.①④D.②④

5.（2007海南、宁夏文）已知三棱锥S-A3C的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心。在上，SO_L

底面ABC,AC=B，则球的体积与三楂锥体积之比是（）

A.71B.2nC.3兀D.4兀

6.（2008四川文）设M是球心。的半径OP的中点，分别过M,。作垂直于。尸的平面，截球面得两个圆，则

这两个圆的面积比值为：（)

（C）(D)

(A)-(B)-If

42

7.（2007四川文、理）如图，在正三棱柱A4C—4避£中，侧棱长为血，底面

三角形的边长为1,则8G与侧面ACGAi所成的角是

四、巩固箜习：

lo（2008福建文、理）如图，在长方体ABCD-4用|GA中，/W=BC=2,A4i=l,则8G与平面质所成角的

正弦值为（)

A指276Vl5

A.---D.--D.---

3555

2.（2001全国文,广东）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为V3,则这个

圆锥的全面枳是（）

（A）3冗（B）36万（C）6兀（D）94

3、（2006全国I卷文、理）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是

（）

A.16万B.20〃C.24〃D.327r

4.（2002广东、河南、江苏，全国文、理）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的

体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（）

5.（2008四川理）设何，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM,分别过作垂线十

OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（）

（A）3,5,6（B）3,6,8（C）5,7,9（D）5,8,9

6.（2008福建文、理）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为G，则其外接球的表面积是:

7.（2007辽宁文、理）若一个底面边长为乂9,棱长为指的正六棱柱的

2

所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为

二空间直线和平面

立体几何点线面的位置关系

1,、线线平行的判断：

⑴平行于同一直线的两直线平行。

（2）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（3）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（4）垂直于同一平面的两直线平行.

2.、线线垂直的判断：

若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

3、线面平行的判断：

（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

练习1：如图，在三棱锥S-ABC中，平面SACJ_平面ABC,且ASAC是正三角形,

O是AC的中点，D是AB的中点.

(I)求证：0D〃平面SBC：

(II)求证:SOJLAB.

练习2、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,MEAC,N£FB,且AM=FN,求证iMN

〃平面BCE.

B

FE

4、线面垂直的判断：

（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

（2）如果两条平行线中的一条垂直于一■个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

（4）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。

5、面面平行的判断：

（1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。

（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。

6、面面垂直的判断：

一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

练习1、已知正方体ABC。—A4GA，。是底ABC。对角线的交点.

求证：（1）00〃面4隹0；（2）4。_1,面4隹〃.

2、已知矩形ABCD所在平面外一点P,PAJ_平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点.

（1）求证：EF〃平面PAD：（2）求证：EF1CD；

3.如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO_L底面ABCD,

E是PC的中点。PO=&,AB=2

求证：（1）PA〃平面BDE

（2）平面PAC_L平面BDE

线线、线面和面面的成角问题

1、两异面直线及所成的角：不在同一个平面的两条直线，叫做异面直线,已知异面直线a,b,经过空间任一点0

作直线优〃〃，〃'〃力，我们把，'与h，所成的锐角（或直角）叫做异面直线〃与人所成的角（或夹角）.如果两条异

面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.

2、直线和平面所成的角：一条直线PA和一个平面。相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的

斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线P0,过垂足0和斜足A的直

线A0叫做斜线在这个平面上的射影。

平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，

我们就说它们所成的角是直角。一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是°".

3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做一囿角。在一面角&一,一△的棱,上任取一点

O,以点O为垂足，在半平面a和B内分别作垂直于棱/的射线0A和0B,则射线OA和0B构成的NAOB

叫做二面角的平面角。

二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。

常见角的取值范围：

/"1r

①异面直线所成的角（0,^直线与平面所成的角0,|二面角的取值范围依次［0,封

②直线的倾斜角［0，〃）、到，2的角［0，乃）、与的夹角的取值范围依次是0,-

2

③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是［一£,巴］,［0,幻，（一£,£）.

2222

例题1：如图，在RtZXAOB中，ZOAB=-»斜边AZ?=4.Rt△八OC可以通过RtZ^AOB以直线A。为轴旋转

6

得到，且二面角8-4。一。的直二面角.。是A8的中点.

（I）求证：平面COQ_L平面A0B：

（II）求异面直线4。与。。所成角的大小.

例题2：四棱锥S-ABC。中，底面A8C7）为平行四边形，侧面S8C1底面ABC7）.已知N/WC=45,AB=2,

BC=2垃,SA=SB=g.

（I）证明SAJ_BC：

（ID求直线5。与平面SAB所成角的大小.

点到平面距离：求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当

然别忘了转化法与等体积法的应用.

例1如图，正三棱柱ABC-A4G的所有棱长都为2,。为CG中点.

（［）求证：48」平面A3。：

（H）求二面角4一4。一8的大小;

（H1）求点C到平面A8D的距离.

二、典型例题：

例I.（2007湖南文）如图，在正四棱柱A3CD-AUG。中，E、F分别

是人耳、BG的中点，则以下结论中不成立的是（）

A.族与垂直B.E1与BDS直

C.耳'与CD异面D.EF与A&异面

例2.（2005江西理）在直三楂柱ABC—ABG中，AB=BC=V2,BB1=2,ZABC=W,E,F分别为AA1.

C.B）的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为.

例3.（2004全国卷IV文、理）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8,AD=4，5,

侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.

（I）求四棱锥P-ABCD的体积；（II）证明PA1BD.

三、基础训练：

1.（2008安徽文、理）已知机，〃是两条不同直线，4,产是三个不同平

列命题中正确的是（）

A.若mHa,nIIa,则加〃nB.若a_L则a〃尸

C.若〃11Ia,tn〃/?，则a〃£D.若〃?_La,〃_L%贝ijmIIn

2.（2008海南、宁夏文）已知平面。J•平面B,aA3=/,点A£a,A^Z,直线AB〃/,直线AC_L/,直线

m〃a,m〃B,则下列四种位置关系中，不：室成立的是（）

A.AB〃mB.AC±mC.AB〃BD.AC_LB

3.（2007陕西文、理）已知P为平面a外一点，直线/ua,点QE/,记点P到平面a的距离为点P到直线1

的距离为b,点P、Q之间的距离为c,则（）

（A）a<b<c（B）c<a<b（C）a<c<b（D）Z?<c<a

4.（2006全国H卷理）如图，平面。，平面B,力£BW8,AB与

两平面a、万所成的角分别为♦和尚，过尔力分别作两平面交线的垂

4o

线，垂足为H、8,，则也：力,B'=（）

（/）2：1（Z?）3：1（O3：2（〃）4：3

5.（2004浙江埋）已知平面a和平面。交于直线/,P是空间一点，PA_La,垂足为A,PB±|J,垂足为B,

且PA=1,PB=2,若点A在p内的射影与点B在a内的射影重合，则点P到/的距离为。

6.（2005湖南文）已知平面心尸和直线，给出条件：

①〃z〃a；②m_L。；③mua；④aJ.〃；©a/lp.

（i）当满足条件时，有机〃力；

（ii）当满足条件时，有机_!_〃.（填所选条件的序号）

7.（2004全国卷DI理）三棱锥P—ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.

(1)求i正AB_LBC；(2)如果AB=BC=2V5,

8.（2000全国文，江西、天津文，广东）如图，已知平行六面体ABCD-A与C/Z的底面ABCD是菱形,

且NGC3==NGCO=N8C。。(D证明：GC~LBD；

CD

(II)当的值为多少时，能值ACL平面G®。？请给出证明。

CQ

D

四、巩固练习：

1.（2008江西文）设直线机与平面a相交但不垂直，则下列说法中正确的是（）

A.在平面a内有且只有一条直线与直线〃7垂直B.过直线机有且只有一个平面与平面a垂直

C.与直线垂直的直线不可能与平面a平行D.与直线m平行的平面不可能与平面a垂宜

2.（2007天津文、理）设。，人为两条直线,a,4为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）

A.若。，匕与。所成的角相等，则。〃人B.若a〃a,b//p,a//％a//b

C.若aua,bu0,a//b,则a〃/7D.若。_La,b10,a1/3,则a_LZ?

3.（2006辽宁文、理）给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行.

②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线人4与同一平面所成的角相等，则/A互相平行・

④若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（）

（A）l（B）2（C）3（D）4

4.（2005天津文、理）设。、0、/为平面，相、〃、/为直线，则〃?_L/的一个充分条件是］）

(A)a±=l,m±l⑻ar\y=tn,a±/,/?±/

(C)aJ_y,尸_Lyjn_La(I))n_La,〃_Lft,m_La

5.（2004重庆理）设P是60的二面角a-/一夕内一点，Q4_L平面a平面p,A,B为垂足,

PA=4,P8=2,则AB的长为：（）

A.2月B.2石C.2近D.4x/2

6.（2008江苏）在四面体ABCD中，CB=CD,AD±BD,且EF分别是AB,BD的中点，求证：

（I）直线EF〃面ACD；（II）面EFC_1_面BCD.

7.（2008山东文）如图，在四棱锥P—ABC。中，平面PAO_L平面ABC£>,AB//DC,△阳。是等边三

角形，已知BO=2AO=8,AB=2DC=A后.

（I）设M是尸CJL的一点，证明：平面平面PAD；

（II）求四棱锥P—A8CD的体枳./'

空间向量与立体几何

基础知识归纳：

1.向量的数量积：已知非零向量a,B,则a・B=（a|,|6|cosva,b>叫做a与B的数量积。

——neb

2.两向量夹角的求法：cos<a,b>=^—丁，立体几何中有关夹角的问题，一般用此式解决。

|a|-|b|

3.a±b<=>a*b=0

4.已知两点A(xi,y”zi),B(X2,y2,Z2)»则向量AB=(x?-Xi,y?-y^z2-zj,

线段AB的中点M的坐标是(±±21,辽!X,幺卫],

I222)

A,B两点间的距离是|AB|=J(x?-X])2+仇—丫])2+(z?-ZI)2

——♦——

4.若a=(X],y],7]),b=(*2，丫2，々)，O!ijaeb=xtx2+y)y2+z)z2.

5.用空间向量解决立体几何问题垂直、平行和成角问题：

(1)法向量：

平行的证明：

垂直的证明：

异面直线成角：

直线和平面成角:

二面角：

二、典型例题:

例1.(2008安徽理)如图，在四棱锥O—ABC。中，底面ABC。是边长为1的菱形，ZABC=~,

4

041.底面ABC。，。4=2,加为。4的中点，N为8c的中点。

(I)证明：直线MN〃平面08；

(II)求异面直线AB与MD所成角的大小；

(HI)求点B到平面0CD的距离。

例2.(2007福建理)如图，正三棱柱ABC-A]B|G的所有棱长都为2,D为CC]中点。

(1)求证：ABi_LjffiA|BD；(2)求二面角A-AQ-B的大小;

(3)求点C到平面A|BD的距离。

三、基础训练：

1.（2008浙江文、理）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BEZ/CF,ZBCFgZCEF=90°7AD=

A/3,EF=2O（I）求证：AE//平面DCF；VX

（ID当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60。?

2.（2006广东）如图5所示，AF.DE分别世。、Q的直径，A。与体血所颓用标而直，AD=S.BC

是。的直径，AB=AC=6fOE//AD.

⑴求二面角4）一厂的大小；（H）求直线BD与EF所成的角.一、

四、巩固练习：

1.（2008湖南文）如图所示，四棱锥P-A8C。的底面A3C。是边长为1的菱形，ZBCD=60°,

E是CD的中点，PA1底面ABCD,PA=0

（I）证明：平面PBEJ_平面PAB；飞除、

（H）求二面角A—BE—P和的大小。

2.（2007山东理）如图，在直四棱柱ABC。—A4GA中，已知。C=OA=2AD=2A3,AD_LDC,

AB//DC.（【）设E是。。的中点，求证：〃平面48D；D

di）求二面角A-NO-G的余弦值・

优势

3.（2004福建理）在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，知S峪日瓶ABC,SA=SC=2

48

Jr3,M、N分别为AB、SB的中点。（I）证明：AC1SB；

（H）求二面角N—CM—B的大小；（HI）求点B到平面CMNs

的距离.‘AK

B

M

A

空间几何体（参考答案）

二、典型例题：

4

例1.C.例2.D.例3..C.例4、鼻兀.

例5.【解析】（1）画出直观图并就该图作必要的丽•.........3分

（2）V=64...................7分（3）5=40+240..........12分

三、基础训练：

1.A2.C.3.C4.D.5.D6.D7.更

8.解：・・・PD_L底面ABCD

APD1AB,

•・・BD是圆的直径，

AADXAB,又PDCIAD=D

・・・AB_L平面ADP又ABq平面ABP

・•・平面ABP_L平面ADP,且平面ABPA平面ADP=PA.

在平面ADP内作DH1PA,垂足为H,则DHJ_平面ABP,

连结B1I,则/DBH就是BD与平面ABP所成角,即/DBH=6.

在RtZXABD中，BD=2R,所以AD=J^R.

在RlZXADP中，DH1PA,PD=2j^R,AD=J5R,则AP="1A

.LH-ADDP_I41

••UDri--™tI\,

APvn

在RlZkBHD中，BD=2R,DH=4=9R,所以BH=JBD?-DH?=

Vilv

<30

tan<9=—

BH

⑵证明：VEG//RC,

PEPGPEDF

・•---=----,又已知----=----

EBGCEBFC

.PGDF

…~GC~~FC

AGF//PD又由PDJ_底面ABCD,可知PD1BC,

EGIGF

•••△EFG是直角三角形.

（"当普二:时’由平行线截割定理可知‘软"筹"!’需=需

在ABCD中，ZBDC=45°BD=2R,所以BC=V2R,又PD=2JiR,

414A/2

.\EG=—R,GF=--R.

33

所以AEFG的面积为尸G=gEG-G尸=gx*/?x华

解法2：以A为原点，分别以AB、AD所在的直线为x、y轴，建立空间直角坐标系.（略）

四、巩固练习：

loD.2.A3、C.4.C.5.D.6.9冗.7.4向

8.解：设00i为x叫则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位；m）732-U->）2=^+2x-x2

222

SlL<=6-^(78+2X-X)=^(8+2X-X)O

于是底面正六边形的面积为（单位：m2）

帐篷的体积为(单位：m3)V(X)=^(8+2X-X2)^(X-1)+1=^(16+12X-X3)

求导数，得丫'（工）=立（12-3/）

2

令Ha）=0解得x=-2（不合题意，舍去），x=2.

当Kx<2时，V^x）>0,V（x）为增函数；

当2a<4时，V'（x）<0,V（x）为减函数。

所以当x=2时,V（x）最大。

答当001为2m时，帐篷的体积最大。

第二讲空间直线和平面（参考答案）

二、典型例题：

-V2/T

例I.D.例2.2___例3.

例4.解：（I）取AD的中点E,连结PE,则PE_LAD.作PO_L平面在ABCD,

垂足为O,连结OE.根据三垂线定理的逆定理得OE_LAD,/•D\

所以NPEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，/二.・F\

由已知条件可知NPEO=60°,PE=6,E-O力

所以PO=3j5,四棱锥P—ABCD的体积Ab

1图2

VP-ABCD=-X8X4V3X3A/3=96.

3

（II）解：如图2,连结AO,延长AO交BD于点F.通过计算可得EO=3,AE=2J3,

.rrEOAD

又知AD=4j3,AB=8,得z一=——.

AEAB

所以RtAAEO^RtABAD.得NEAO=NABD.所以NEAO+NADF=90°,所以AF1BD.

因为直线AF为直线PA在平面ABCD内的射影，所以PA_LBD.

三、基础训练:

7.（I）证明：如图1,取AC中点D,连结PD、BD.

因为PA二PC,所以PD_LAC,又已知面PAC_L面ABC,

所以D为垂足.因为PA=PB=PC,所以DA=DB=DC,

PP

可知AC为AABC的外接圆直径，因此AB_LBC.

（II）解：如图2,作CF_LPB于F,连结AF、DF.

因为△PBC^^PBA,所以AF_LPB,AF=CF.

因此，PB_L平面AFC,

所以面AFC_L面PBC,交线是CF,

因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF,

ZACF为AC与平面PBC所成的用.

在RtZ\ABC中，AB=BC=2A/3,所以BD二后.

在RtZiPDC中，DC=J^，尸。二石.在Ri^PDB中，DF=PDDB==72.

PB3

DFJ?J3

在RlZ\FDC中，tanNAb=—=-==—,所以NACF=30°.

DC瓜3

即AC与平面PBC所成角为30°.

8.•I)证明：连结％G、AC和3。交于0,连结G。。

•・•四边形ABCD是菱形，

AACYBD,BC=CD3

又・・・/BCG=/OCG,GC二G。，

・•・AC】BC=△CQC,，GB=GD,

•・•DO=OB

・•・QO.LBD,

但AC_L8DACnGO二。，

/.8。_1.平面4Go又C[Cu平面,

・•.C,C±BD.

CD

(ID当——=1时，能使/\C_L平面GBO。

CD

证明一：'：-=],：,BC=CD=QC,

CC{

乂/BCD=/C】CB=NC】CD,由此可推得BD=C]B=CiD.

・•・三楂锥C-G3O是正三校锥。

设A。与G。相交于G。：4G〃AC,且MG：oc=2：1,

C}G：GO=2：lo

乂G。是正三角形GBD的8。边上的高和中线，

・••点G是正三角形G5。的中心，

・・.CG±平面G8O，即ACJ_平面C,BD.

证明：由（I）知，3DJL邛面AG，

•.'ACu平面AC1，ABD±A1C.

CD

当一=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，

cc}

同AC的正法可得BGJ.AC.乂BDC\BG=B,

，AC_1_平面C[BD0

四、巩固练习：

1.B.2.D.3.D4.Do5.C.

6.【解析】（I）;E,F分别是AB,BD的中点,

AEF是4ABD的中位线，・・・EF〃AD,

•••EFa面ACD,ADu面ACD,J直线EF〃面ACD.

(H)•.*AD±BD,EF〃AD,EF±BD.

VCB=CD,F是BD的中点，・・・CF_LBD.

又EFCF=F,EFC.：BDu面BCD,・••面EFC_LlfflBCD

7.(I)证明：在△A3。中，由于AO=4,BD=8,AB=4小,

所以AD2+BD1=AB2.故A。J.8。.

又平面PAO_L平面A8CQ,平面「入。平面48co=AO,

BOu平面ABC。，

所以8。_L平面PAD,又BDu平面MBD,

故平面MBD±平面PAD.

(H)解：过P作尸O_LAO交A。于O,

由于平面PAD_L平面ABCD,所以POJL平面ABCD.

因此PO为四棱锥P-ABCD的高，

又△尸4。是边长为4的等边三角形.因此PO=—x4=2s/3.

2

在底面四边形A8CO中，AB//DC,AB=2DC,

4xRQ./5

所以四边形ABC。是梯形，在RtZ\4O8中，斜边A8边上的高为==吆,

4石5

此即为梯形A3C。的高，

所以四边形ABCD的面积为S=2cx—=24.

25

故%_[x24x2G=16技

第三讲空间向量与立体几何(参考答案)

二、典型例题：

例1.方法一(综合法)

(1)取OB中点E,连接ME,NE

ME#AB,ABIICD;.MEHCD

又NEUOC,平面MNEII平面08

「.MN〃平面OCO

(2)CDIIAB,

・・・/加。。为异面直线48与加。所成的角(或其补角)

作APJ.C。于尸，连接MP

•/0A±平面ABCD，二CD±MP

•：ZADP=-,：.DP=—

42

MD7MA+AU=叵，

：.cos4MDP=—=NMDC=4MDP=-

MD23

所以AB与MO所成角的大小为工

3

(3),/ABII平面狈,•点A和点B到平面OCD的距离相等连,接0P,过点A作

AQ1OP于点Q,•・・4夕_1。。,。4_18,・・・8_平面。4/>,・・・4。_1_。。

又•・•AQ_LOP.：.AQ±平面08.线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

•：OP=dOD2-Dp2=y!o*+AD?-Dp2=，4+1-，=乎,AP=DP=^

2也

QAAPr22

，AQ=----------==一，所以点B到平面OCD的距离为一

OP3应33

~Y

方法二（向量法）

作AP_LCD于点P,如图，分别以AB.ARAO所在直线为x,），,z轴建立坐标系

4(0,0,0),8(l,0,0),P(0,*,0),0(—g,理,0),0(0,0,2),M(0,0』),N(l—'，4,0),

22244

⑴MN=(1冬冬7）,OP=（0，与一2）QD=（4,与一2）

设平面OCD的法向量为n=(x,y,z)，则nOP=0,

—y-2z=0

即2

一-2”0