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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【导学案】第25章一元二次方程数学活动：探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割【学习目标】1.通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割.2.经历“猜想一验证一推导”的探究过程，提升逻辑推理与数形结合能力，在互动中感受数学的关联性，激发主动探究的兴趣.学习重点：通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割.学习难点：通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割.【复习导入】如何解决下列两个任务：任务一：“三个一元二次方程，系数不同却有公共解”背后藏着什么规律？任务二：线段分三段，既要“最长段＝另两段和”，又要满足分式等式，是巧合还是必然？【合作探究】探究点一：探究方程有公共解的条件活动1：已知abc≠0，下列方程：ax²+bx+c=0，①bx²+cx+a=0，②cx²+ax+b=0.③恰有一个公共解.给出a，b，c满足的条件，并求出方程①②③的解.问题1：要找三个方程的公共解，第一步可以怎么做？问题2：将k代入三个方程，能得到什么式子？问题3：如何处理这三个式子，得到a，b，c的关系？归纳小结多个方程公共解问题的通用思路：设公共解→代入方程→构造关系式→分析系数条件探究点二：探究方程有公共解的条件活动2神奇的线段分割王芳：李明，我们来做个智力游戏吧.你能把任意一条线段分成两两不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗？李明：这简单，你来试试这个.还是把一条线段分成两两不等的三条线段，如果三条线段的长度分别为a，b，c，且a>b>c，你能找到合适的a，b，c，使a=b+c和1a+思考：怎么用尺规作出李明提出的问题中线段的两个分点？当堂反馈1.已知三个一元二次方程：x²+bx+c=0、bx²+cx+1=0、cx²+x+b=0有唯一公共解，且b=2，则c=.2.将一条长为10cm的线段分成三段m，n，p(p为最长段)，满足p=m+n且1p+1m=1n.n参考答案【合作探究】探究点一：探究方程有公共解的条件活动1：问题1：设公共解为k问题2：问题3：将三式相加：(a+b+c)k²+(b+c+a)k+(c+a+b)=0提取公因式：(a+b+c)(k²+k+1)=0分析：k²+k+1=因此必有a+b+c=0.当a+b+c=0时，c=－a－b，代入方程①:ax²+bx－a－b=0因式分解：a(x²－1)+b(x－1)=0(x－1)[a(x+1)+b]=0解得x=1或验证：将x=1代入方程②、③，均满足a+b+c=0，因此公共解为x=1，条件为a+b+c=0(abc≠0).探究点二：探究方程有公共解的条件活动2神奇的线段分割王芳：依据“线段和差的拼接规则”：若线段总长为L=a+b+c，当a=b+c时，只需在原线段上先截取长为b的段，再截取长为

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