初中数学几何“中点问题”7大模型考点详解

初中数学几何“中点问题”7大模型考点详解

模型一多个中点出现或平行+中点（中点在平行线上）时，常考虑或构造三角形中位线

例题

1.如图，在n4比。中，对角线4。与助相交于点0,E

是边的中点，连接。后，若乙43c=60。，乙84C二

80。，则乙1的度数为)

A.50°

B.40°

C.30°

D.20°

第1题图

2.如图，M是的边5c的中点，4V平分NB4C,

BN1AN于点N,且46=8=3.求4c的长.

3.如图，在四边形48切中MB=⑵,M、MP、Q分别是

AD、BC、BD、AC的中点.

求证:MV与PQ互相垂直平分.

第3题图

答案

1B2.AC=\4.

3证明：如解图，顺次连接MP、PM

NQ、QM,

•・・点例、P分别出段4。、切的中点，

.•.MP是△430的中位线，

・♦.MP//ABKMP=~YAB,

同理,N。〃/18且NQ二?仍，

・•.MP〃NQ且MP=NQ,

・•・四边形MPN。是平行四边形，

又,•・点P、N分别是线段BD、BC的

中点，

PN是的中位线，

.・.PN=.

又•；AB=CD,

・•.PN=PM,

/.平行四边形MPN。是菱形，

MN与PQ互相垂直平分.

第3题解图

模型二直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半”

例题

4.如图，乙408=90。，。为48的中点，连接并延长

至I」E,使CE=gcD，过点5作B/〃O&与4E的延长

线交于点心若断=8.

求4区的长度.

5.如图，四边形“CD中，/.。=90。，4。_1。5点后为

46的中点,。£〃8C

求证：89平分448。

答案

4.AB=6.

5.证明:点E为四的中点,

DE二BE二;AB,

・・.AABD=乙BDE.

•/DE//BC,

・・.乙CBD="DE,

乙ABD=(CBD,

BD平分445C

模型三等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想"三线合一”的性质

例题

6.如图，'ABC中,"点。是8C的中点I是AC

上一点，且4E=4。,若44矶）=75。.

求：乙£0。的度数.

7.如图，在△43。中,46=4。=5,3。=6,M为NC的中

点、，MNLAC于点N.求MN的长.

第7题图

8.如图，在矩形4BC0中，E为北边上一点，呢平分

乙DEB,F为CE的中点，连接AF.BF.

(1)求证:OE=OC;

(2)求证：4/18只

第8题图

答案

6.AEDC=\5°.

12

7.MN=^.

8证明：(1);四边形/IBC〃是矩形，

AB//Cl),

：.乙DCE;乙CEB,

•••EC平分乙DEB,

/.乙DEC二(CEB,

乙DCE=乙DEC,

：.DE=DC；

(2)如解图，连接。尸,

DE=/)C尸为CE的中点、,

/.DFA.EC,

：.乙"C=90。，

筱形八比〃中/出=/兑,乙1比二90。,

BF=CF=EF=/c,

Z_ABF=乙CER,

/_DCE=Z_CEB,

：.乙ABF=乙DCF,

在△/［研和△〃“中，

rBF=CF

,乙ABF=乙DCF,

AH=DC

A4£?F^ADCF(SAS),

乙AFB=Z_DFC=90。，

/.AF1BF.

模型四遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质

例题

9.如图，在周长为20的平行四边形48co中,48X4。,

AC、BD相交于点0,0E_LBD交AD于点心连接BE.

求：AABE的周长.

第9题图

10.如图，ZU3。中,4。是高，CE是中线，点G是CE的

中点、,DG_LCE,点G为垂足.

求证：0C=3E.

第10题图

答案

9.△ABE的周长为10.

10.证明：如解图，连接0段

・・,G是CE的中点,。G_LCE,

•••DG是CE的垂直平分线，

・・.DE=DC,

・・・△。中,40是高，CE是中线,

・・・DE是RtAADB的斜边AB上的

中线，

・・.DE=BE=~^AB,

・・.DC=BE.

模型五中线等分三角形面积

例题

11.在△4BC中，点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,

且SAABC=16,则

A.2B.8

12.如图，在边长为Q的正方形48co中，后是45的中

点,QE交4c于点/，则△09F的面积为（）

A.B.C.J-。2D.~CL2

4323

11.A12.B

模型六圆中弦（或弧）的中点，考虑垂径定理及圆周角定理

例题

13.如图，46是。。的直径，。是。。上的一点，OOJ_

于点O,4C=6,则。。的长为（）

A.2B.3C.3.5D.4

14.如图,48是半圆。的直径,'NBC的两边AC.BC分

别交半圆于。,£,且E为BC的中点，已知乙A4C二

50。，则乙。=.

13.B14.65°

模型七遇到三角形一边上的中点（中线或与中点有关的线段），考虑倍长中线法构造全等三角形

例题

15.如图，△然△中,43=7=5,点。为3C的中点,

则AD的取值范围为.

16.如图，在△/1加中，4。是边上的中线，后是40

上一点，且BE=AC,延长BE交AC于点F.

求证：4歹二后工

答案

15.1</1D<6

16.证明:如解图，延长4。到点C,使

得40=0C,连接BC,

•••4）是3c边上的中线,

DC=DB,

在△/I。。和△G08中，

AD=DG

J/_ADC=乙