大学物理学：习题课

一般步骤:1.分析问题,设所求未知函数,建立微分方程,确定初始条件.2.求出微分方程的通解3根据初始条件确定通解中的任意常数,求出相应的特解,指出解的几何,物理,或经济等意义.

微分方程的应用举例2例有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流速为流量系数液面距孔高度3设在微小的时间间隔水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:两边同除得:4设在微小的时间间隔通过小孔流出的水量为另一方面水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:5即为未知函数的微分方程.分离变量所求规律为解例

某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分后,车间内的浓度是多少?设鼓风机开动后时刻的浓度为在内,的通入量的排出量的改变量为的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的百分比降低到基本概念一阶方程

类型1.可分离变量2.齐次方程3.线性方程4.伯努利方程可降阶方程线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4二阶常系数线性方程解的结构特征方程的根及其对应项f(x)的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特征方程法一、主要内容作变换1.基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解.特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解.初始条件用来确定任意常数的条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题.(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法2.一阶微分方程的解法(2)齐次方程解法作变量代换(3)一阶线性微分方程上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.齐次方程的通解为（使用分离变量法)解法非齐次微分方程的通解为（常数变易法)(4)伯努利(Bernoulli)方程方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.解法

需经过变量代换化为线性微分方程.常见的凑微分表达式3.可降阶的高阶微分方程的解法解法特点

型接连积分n次，得通解.

型解法代入原方程,得特点

型解法代入原方程,得４、线性微分方程解的结构（1)二阶齐次方程解的结构:（2)二阶非齐次线性方程的解的结构:５、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.特征方程为特征方程为特征方程的根通解中的对应项推广：

阶常系数齐次线性方程解法６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法

待定系数法.二、典型例题例1解原方程可化为代入原方程得分离变量两边积分所求通解为27练习

求下列方程的类型故为分离变量方程.一阶线性微分方程.化为(贝努里方程)28方法1

这是一个齐次方程

.方法2

化为微分形式例解(1)(2)31解方法1

这是一个齐次方程

.方法2

凑微分得32例设F(x)＝f(x)g(x),其中函数

f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表达式.解(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程33(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是34求答案分析例例解原式可化为原式变为对应齐方通解为一阶线性非齐方程伯努利方程代入非齐方程得原方程的通解为利用常数变易法例5解代入方程,得故方程的通解为例6解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为由解得所以原方程满足初始条件的特解