河北省沧州市部分高中2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷（含解析）

河北沧州部分高中2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（

）A． B． C． D．3．已知，，若，则实数（

）A．1 B．2 C．3 D．44．已知椭圆的离心率为，则椭圆的一个焦点的坐标可以为（

）A． B． C． D．5．已知函数图象的一个对称中心为，则（

）A． B． C． D．6．已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（

）A． B．C． D．7．如图所示，六面体由上、下两个三棱锥组合而成，其中，，，若二面角和二面角的平面角的大小分别为和，上、下两个三棱锥的内切球半径分别为，，六面体的内切球半径为，则（

）

A．1 B． C． D．8．若，不等式恒成立，则的最大值为（）A．1 B．2 C． D．二、多选题9．第十五届全国运动会于年月日至日举行，截至月日，金牌榜总数前名的金牌数量依次为，，，，，，，，，，则（

）A．该组数据的众数为B．该组数据的中位数为C．该组数据的极差为D．该组数据的分位数为10．已知双曲线与圆有且仅有两个公共点，若为双曲线上一动点，的中点为，直线的斜率为（其中为坐标原点），则（

）A． B．点在以为直径的圆的外部C． D．11．已知，，则（

）A． B．C． D．三、填空题12．已知复数，若复数满足，则______.13．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______.14．已知一个数阵排列如下：记第行第个数为，其排列规律为：第行的数列是在第行的每两个相邻的数之间插入这两个数的乘积构成的新数列.设第行有个数，，则______，______.四、解答题15．已知的内角所对的边分别为，.(1)若，，求；(2)若，求的最小值.16．已知点在抛物线上，焦点为，，经过点的直线交抛物线于，两点.(1)求抛物线的方程；(2)若，求直线的方程.17．如图，在正四棱锥中，是棱的中点，过的平面与棱，分别交于点，（包括端点），，交于点，，.(1)若平面，求；(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值；(3)求四棱锥的体积的最小值.18．已知函数只有一个极小值点，无极大值点.(1)求实数的取值范围.(2)记（为常数），求证：函数在上单调递减.(3)有互不相等的实数，，，，且，证明：.19．在概率论和统计学中，对于一个离散型随机变量，方差，期望运算为（，为常数）.对于任意的两个离散型随机变量，，可推广得协方差为，期望运算为.假设有两个独立的粒子探测器甲和乙，各自进行一系列实验检测粒子.记甲、乙各自进行次实验后检测到粒子的次数分别为，，且，.(1)当时，求.(2)求证：.(3)求满足的的值.参考答案1．D【详解】，则，得.，则，得所以.2．D【详解】由题意：，化简可得：，所以，解得：.3．A【详解】因为，，则，，若，则，解得.4．C【详解】因为椭圆离心率范围为，可得，即，当，椭圆焦点在轴上时，由可得，则，所以离心率，解得，此时，所以椭圆两个焦点为.5．D【详解】因为，所以，所以函数的图象是由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到的，又因为函数的对称中心为，由题意可得，令，得，将代入得，，从而得，所以.6．B【详解】因为是定义在区间上的偶函数，补充函数的图象如下图所示：对于不等式，若，则，可得或或，解得或或，此时；若，则，可得，解得，此时.显然满足不等式.综上所述，不等式的解集为.7．D【详解】设.如下图在三棱锥中，取中点为，连接，由题设可得，从而由二面角平面角定义可得.由所设数据，可得.由余弦定理可得：，得.在三棱锥中，类似可得：，得.在三棱锥中，设在底面的投影点为，则为三棱锥的高，又.则，，注意到.对于三棱锥，类似可得，.则，则.

8．B【详解】由，得，此时.原不等式变形得令，求导得令，解得.，，单调递增；，，单调递减.不等式恒成立，则设，令，，单调递减；，单调递增，所以，即，当且仅当时等号成立，则两边同乘：因为，两边除以，得当，等号成立，的最大值为29．AC【详解】将这个数据从小到大排列为，，，，，，，，，，对于A，观察这组数据，其中出现了次，其余数字均只出现次，因此，众数为，故A正确；对于B，这组数据共有个，中间两个数是第个和第个数，分别是和，因此中位数为，故B错误；对于C，这组数据中最大值为，最小值为，因此极差为，故C正确；对于D，由于不是整数，因此该组数据的分位数是第个数，即，故D错误.10．ACD【详解】对于选项A：由双曲线方程得，代入圆方程：，展开整理得关于的一元二次方程：，因为两曲线均关于轴对称，若有且仅有两个公共点，则这两个公共点必关于轴对称，即它们对应同一个纵坐标，所以方程在实数范围内有两个相等的实数根，即.化简：因，故，所以A正确；对于选项B：因为，所以双曲线方程为，圆心，设在双曲线上，则，线段的中点，为直径的圆方程为：，将点代入该圆方程左侧并减去右侧，判断位置关系：由得，代入上式：.所以点相对于该圆的位置满足“在圆上或圆外”，当时点恰在圆上，所以B错误；对于选项C：，代入，得，因为，所以，所以C正确；对于选项D：直线的斜率，所以，代入双曲线得：因为存在实数使点在双曲线上，所以该二次方程有实数解，所以，解得，所以D正确．11．BC【详解】对于A，取，则，即此时，故A错误；对于B，，因，则，则；令，则在上单调递增，则当时，.则，又，则，从而有，故B正确；对于C，，由B分析可得，则，又，则，故C正确；对于D，由，则，又，，从而.则，从而，故D错误.12．【详解】因为，所以，所以，所以.13．【详解】令，则，因为在上单调递增，又函数在上单调递增，所以在上单调递增，且对恒成立，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是.14．【详解】由题意可得，所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以；因为，所以，根据插入的各项为，所以，又，所以，所以，两边取对数，所以，所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以.15．(1)3(2)【详解】（1）因为，所以，因为，所以.因为，所以，又，所以.（2）因为，所以，因为，所以.因为，当且仅当时取等号，所以，所以的最小值为.16．(1)(2)或【详解】（1）由抛物线方程可知：焦点，准线，由题意可知：，解得，所以抛物线的方程为.（2）因为点在抛物线内部，则直线的斜率不为0，且直线与抛物线必相交，设直线，，，联立方程，消去y可得，则，，可得，则，解得，所以直线的方程为或.17．(1)2(2)(3)【详解】（1）设，如图.因为，所以，，因为平面，平面，所以平面，平面，因为平面平面，所以，所以点也是与的交点，即点是的重心，所以.因为平面，平面平面，所以，所以.（2）分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为，，所以，，，.因为，.设平面的法向量为，则，令，则，，所以，又平面的一个法向量为，所以，即平面与平面的夹角的余弦值为.（3）四棱锥的体积.由（1）知，恒过点，点为的重心.设，，因为，，，三点共线，所以，即，由基本不等式可得，所以，当且仅当时取等号.因为，所以，所以，所以四棱锥的体积的最小值为.18．(1)(2)由（1）知，因为，记，所以，所以为增函数，当时，，所以在上单调递减．(3)构造函数，由（2）知在上单调递减，，．因为，所以，因为为偶函数，所以，，又在上单调递增，，所以，即．【详解】（1）由题易知，记．由于只有一个极小值点，无极大值点，所以有唯一解，且在该解处的符号由负变正．设曲线与直线的切点为，则，解得．当时，无解，函数无极值点；当时，有唯一解，但，所以无极值点；当时，有两解，不满足题意．当时，