河北省衡水中学2025-2026学年高二（下）月考数学试卷（二）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河北省衡水中学高二（下）月考数学试卷（二）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.2026×2025×2024可表示为（）A. B. C. D.2.将a、b、c、d、e这5个字母排成一排，若c与e必须相邻，则不同的排法种数（）A.24 B.48 C.96 D.1203.{an}是等比数列，且a2+a3=2，a3+a4=4，则a6+a7=（）A.12 B.24 C.30 D.324.若（a6≠0），则（）A.n=6 B.a3=10

C.a1+a2+…+a6=1 D.a1+2a2+3a3+…+6a6=25.设随机变量X的分布列，则P（X≥3）=（）A. B. C. D.6.设事件A、B为两个随机事件，已知，且，则P（AB）的值为（）A. B. C. D.7.已知函数f（x）=（x2-a）e2x在区间[-1，2]上单调递增，则a的取值范围为（）A.（-∞，0] B. C.（-∞，6] D.8.已知a∈R，b＞0，若，（lnx-a）sinbx≤0恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列式子求导正确的是（）A. B.（sin2026）′=cos2026

C.（2x）′=x2x-1 D.10.在等差数列{an}中，a2=-8，a3=-4.现从数列{an}的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为X.则下列结论正确的是（）A.X服从二项分布 B.X服从超几何分布 C. D.11.已知随机变量X服从正态分布，，P（1＜X＜3）=n,则以下选项正确的是（）A. B.若Y=3X+1，则E（Y）=7

C.若Y=2X+1，则 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.将9个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空的方法数为

.13.在数列的每相邻两项之间插入这两项中后一项的3倍与前一项之差，组成一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”.先将数列1，2进行拓展，第一次拓展得到1，5，2；第二次拓展得到数列1，14，5，1，2；第n次拓展得到数列1，x1，x2，……，xt，2.则第6次拓展得到的数列的项数为

.14.一组随机变量的和的期望与这组随机变量各自期望的和相等.即.利用以上定理求解下列问题：将n个不同的小球放入n个不同的盒子，设每个球落入各个盒子的可能性是相同的，则空盒子个数的数学期望是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数.

（1）求函数f（x）在（0，1）处的切线方程；

（2）求函数f（x）在区间[-2，1]的最大值和最小值.16.(本小题15分)

已知（1+2x）n的展开式中各项的二项式系数和为an，第二项的系数为bn．

（1）求an，bn；

（2）求数列{anbn}的前n项和Sn．17.(本小题15分)

如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=BC=PC，D为AC的中点，CE⊥PD，垂足为E，F是线段BD上的点.

（1）证明：平面CEF⊥平面PBD；

（2）求平面CEF与平面PBC夹角的余弦值的最大值.18.(本小题17分)

盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求.商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3：2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货.

（1）求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率；

（2）小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期望和方差；

（3）现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是'常规款'还是'隐藏款'时为止，记取出盲盒的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望.19.(本小题17分)

某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为θ（0＜θ＜1）.由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的概率为α（0＜α＜1），当单件产品为不合格品时，被其误判为合格的概率为β（0＜β＜1），且α＞β.现从该批产品中随机抽取n件，并用该质检设备进行检测，设每件产品的检测结果相互独立，检测结果为合格的件数为X.

（1）求单件产品的检测结果为合格的概率p；

（2）若n,k（0≤k≤n,k∈N）为定值，求P（X=k）取最大值时θ的值；

（3）当n足够大时，（2）中的近似服从N（μ，σ2）.设α=0.9，β=0.2，当时，求证：.

说明：若ξ～N（μ，σ2），则，其中φ（x）为N（0，1）的正态密度函数.参考数据：φ（1.96）≈0.975.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】AD

10.【答案】BD

11.【答案】ABD

12.【答案】56

13.【答案】65

14.【答案】

15.【答案】y=-2x+1

；-1

16.【答案】解：（1）（1+2x）n的展开式中各项的二项式系数和为an，第二项的系数为bn．

可得an=2n，bn=2=2n；

（2）anbn=n•2n+1，

则前n项和Sn=1•22+2•23+…+n•2n+1，

2Sn=1•23+2•24+…+n•2n+2，

两式相减可得，-Sn=22+23+…+2n+1-n•2n+2，

=-n•2n+2，

化简可得Sn=（n-1）•2n+2+4．

17.【答案】证明：因为PC⊥底面ABC，BD⊂底面ABC，所以PC⊥BD，

又AB=BC，D是AC中点，故BD⊥AC，

由于PC∩AC=C，PC，AC⊂平面PAC，因此BD⊥平面PAC，

因为CE⊂平面PAC，所以BD⊥CE，

又因为CE⊥PD，PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，

所以CE⊥平面PBD，

又因为CE⊂平面CEF，

所以平面CEF⊥平面PBD

18.【答案】

，

Y的分布列为Y2345PE（Y）=

19.【答案】解：（1）设“单件产品实际为合格品”为事件A，记“单件产品检测为合格品”为事件D，

则由全概率公式知，

=θα+（1-θ）β=β+（α-β）θ，

即单件产品的检测结果为合格的概率为p=β+（α-β）θ．

（2）因为每件产品的检测结果相互独立，

所以n件产品中检测结果为合格的件数X服从二项分布B（n,p）．

当X=k时，．

令，其中p=β+（α-β）θ，

则

=

=，

令f′（θ）=0，得，且n（α-β）＞0，

所以当θ∈时，f′（θ）＞0，

所以f（θ）在上单调递增，

当θ∈时，f′（θ）＜0，所以f（θ）在上单调递减，

所以当时，f（θ）取得最大值．因此．