河北省琢名小渔名校联考2026届高三上学期开学调研检测数学试卷（含解析）

河北省邢台市琢名小渔名校联考2025-2026学年高三上学期开学调研检测数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则()A. B.C. D.2．在复平面内，对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3．已知向量，，则()A.12 B.-14 C.17 D.-164．定义在R上的函数的周期为4，且满足，则()A.0 B.2 C.4 D.85．已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴交于点K，点P为抛物线C上一点，若，则的面积为()A. B. C. D.6．已知数列的首项，且满足，则()A.2037 B.2047 C.1014 D.10217．已知，则的值为()A. B. C. D.8．已知关于x的方程有三个不相同的实根，则实数a的取值范围为(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．若双曲线C的方程为，则()A.C的焦距为B.C的渐近线方程为C.C的离心率为D.C的虚轴长为210．由组成没有重复数字的五位数,则所有组成的五位数中(

)A.奇数有60个B.能被5整除的有24个C.1在万位而2不在个位的有18个D.比12345大的有108个11．已知函数，，则()A.与均为偶函数B.与的最小正周期均为C.与在区间上均单调递增D.与的图像均关于直线对称三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．与圆关于直线对称的圆的标准方程为_________.13．一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近，现用模型拟合数据组，其中，设，变换后的线性回归方程为，则__________________，_________.14．已知一圆锥的底面直径和母线长相等.在其内部放入半径分别为2，1，1的三个小球，若三个小球两两相切，且三个小球均与圆锥的底面和侧面相切，则圆锥的母线长为_________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下列联表：性别出生时间合计晚上白天男婴302050女婴252550合计5545100(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为“婴儿出生的时间与性别有关联”？(2)从样本中"晚上出生的婴儿中按性别采用比例分配的分层抽样方法抽取11个婴儿，再从这11婴儿中随机抽取3人测其体重，则三个婴儿中恰有两个女婴的概率.附：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.82816．（15分）已知在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.(1)求角C的大小；(2)若的外接圆半径为1，求面积的最大值.17．（15分）在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面平面，.(1)证明：三棱柱为正三棱柱；(2)若点E为棱的中点，且平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离.18．（17分）已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2.(1)求椭圆E的方程；(2)过坐标原点O的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B.(i)当直线l的斜率为1时，求的周长；(ii)若直线，分别与椭圆交于点M，N，证明：直线过定点.19．（17分）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若，(i)若，在上恒成立，求实数k的取值范围；(ii)若，，使成立，求实数a的取值范围.参考答案1．答案：C解析：集合，因为，所以.故选：C2．答案：D解析：因为，所以其在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D3．答案：C解析：因为，，所以，所以，故选：C4．答案：C解析：对于，令，得，又定义在R上的函数的周期为4，所以，所以，所以.故选：C5．答案：C解析：对于抛物线，其焦点F的坐标为，准线方程为，准线与x轴的交点K的坐标为，则，设点P的坐标为，由抛物线的定义可知，已知，则，解得.因为点P为抛物线C上一点，将代入抛物线方程可得，解得.在中，，点P到x轴的距离即为中边上的高，即高，因此的面积.故选：C.6．答案：A解析：由可得，即，又，可得，所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列，即，所以，所以.故选：A.7．答案：C解析：由二倍角公式，，由二倍角公式，，将代入得.故选：C.8．答案：A解析：，因为，所以,令，当时，，所以在上单调递增，当时，，当时，，令，即，解得，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；所以在处取到极大值，，且，方程有三个不相同的实根，即函数与函数有3个不同的交点，由图可知，.所以实数a的取值范围为.故选：A.9．答案：AD解析：因为双曲线C的方程为，所以，，所以，所以C的焦距为，所以A正确；C的渐近线方程为，所以B错误；C的离心率为，所以C错误；C的虚轴长为，所以D正确.故选：AD.10．答案：BC解析：末位为奇数有种选择,再将其他数字进行排列,故奇数有个,故A错误；能被5整除,则末位为,共个,故B正确；数字的位置有种选择,则1在万位而2不在个位的有个,故C正确；由组成没有重复数字的五位数共个,其中最小的五位数是,故比12345大的有119个,故D错误.故选：BC.11．答案：ACD解析：对于A,与的定义域均为R,且，故与均为偶函数，A正确，对于B,，故是的一个周期，因此的最小正周期不是，故B错误，对于C，当，时，，则，故，此时与在区间上均单调递增，当，时，，则，故，此时与在区间上均单调递增，综上可知与在区间上均单调递增，C正确，对于D,，，故与的图像均关于直线对称，D正确，故选：ACD12．答案：解析：由题意得，圆，化简得，所以圆心坐标为，半径，设圆心关于直线的对称点的坐标为得，解得，则所求圆的圆心坐标为，半径也为1，所以所求圆的标准方程为.故答案为：13．答案：；解析：由，两边同时取对数，可得，因为变换后的线性回归方程为，可得，即，，所以，又因为，且，所以，因为，可得，所以.故答案为：；.14．答案：解析：如图，圆锥的母线长与底面直径相等，设底面半径为R.,则,因为,所以.当一个小球与圆锥的底面和侧面相切时，根据圆锥和球的对称性，其轴截面如图所示，记为,则平面.记与底面和侧面都相切的小球的球心在底面和侧面的投影分别为B，C,则两点,且，又,所以,所以,.记另一个半径为1的小球的球心为，在底面和侧面的投影分别为D，F,记半径为2的小球的球心为，在底面和侧面的投影分别为H，I.同理可得，.因为，所以.记线段的中点为G,则,所以所以.因为所以，所以,所以解得：.所以圆锥的母线长为.故答案为：.15．答案：(1)婴儿出生的时间与性别无关.(2)解析：(1)零假设：婴儿出生的时间与性别无关.根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据推断不成立，即婴儿出生的时间与性别无关.(2)根据分层抽样的性质可知：晚上出生的婴儿中男生与女生的比例为.因此选出11人中，男婴儿人数为人，女婴儿人数为人，16．答案：(1)(2)解析：(1)根据正弦定理，所以，，所以，又因为，，代入化简得①，根据两角和的正弦公式，又，则，代入①化简得：，因为角，所以角.(2)已知的外接圆半径为1，由正弦定理，可得，由余弦定理可知，代入c，的值可得.由基本不等式，当且仅当时取等号，则，当且仅当时取最大值3.由三角形面积公式可得，因为，当且仅当时，面积最大，所以.17．答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)作于D，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，平面，所以平面，即侧棱垂直于底面，因为底面是正三角形，所以三棱柱为正三棱柱.(2)以E为坐标原点，，所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，如图，设，则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则；设平面的一个法向量为，则，令，则；因为平面与平面夹角的余弦值为，所以，解得，即.，设点到平面的距离为d，则.18．答案：(1)(2)(i)(ii)解析：(1)依题意可得，则，因为焦点，则，所以椭圆方程为.(2)(i)当直线l的斜率为1时，则直线方程为，与椭圆方程联立，解得，不妨设点，，则，设椭圆的左焦点为，由椭圆的性质可得，所以的周长为，又，所以的周长为，所以当直线l的斜率为1时，求的周长为.(ii)依题意可设直线，与椭圆方程联立可得，整理可得，设，则，设直线，与椭圆方程联立可得，整理可得，设，则，又，所以，同理可得，由题意A与B关于原点对称，所以，即，整理可得，即，，将，代入上式可得，又m不恒为0，故，所以直线恒过点.19．答案：(1)函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为，(2)(i)(ii).解析：(1)因为，所以.当时，与的变化情况如表所示：x0+0-0+0-单调递增单调递减1单调递增单调递减所以当时，函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为，；(2)(i)当时，，当时，原不等式化为：恒成立，可知；当时，则，令，则令，则当时，，则所以在上单调递减，所以，即，所