福建莆田第十五中学2025-2026学年高二下学期5月期中质量检测数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建莆田第十五中学2025-2026学年高二下学期5月期中质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，在平行六面体中，，，则（）A. B.C. D.【答案】A2.一袋中有外观完全相同，标号分别为1，2，3，4，5的五个球，现在分两次从中有放回地任取一个球，设事件“第一次取得5号球”，事件“第二次取得5号球”，则（）A. B. C. D.【答案】B3.已知向量，若，则（）A.-10 B.-4 C.4 D.10【答案】B4.函数的单调减区间是（）A. B. C. D.【答案】A5.已知函数，则（）A. B.1 C. D.【答案】D6.以，分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若，，，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（）A.0.03 B.0.04 C.0.06 D.0.05【答案】D7.已知函数的图象在点处的切线方程为，则（）A.1 B. C.0 D.2【答案】A8.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正四棱柱中，为底面的中心，则（）A. B.C.平面 D.平面【答案】AC10.设是一个随机试验中的两个事件，且，则（）A. B.C. D.【答案】ACD11.设函数，则（）A.函数在区间上单调递减B.函数是奇函数C.直线与曲线有3个公共点D.斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设为两个随机事件，已知，则__________.【答案】##13.已知空间向量，，则______.【答案】14.已知函数，若对于任意，都有，则实数取值范围是______.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，每次从箱中取1个，不放回的取两次，求：（1）第一次取到正品的概率；（2）在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率.解：（1）设“第一次取到正品”“第二次取到正品”，所以，第一次取到正品的概率为；（2），所以，故在第一次取到正品的条件下第二次取到正品的概率为.16.如图，在长方体中，.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．（1）证明：在长方体中，，得，而，得，则四边形为平行四边形，得，由平面，平面，得平面，同理可得四边形为平行四边形，得，由平面，平面，得平面，由平面，所以平面平面.（2）解：建立空间直角坐标系，如图所示：则，得，设平面的法向量为，得，取，则点到平面的距离为：．17.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值.解：（1）函数的定义域为，导函数，所以,故切线方程为；（2）由（1），令，可得或，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；所以函数的单调递增区间有，，单调递减区间有，所以当时，函数取极大值，极大值为，当时，函数取极小值，极小值为.18.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD.（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q-BP-C的余弦值.（Ⅰ）证明：依题意有，，，则，，，所以，，即⊥，⊥.且,故⊥平面.又平面，所以平面⊥平面.（2）解：依题意有，=，=.设是平面的法向量，则即因此可取设是平面的法向量，则可取所以,且由图形可知二面角为钝角故二面角的余弦值为19.函数在x=1处取得极值-3-c，其中a､b､c为常数.（1）讨论函数的单调区间；（2）若对任意，不等式恒成立，求c的取值范围.解：（1）因为，所以，由题意知，因此，从而．又由题意知，因此，解得；所以．令