甘肃陇南市宕昌县第一中学、第二中学、两当县第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃陇南市宕昌县第一中学、第二中学、两当县第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.1.某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B2.已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（）A. B.C. D.【答案】D3.已知函数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A5.已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（）A.0 B.1 C.0或 D.0或1【答案】D6.林老师希望从中选2个不同的字母，从中选3个不同的数字编拟车牌号鄂J×××××的后五位，要求数字互不相邻，那么满足要求的车牌号有（）A.576个 B.288个C.144个 D.72个【答案】C7.已知定义在上的函数的导函数为，且的图象如图所示，则在上的极值点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B8.已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（）A. B.展开式的二项式系数和为C.展开式的各项系数和为 D.【答案】AD10.若点是函数f（x）的图象上任意两点，且函数f（x）在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（）A.x1＜0 B.0＜x1＜1C.最小值为e D.x1x2最大值为e【答案】CD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数有三个零点B.C.曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则D.若方程有三个不同的实数根，，，则【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为______________．（用数字作答）【答案】13.考古时在埃及金字塔内发现“142857”这组神秘的数字，其神秘性表现在具有这样的特征：，，，．且．这类数因其“循环”的特征，常称为走马灯数．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数构成一个三位数，则满足是剩下的3个数字构成的一个三位数的的个数为____________.【答案】4814.已知函数，若，则函数的零点个数是___________．【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】解：（1）由，得，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）设切点为，由（1）得，所以切线方程为，因为切线经过原点，所以，所以，．则，所以所求的切线方程为，切点为．16.已知函数，．（1）令，讨论在的单调性；（2）证明：，.【答案】解：（1），，则，①当时，恒成立，所以在上单调递减；②当时，令，则，解得.若，即时，，则，所以在上单调递增；若，即时，当时，，单调递减；当时，，单调递增；③当时，在上恒成立，即在上恒成立，所以在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）令，则，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时，取极小值，所以，即，所以，当且仅当，等号成立.令，则，所以，则.所以.综上，，.17.解决下列问题（1）包含甲、乙、丙、丁四人在内的七个人站成一排，求甲、乙相邻，丙、丁不相邻的情况总数；（结果用数字作答且书写出步骤）（2）一支医疗小队由名医生和名护士组成，现将他们平均分配到三家不同的医院工作，每家医院分到名医生和名护士，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，求不同的分配方法种数；（结果用数字作答且书写出步骤）（3）请你构造一个实际背景，对等式作出解释.（请注意不要使用生活中的真人名，以及用语规范）【答案】解：（1）分三步完成：第一步：将甲、乙捆绑成一个整体有种不同结果，第二步：再把剩下的三人和甲、乙整体进行排列有种不同结果，第三步：最后将丙、丁两人插空进入刚才的队伍，有种不同结果，根据分步乘法计数原理，因此一共有种.（2）先将三名医生分配到三家医院有种，再分配护士：先分甲乙两人组有种，再分其余4人有种，护士共有种不同分配方法，因此一共有种.（3）用六个数字排成一个六位数.先个数全排列，有种排法，再去掉占最高位的方法数，即.也可以分步先排的位置，除了最高位，剩下的个位置选一个去占，有种，剩下的个数，个位置随便安排有种，根据分步计数原理，一共有种同一个问题，结果一样，因此.18.根据下列条件求值：（1）已知，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值.【答案】解：（1）令，即，得.（2）因为的展开式的通项为，，，，，，所以，，，，，，则为偶数时，，为奇数时，，.令，得.（3）令，得；①令，得.②（①+②），得；（①-②），得.所以.19.已知函数（）.（1）讨论函数的单调性；（2）已知，函数，对任意，存在，使，求实数的取值范围；（3）已知，函数有两个不同的零点，，且有唯一的极值点，记，，，判断是否可能为等腰三角形，并说明理由.【答案】解：（1）函数的定义域为，，，当时，，在上单调递减；当时，令，则，令，则；令，则；在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2），，，当时，即，.由（1）知，当时，，在上单调递增，在上单调递减.对任意，.对任意，存在，使，则.，，，.即实数的取值范围为.（3）不可能为等腰三角形，理由如下：由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，有唯一的极大值点，不妨设，，，，过点作轴于点，则.①比较与的大小，等价于比较与的大小，等价于比较与