甘肃省酒泉市2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省酒泉市2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由已知解得集合，.选项A，由于，不是空集，所以A错误；选项B，由于，即，所以B错误；选项C，由于，即，所以C正确；选项D，由于，不等于，所以D错误.故选：C.2.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得，解得，则不等式的解集为.故选：B.3.下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】选项A：要使，则需要，而，所以为假命题；选项B：所有，可找反例，取特殊值，代入得，此时不成立，所以为假命题；选项C：存在，符合即可，取，代入得成立，所以为真命题；选项D：所有，可找反例，取特殊值，代入得，，此时不成立，所以为假命题；故选：C.4.已知是第四象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知是第四象限角，，则，，.故选：D.5.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，而函数在上单调递增，，因此，所以.故选：A.6.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为指数函数在R上单调递增，一次函数在R上单调递增，所以函数在R上单调递增.；；；因为函数在R上单调递增，且，所以函数的零点所在区间为.故选：B.7.下列函数值：①；②；③；④，其结果为负值的是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】C【解析】对于①：，对于②：，对于③：，因为，所以，即，对于④：因为，所以.故选：C.8.已知，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，即，所以，又，，则，当且仅当，时，等号成立.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数为幂函数，则实数的可能性取值为（）A.1 B.-2 C.3 D.-4【答案】AD【解析】由题意得，解得或，当时，，当时，，均满足要求.故选：AD.10.下列函数中，在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】对于A，因为在上单调递增，所以在区间上单调递增，故A正确，对于B，因为在区间上单调递增，所以B正确，对于C，因为在区间上单调递减，所以C错误，对于D，因为在区间上单调递增，所以D正确，故选：ABD.11.下列说法正确的是（）A.函数与的图象关于原点对称B.若函数是奇函数，则C.函数的图象关于点对称D.函数是偶函数，且在上单调递增【答案】ACD【解析】对于A：设为图象上的一点，其关于原点对称的点为，且，对于，当时，，所以点在函数图象上，所以两个函数的图象关于原点对称，故A正确；对于B：若为奇函数，其定义域可能不包含0，比如奇函数，不成立，故B错误；对于C：函数图象向右平移1个长度单位，向上平移1个长度单位，可得的图象，而函数图象关于原点对称，所以图象关于对称，故C正确；对于D：设，定义域关于原点对称，则，所以，即为偶函数；当时，，在上单调递增，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是_________．【答案】【解析】函数是开口向上的二次函数，其对称轴为直线：二次函数在对称轴的一侧单调，若在区间上不单调，则对称轴需落在区间内，即.故答案为：.13.如图，已知矩形截圆所得的弧的长为，，则矩形在圆外部分的面积为_________．【答案】【解析】设圆的半径为，由题有，解得，又，所以，又点在圆上，，则所以矩形的面积为，又扇形的面积为，所以矩形在圆外部分的面积为，故答案为：.14.已知函数若方程有四个不等实数解，则a的取值范围是_________．【答案】【解析】作出函数图象：因为，，所以在处是连续的，根据方程有四个不等实数解，则直线与函数的图象有四个交点，即a的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知，求的值；（2）计算：．解：（1）由，得，又由，得，即.由，得为第一或第三象限角，当为第一象限角时，，故，；当为第三象限角时，，故，；（2）利用诱导公式得：.16.（1）计算：；（2）化简：；（3）已知，求m的值．解：（1）；（2）由得；（3）因为，所以，所以，又，所以．17.已知函数，其中，（1）求的定义域；（2）若，求a的值；（3）讨论的单调区间．解：（1）由条件，要使函数有意义，须有：，解得：，故的定义域为；（2）由得，即，得，满足，故若，；（3）由条件得：,由（1）知，令，，该函数的图象是开口向下，对称轴为的抛物线，故的单调递增区间为，单调递减区间为，又，可得在定义域上是单调递增的，根据复合函数单调性的关系，可得的单调递增区间为，单调递减区间为.18.已知函数为奇函数．（1）求实数的值；（2）求证：在上单调递增；（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得.此时，则，满足题意.故实数的值为.（2）由（1）可得，任取，且，则，因为，且指数函数在定义域上单调递增，所以，即，又因为，所以.因此，即.故根据函数单调性的定义，函数在上单调递增.（3）由（2）可得在定义域上单调递增，要使对任意恒成立，只需，而当时，，所以，故实数的取值范围为.19.某科技公司设立了两个研发实验室，分别探索不同技术路线来提升人工智能芯片的性能．两个实验室的研发起点相同（月时，芯片基础性能得分均为0），记录了研发时间t（月）与芯片性能得分P（得分越高，性能越好）的关系如下：实验室A（技术路线甲）：早期数据增长迅猛，如下表所示：t（月）1234P（得分）3122748实验室B（技术路线乙）：增长平稳，符合对数函数特点，已知其性能增长模型为，，且当时，；当时，．（1）根据实验室A的数据，判断性能得分P与时间t更符合哪一种函数模型：指数函数还是幂函数?说明理由，并写出函数解析式；（2）根据实验室B的数据，求出常数a，b的值，并写出P关于t的函数解析式；（3）若两个实验室均研发至第6个月．（i）用实验室A的模型预测性能得分；（ⅱ）用实验室B的模型预测性能得分；（ⅲ）从从技术发展的长期可持续性角度，哪一种技术路线能获得更高的性能得分？请结合函数增长特性说明理由．（，）解：（1）由时，，若，则，此时，不满足题意，故，又当时，，所以，当时，，所以，此时，当时，，当时，，满足题意，故；（2）由于用实验室的数据来求参数，所以当时，，代入得：，当时，，代入得：，两式相减得：，代入可得：，所以；（3）（i）实验室研发至第6个月，用实验室A的模型预测性能得分：则，所以用实验室A的