广东省东莞市2026届高三下学期模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省东莞市2026届高三下学期模拟考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，则，解得，集合，已知，．2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由题意，，所以，复数对应的点为，即为第三象限的点.故选：C.3.样本数据2，3，5，8，9，10的25%分位数为（）A.1.5 B.2 C.2.5 D.3【答案】D【解析】由题意得样本数据2，3，5，8，9，10，则，，又不是整数，故取数据的第2个数据为.故样本数据的25%分位数为.4.设且,，下列各项中，能推出的一项是（）A.且 B.或C.且 D.或【答案】A【解析】若，函数单调递增，，可得，所以且时，,A正确；对于B，若，，所以B错误；对于C，若，，所以C错误；对于D，若时,函数单调递减，所以,所以D错误.5.已知与互相垂直，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，因为与垂直，所以，即，所以，所以与的夹角为.6.已知函数在上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由在上单调递减，而在上单调递增，所以在上单调递减，想要函数在上单调递减，即要在上单调递减，且，即，解得，所以的取值范围是．故选：D.7.已知M为圆P:上的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点N，则N点的轨迹为（）A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆【答案】A【解析】圆的标准方程为，则圆心，半径，在线段的垂直平分线上，，在线段上，且是圆的半径，，定点间的距离为，，满足椭圆的定义，N点的轨迹为椭圆．8.已知函数满足，若函数与图象的所有交点为，则（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，则关于对称，而设，而，则关于对称，可得两个函数的交点也关于对称，得到，即，故B正确.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9.设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于y轴的直线交双曲线C于A，B两点，若则下列关于双曲线C的说法正确的是（）A.顶点坐标为 B.虚半轴长为4C.离心率为2 D.渐近线方程为【答案】ACD【解析】A选项，由题意得，又，由双曲线定义可知，故，顶点坐标为，A正确；B选项，中，令得，故，又，解得，，故虚轴长为，B错误；C选项，，所以，离心率为，C正确；D选项，渐近线方程为，D正确.10.如图，在正方体中，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则满足直线平面ABC的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】设正方体的棱长为，对于A，如图建立空间直角坐标系：则，所以，设平面的法向量为，所以，令，则，所以，所以，所以MN与平面ABC不平行，故A错误；对于B，如图连接交于点，连接，根据正方形的性质可知是的中点又是的中点，所以，又平面，平面，所以平面ABC，故B正确；对于C，如图建立空间直角坐标系：则，设平面的法向量为，所以，令，则，所以，所以，所以MN与平面ABC不平行，故C错误；对于D，如图建立空间直角坐标系：则，设平面的法向量为，所以，令，则，所以，所以，又平面，所以平面ABC，故D正确.11.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为，记“第i次投篮的人是甲”为事件，前3次中甲投篮的次数为X，则以下结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，表示在第1次投篮的人是乙的条件下，第2次投篮的人的概率为甲的概率，因为乙投篮未命中则换甲投篮，乙每次命中率均为，所以乙未命中的概率为，所以，故A正确；对于B，表示在第1次投篮的人是甲的条件下，第2次投篮的人的概率为甲的概率，因为甲每次命中率均为，所以，，故B错误；对于C，表示前3次中甲投篮的次数为1次的概率，有三种情况：第一种情况是第一次甲投篮未中，第二次乙投篮命中，其概率为；第二种情况是第一次乙投篮命中，第二次乙投篮未命中，其概率为；第三种情况是第一次乙投篮未命中，第二次甲投篮未命中，其概率为；所以，故C正确；对于D，的可能取值为，，由C选项可知，，，所以，故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.12.已知等比数列的前项和为，则_________.【答案】【解析】等比数列通项公式为，已知，代入得：，解得公比，等比数列前项和公式为，代入得：.13.设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_________.【答案】【解析】设与直线平行并与相切的直线为，则两平行线间的距离即为的最小值，因为，所以，设切点为，则，解得，此时，则切点为，代入中，可得，解得，则直线方程为，而可化为，由平行线间距离公式得平行线间距离为.14.已知集合，定义集合，则中元素的个数为________.【答案】【解析】，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个元素.四、解答题:本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.15.一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为.（1）求的概率;（2）求Y的分布列与数学期望.解：（1）若有放回抽取时，每次抽球相互独立，每次抽到红球的概率为

​，共抽3次，因此,根据二项分布概率公式：

.（2）若不放回抽取时，服从超几何分布，的所有可能取值为，概率公式为：.，，，.的分布列为：0123数学期望：.16.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知、、成等差数列.（1）若，，求的面积.（2）求证:.（1）解：由题意可得，将，代入可得，则，因为，所以，所以的面积为；（2）证明：由余弦定理及可得，由正弦定理可得，因为，所以，所以，则，所以，即，化简可得.17.如图，三棱锥的四个顶点均在半径为2的球O的球面上，，点分别为棱的中点.（1）证明:；（2）若，三棱锥的体积为时，求平面与平面所成角的余弦值.（1）证明：已知，是中点，所以，又分别为中点，故是的中位线，得，由，知，因此，因为，且平面，所以平面，又平面，故，得证；（2）解：由（1），以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，又，可得：，，，，，由，，设，，三棱锥体积，解得，即，因为平面，故平面的一个法向量为，在平面中，，设其法向量为，则令，得，即，设平面与平面所成角为，则，即平面与平面所成角余弦值是.18.已知函数（1）判断是否为周期函数，并说明理由；（2）求的最大值和最小值；（3）设证明：解：（1）是周期函数，理由如下：由三角函数周期性知：，，因此：

，即是的一个周期，故是周期函数；（2）由（1）可知求在上的最值即可.对求导得：，令，得或，在一个周期内，当时，，当时，，当时，，故在，单调递增，在单调递减，又，，，，所以的最大值为，最小值为；（3）记，由（2）知对任意实数，都有，对，令，得：

，​​将上述个不等式累加，左边整理得：，右边为，因此：，整理得：，由，，得，因此：，得证.19.对于抛物线过原点作斜率为的直线，交抛物线于另一点.作关于轴的对称点过点作的平行直线，交抛物线C于另一点.作关于轴对称点以此类推构造点记的坐标为（1）若，求点的坐标；（2）证明：数列是等差数列；（3）求的面积的最大值.（1）解：由题意如图所示：若，则直线的斜率为，抛物线方程为：，又直线过原点，所以直线的方程为：，联立，消去得：，解得：或，当时，，此时该点为坐标原点，当时，，即.（2）证明：由题意如图所示：由直线的方程为：代入中化简得：，解得：或，当时，，此时该点为坐标原点，当时，，即，由题意知直线与直线平行，所以直线的斜率为，由点关于轴对称后得