江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高一上学期开学（日新班）数学试卷（含解析）

丰城市第九中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷（日新班）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合,,则()A. B.且 C. D.2．设，都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是()A.与同向 B.C.且 D.3．已知函数,则函数的部分图象可以为(

)A. B.C. D.4．已知,则()A. B. C. D.5．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则()A. B. C. D.6．已知函数,满足对任意,都有成立,则a的取值范围是()A. B. C. D.7．若角满足,则()A. B. C. D.8．已知,,是锐角,是钝角,则()A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,.若三角形有两解,则边c的取值可以是()A.7 B.8 C.9 D.1010．下列说法正确的是()A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本,则个体m被抽到的概率是0.1;B.已知一组数据1,2,m,6,7的平均数为4,则这组数据的方差是5;C.数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23;D.若样本数据,,…,的标准差为8,则数据,,…,的标准差为16.11．出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约在公元920年给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式,这个公式等价于现在的,其中,我们称为余切函数.下列关于余切函数的说法正确的是()A.定义域为B.在区间上单调递增C.与正切函数有相同的对称中心D.将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．设为非零向量与的夹角,定义:.若,,,则________.13．已知角的终边经过点,则=________.14．如图,在中,已知,,P是线段与的交点,若,则的值为________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知.（1）求的解集;（2）若方程在上存在两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.16．（15分）函数部分图象如图所示.（1）求的最小正周期及解析式;（2）设,求函数在区间上的最大值和最小值.17．（15分）已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.（1）求角C的大小;（2）若于D,,求的面积的最小值.18．（17分）已知函数,.（1）若不等式的解集为,求不等式的解集;（2）若对于任意,不等式恒成立,求实数a的取值范围;（3）已知,当时,若对任意,总存在,使成立,求实数m的取值范围.19．（17分）已知向量,,定义新运算:.若函数,则称为向量,的点积函数.例如:向量,,则向量,的点积函数.（1）若向量,（,）,且向量,的点积函数,求的值;（2）若向量,,求向量,的点积函数的值域;（3）若向量,的点积函数为,且存在,使得成立,求k的取值范围.参考答案1．答案：D解析：由函数定义域可得:,由值域可得,故.故选:D2．答案：A解析：由于分别表示与，同向的单位向量，因此的充要条件是与同向.除A外，其它项均不为充要条件.故选：A.3．答案：A解析：因为的定义域为R,且,所以为奇函数,故BD错误；当时,令,易得,解得,故易知的图象在y轴右侧的第一个交点为,又,故C错误,A正确；故选：A.4．答案：B解析：因为,所以,故.故选:B.5．答案：B解析：解法一:函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象,再把所得曲线向右平移个单位长度,应当得到的图象,根据已知得到了函数的图象,所以,令,则,,所以,所以;解法二:由已知的函数逆向变换,第一步:向左平移个单位长度,得到的图象,第二步:图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象,即为的图象,所以.故选:B.6．答案：C解析：由对任意,都有成立可得,在R上单调递减,所以,解得,故选:C.7．答案：C解析：因为,,所以,故,两边平方,可得,又,所以,因为,所以.故选:C.8．答案：B解析：由题意知:,,又因为,当时,,而,所以,则,,,又因为,当时,,而,所以,则,所以,故选:B.9．答案：BC解析：,,由余弦定理得:,即,三角形有两解,方程有两个不相等的正根,,,解得:,结合选项可得B,C正确,故选:BC.10．答案：ACD解析：对于A,一个总体含有50个个体,某个个体被抽到的概率为,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为,故A正确;对于B,因为数据1,2,m,6,7的平均数是,所以,这组数据的方差是,故B错误;对于C,该组数据从小到大排列为12,14,15,17,19,23,27,30,又,即第70百分位数为第6个数为23,故C正确;对于D,依题意,,则,故数据,,…,的标准差为16,故D正确;故选:ACD11．答案：ACD解析：选项A,因为,所以,,所以.令,则,所以函数定义域为,故A正确.选项B,因为,,所以,因为在上单调递增,所以在上单调递减,故B错误.选项C,正切函数的对称中心为,.因为,所以余切函数的对称中心也为,,故C正确.选项D,因为,故D正确.故选:ACD.12．答案：6解析：由,,,得,而,因此,所以.故答案为:613．答案：解析：因为角的终边经过点,所以,则.故答案为:.14．答案：解析：设,由得,故,由得,故,由于B,P,E三点共线,故,则,又,故,,所以,故答案为:15．答案：（1）;（2）.解析：（1）由得,所以,,解得,所以,不等式的解集为;（2）因为,令,问题转化为直线与函数在区间上的图象有两个交点,如下图所示:由图可知,当或时,直线与函数在区间上的图象有两个交点.因此,实数m的取值范围是.16．答案：（1）;（2）最大值为1;最小值为.解析：（1）由图可得,,所以所以当时,,可得,因为,所以所以的解析式为（2）因为,所以当,即时,有最大值,最大值为1;当,即时,有最小值,最小值为..17．答案：（1）（2）解析：（1）由可得,由正弦定理可得由余弦定理可得,又,所以.（2）如下图所示:三角形面积,又,所以,由（1）中可得,当且仅当时,等号成立;即,得.所以面积,故的面积的最小值为18．答案：（1）;（2）;（3）解析：（1）由题意,1,2为方程的两个不等实数根,,所以不等式为,解得或,所以不等式解集为.（2）对恒成立,令,即对恒成立,因为函数开口向上,故只需满足,解得,所以a的取值范围为（3）当时,,开口向上,对称轴为当时,,,,时,,由题意,对任意,总存在,使成立,即函数的值域