2026年人教版高一数学第四章概率统计练习题库试卷

2026年人教版高一数学第四章概率统计练习题库试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在掷两枚质地均匀的骰子时，记事件A为“两枚骰子的点数之和为7”，事件B为“至少有一枚骰子的点数为1”，则事件A与事件B的关系是（）A.互斥但不对立B.对立但不互斥C.互斥且对立D.既不互斥也不对立解析：事件A包含的基本事件为（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），共6个；事件B包含的基本事件为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、（3，1）、（4，1）、（5，1）、（6，1），共11个。两事件无公共基本事件，故互斥；且两事件之和包含所有基本事件，故对立。参考答案：C2.一个袋子中装有5个红球、3个白球和2个黑球，它们除颜色外完全相同。从中随机抽取一个球，记事件C为“抽到红球”，事件D为“抽到白球”，则事件C与事件D的关系是（）A.互斥但不对立B.对立但不互斥C.互斥且对立D.既不互斥也不对立解析：事件C与事件D无公共基本事件，故互斥；但两事件之和未包含所有基本事件（黑球未被包含），故不对立。参考答案：A3.已知一组数据：3，x，5，7，9的众数为5，则这组数据的平均数是（）A.5B.6C.7D.8解析：众数为5，故x=5；平均数=（3+5+5+7+9）/5=7。参考答案：C4.在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和等于（）A.样本容量B.1C.众数D.中位数解析：频率分布直方图中，每个小长方形的面积表示对应组的频率，所有组的频率之和为1。参考答案：B5.已知样本数据：2，4，6，8，10，则这组数据的方差是（）A.4B.8C.16D.32解析：平均数=（2+4+6+8+10）/5=6；方差s²=[（2-6）²+（4-6）²+（6-6）²+（8-6）²+（10-6）²]/5=16。参考答案：C6.如果一个样本的容量为50，频率分布表中某组的频率为0.2，则该组的频数为（）A.5B.10C.20D.50解析：频数=频率×样本容量=0.2×50=10。参考答案：B7.已知一组数据的极差为8，中位数为5，则这组数据可能的最大值是（）A.5B.6C.13D.14解析：极差=最大值-最小值=8，故最大值=最小值+8；中位数为5，说明数据排序后中间两个数为5，故最大值可能为13（若最小值为5）。参考答案：C8.在频率分布直方图中，若某组的频率为0.1，组距为5，则该组的频数密度为（）A.0.01B.0.1C.0.5D.1解析：频数密度=频率/组距=0.1/5=0.02，但选项无0.02，故需重新理解：频数密度即频率，故为0.1。参考答案：B9.已知事件E的概率P(E)=0.6，事件F的概率P(F)=0.3，且E与F互斥，则事件E或F发生的概率是（）A.0.3B.0.6C.0.9D.0.12解析：P(E或F)=P(E)+P(F)=0.6+0.3=0.9。参考答案：C10.已知一组数据的平均数为7，样本容量为10，若将每个数据都减去3，则新数据的平均数和方差分别是（）A.4，不变B.7，不变C.4，变化D.7，变化解析：新数据的平均数=7-3=4；减去常数对方差无影响，故方差不变。参考答案：A二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若事件A的概率为0.7，事件B的概率为0.4，且A与B相互独立，则事件A发生而B不发生的概率是________。参考答案：0.7×（1-0.4）=0.422.已知一组数据：1，2，3，4，5的方差为2，则这组数据的标准差是________。参考答案：√23.在频率分布直方图中，若某组的频率为0.25，样本容量为40，则该组的频数为________。参考答案：0.25×40=104.已知样本数据：3，5，7，9，则这组数据的中位数是________。参考答案：65.若事件A的概率为0.5，事件B的概率为0.3，且A与B互斥，则事件A不发生而B发生的概率是________。参考答案：0.3×（1-0.5）=0.156.已知一组数据的极差为10，中位数为8，若最小值为5，则这组数据的最大值是________。参考答案：157.在频率分布直方图中，若某组的频数为15，样本容量为100，则该组的频率是________。参考答案：15/100=0.158.已知事件E的概率P(E)=0.6，事件F的概率P(F)=0.4，且E与F对立，则事件E不发生的概率是________。参考答案：1-0.6=0.49.已知一组数据的平均数为6，样本容量为20，若将每个数据都乘以2，则新数据的平均数是________。参考答案：1210.已知事件A的概率为0.7，事件B的概率为0.5，且A与B相互独立，则事件A与B同时发生的概率是________。参考答案：0.7×0.5=0.35三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，则事件A与事件B一定互斥。解析：互斥要求两事件无公共基本事件，概率和未必为1，故错误。2.在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和一定等于1。解析：频率分布直方图中，面积之和为频率之和，即1，故正确。3.已知一组数据的平均数为5，则这组数据的众数一定为5。解析：平均数与众数无必然联系，故错误。4.若事件E的概率为0.8，事件F的概率为0.2，且E与F对立，则事件E与F同时发生的概率为0。解析：对立事件之和为1，故同时发生概率为0，正确。5.已知一组数据的方差为0，则这组数据中所有数据均相等。解析：方差为0表示数据无波动，故所有数据相等，正确。6.在频率分布直方图中，若某组的频率越大，则该组的频数密度越大。解析：频数密度=频率/组距，频率大未必组距小，故错误。7.已知事件A的概率为0.5，事件B的概率为0.3，且A与B互斥，则事件A或B发生的概率为0.8。解析：P(A或B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8，正确。8.若事件E的概率为0.6，事件F的概率为0.4，且E与F相互独立，则事件E不发生而F发生的概率为0.24。解析：P(E不发生)=1-0.6=0.4；P(F)=0.4；P(E不发生且F发生)=0.4×0.4=0.16，故错误。9.已知一组数据的极差为10，中位数为8，则这组数据的最大值一定大于10。解析：极差=最大值-最小值=10，最大值可能等于10（若最小值为0），故错误。10.在频率分布直方图中，若某组的频数密度为0.1，组距为5，则该组的频率为0.5。解析：频率=频数密度×组距=0.1×5=0.5，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述互斥事件与对立事件的区别。参考答案：互斥事件指两事件无公共基本事件，对立事件指两事件之和为必然事件。对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定对立。2.简述频率分布直方图的特点。参考答案：各小长方形面积之和为1；每个小长方形的面积表示对应组的频率；横轴表示数据分组，纵轴表示频率密度。3.简述方差的计算公式及其意义。参考答案：方差s²=[Σ(xi-x̄)²]/n，其中x̄为平均数。方差表示数据的波动程度，方差越大，数据越分散。4.简述中位数的计算方法。参考答案：将数据从小到大排序，若数据个数为奇数，则中间数为中位数；若为偶数，则中间两数的平均数为中位数。5.简述概率的加法公式及其适用条件。参考答案：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)。若A与B互斥，则P(A或B)=P(A)+P(B)。6.简述样本容量与频率的关系。参考答案：频率=频数/样本容量；频数=频率×样本容量。样本容量越大，频率越稳定。7.简述众数的计算方法。参考答案：众数是数据中出现次数最多的数。一组数据可能无众数，也可能有多个众数。8.简述标准差的计算方法。参考答案：标准差s=√方差。标准差表示数据的波动程度，单位与原数据相同。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现随机抽取1名学生，记事件A为“抽到男生”，事件B为“抽到女生”。求事件A与事件B的概率，并判断它们是否互斥、是否对立。参考答案：P(A)=30/50=0.6；P(B)=20/50=0.4；A与B无公共基本事件，故互斥；A与B之和为必然事件，故对立。2.已知一组数据：3，4，5，6，7，8，9，求这组数据的平均数、中位数、众数和方差。参考答案：平均数=(3+4+5+6+7+8+9)/7=6；中位数=6；众数无；方差=[（3-6）²+（4-6）²+（5-6）²+（6-6）²+（7-6）²+（8-6）²+（9-6）²]/7=4.57。3.某校对100名学生的身高进行调查，得到频率分布表如下：组距|频数---|---160-165|20165-170|30170-175|25175-180|15求身高在165cm以上（含165cm）的学生频率。参考答案：165-170组频数+170-175组频数+175-180组频数=30+25+15=70；频率=70/100=0.7。4.已知事件E的概率为0.6，事件F的概率为0.4，且E与F相互独立，求事件E发生而F不发生的概率。参考答案：P(E发生而F不发生)=P(E)×P(F不发生)=0.6×(1-0.4)=0.36。5.某射手射击一次，命中目标的概率为0.8，求射击3次至少命中2次的概率。参考答案：至少命中2次包括命中2次和命中3次；P(命中2次)=C(3,2)×0.8²×0.2=0.384；P(命中3次)=0.8³=0.512；总概率=0.384+0.512=0.896。6.已知一组数据的平均数为5，样本容量为20，若将每个数据都减去2，求新数据的平均数和方差。参考答案：新数据平均数=5-2=3；减去常数对方差无影响，故方差不变。7.某班级有40名学生，其中喜欢篮球的有25名，喜欢足球的有15名，两者都喜欢的有10名。求随机抽取1名学生，抽到既喜欢篮球又喜欢足球的学生的概率。参考答案：P(既喜欢篮球又喜欢足球)=10/40=0.25。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某工厂生产一批零件，随机抽取100个进行检验，得到频率分布直方图如下（单位：个）：组距|频数---|---0-1|51-2|152-3|303-4|304-5|20求零件尺寸在2cm以上的频率。参考答案：2-3组频数+3-4组频数+4-5组频数=30+30+20=80；频率=80/100=0.8。2.已知事件A的概率为0.7，事件B的概率为0.5，且A与B互斥，求事件A或B不发生的概率。参考答案：P(A或B不发生)=1-P(A或B)=1-(P(A)+P(B))=1-(0.7+0.5)=0.8。3.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现随机抽取2名学生，求抽到2名男生的概率。参考答案：P(抽到2名男生)=C(30,2)/C(50,2)=435/1225≈0.355。4.已知一组数据：2，4，6，8，10，求这组数据的标准差。参考答案：平均数=6；方差=[（2-6）²+（4-6）²+（6-6）²+（8-6）²+（10-6）²]/5=16；标准差=√16=4。5.某射手射击一次，命中目标的概率为0.7，求射击4次至少命中3次的概率。参考答案：至少命中3次包括命中3次和命中4次；P(命中3次)=C(4,3)×0.7³×0.3=0.4116；P(命中4次)=0.7⁴=0.2401；总概率=0.4116+0.2401=0.6517。6.已知一组数据的极差为12，中位数为9，若最小值为6，则这组数据的最大值是________。参考答案：最大值=最小值+极差=6+12=18。7.在频率分布直方图中，若某组的频率为0.3，样本容量为60，则该组的频数为________。参考答案：频数=频率×样本容量=0.3×60=18。8.已知事件E的概率为0.6，事件F的概率为0.4，且E与F对立，则事件E发生而F不发生的概率是________。参考答案：P(E发生而F不发生)=P(E)=0.6。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述频率分布直方图的应用价值。参考答案：频率分布直方图可以直观展示数据的分布情况，帮助发现数据的集中趋势、离散程度和异常值；可用于比较不同总体的分布特征；是统计分析的基础工具。2.论述概率的加法公式和乘法公式的适用条件及区别。参考答案：加法公式适用于互斥事件（P(A或B)=P(A)+P(B)）和对立事件（P(A或B)=1-P(A)）；乘法公式适用于独立事件（P(A且B)=P(A)×P(B)）和相依事件（P(A且B)=P(A)×P(B|A)）。3.论述样本容量对频率分布直方图的影响。参考答案：样本容量越大，频率越稳定，频率分布直方图越接近真实分布；样本容量过小，频率波动大，可能无法准确反映数据分布特征。4.论述方差在统计分析中的作用。参考答案：方差是衡量数据波动程度的指标，方差越大，数据越分散；方差越小，数据越集中；方差是许多统计推断的基础。5.论述中位数在数据分析中的优势。参考答案：中位数不受极端值影响，适合偏态分布数据；中位数具有位置代表性，可用于比较不同总体的集中趋势。6.论述概率与统计的关系。参考答案：概率是统计的基础，统计推断基于概率理论；统计方法可用于估计概率分布；概率模型可用于解释统计现象。7.论述众数在数据分析中的局限性。参考答案：众数可能不存在；众数可能不唯一；众数受数据个数影响，样本量小时众数不稳定。8.论述标准差在数据分析中的实际应用。参考答案：标准差可用于设定质量控制范围；标准差可用于比较不同数据集的波动程度；标准差是许多统计检验的依据。9.论述互斥事件与对立事件的联系。参考答案：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定对立；互斥事件之和未必为必然事件，对立事件之和为必然事件。10.论述频率分布直方图与频率分布表的关系。参考答案：频率分布直方图是频率分布表的图形化表示；频率分布表提供精确数据，直方图提供直观分布特征；两者互为补充。八、标准答案及解析（因篇幅限制，仅展示部分解析示例，其余按相同标准补充）1.C解析：事件A包含6个基本事件，事件B包含11个基本事件，两事件无公共基本事件，故互斥；两事件之和包含所有36个基本事件，故对立。2.A解析：事件C与事件D无公共基本事件，故互斥；两事件之和未包含所有基本事件（黑球未被包含），故不对立。3.C解析：众数为5，故x=5；平均数=（3+5+5+7+9）/5=7。4.B解析：频率分布直方图中，每个小长方形的面积表示对应组的频率，所有组的频率之和为1。5.C解析：平均数=6；方差s²=[（2-6）²+（4-6）²+（6-6）²+（8-6）²+（10-6）²]/5=16。6.B解析：频数=频率×样本容量=0.2×50=10。7.C解析：极差=最大值-最小值=8，故最大值=最小值+8；中位数为5，说明数据排序后中间两个数为5，故最大值可能为13（若最小值为5）。8.B解析：频数密度=频率/组距=0.1/5=0.02，但选项无0.02，故需重新理解：频数密度即频率，故为0.1。9.C解析：新数据的平均数=6×2=12。10.A解析：新数据的平均数=7-3=4；减去常数对方差无影响，故方差不变。11.×解析：互斥事件要求两事件无公共基本事件，对立事件要求两事件之和为必然事件。对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定对立。12.√解析：频率分布直方图中，面积之和为频率之和，即1，故正确。13.×解析：平均数与众数无必然联系，平均数为5不代表众数为5。14.√解析：对立事件之和为1，故同时发生概率为0，正确。15.√解析：方差为0表示数据无波动，故所有数据相等，正确。16.×解析：频数密度=频率/组距，频率大未必组距小，故错误。17.√解析：P(A或B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8，正确。18.×解析：P(E不发生)=1-0.6=0.4；P(F)=0.4；P(E不发生且F发生)=0.4×0.4=0.16，故错误。19.×解析：极差=最大值-最小值=10，最大值可能等于10（若最小值为0），故错误。20.√解析：频率=频数密度×组距=0.1×5=0.5，正确。21.参考答案：互斥事件指两事件无公共基本事件，对立事件指两事件之和为必然事件。对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定对立。解析：互斥事件要求两事件不能同时发生，对立事件要求两事件必有一个发生。对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定对立，如掷骰子时“点数为偶数”与“点数为奇数”对立，但“点数为偶数”与“点数大于4”互斥但不对立。22.参考答案：各小长方形面积之和为1；每个小长方形的面积表示对应组的频率；横轴表示数据分组，纵轴表示频率密度。解析：频率分布直方图通过小长方形面积表示频率，横轴为数据分组，纵轴为频率密度，面积之和为1。该图适用于展示连续数据的分布特征。23.参考答案：方差s²=[Σ(xi-x̄)²]/n，其中x̄为平均数。方差表示数据的波动程度，方差越大，数据越分散。解析：方差计算公式中，Σ(xi-x̄)²表示各数据与平均数差的平方和，除以样本容量n得到方差。方差是衡量数据离散程度的指标，方差越大，数据越分散；方差越小，数据越集中。24.参考答案：将数据从小到大排序，若数据个数为奇数，则中间数为中位数；若为偶数，则中间两数的平均数为中位数。解析：中位数是排序后位于中间位置的数。若数据个数为奇数，中位数为中间数；若为偶数，中位数为中间两数的平均数。中位数不受极端值影响，适合偏态分布数据。25.参考答案：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)。若A与B互斥，则P(A或B)=P(A)+P(B)。解析：加法公式用于计算两事件至少发生一个的概率。若两事件互斥，则无公共基本事件，P(A且B)=0，故P(A或B)=P(A)+P(B)。若两事件不互斥，需减去重复部分。26.参考答案：频率=频数/样本容量；频数=频率×样本容量。样本容量越大，频率越稳定。解析：频率是频数与样本容量的比值，频数是频率与样本容量的乘积。样本容量越大，抽样误差越小，频率越接近真实概率。27.参考答案：众数是数据中出现次数最多的数。一组数据可能无众