考研数学三（微积分）模拟试卷36

考研数学三(微积分)模拟试卷36

一、选择题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

1、设f(x)在x=a处可导,且f(a)/O,则If(x)I在x=a处().

A、可导

B、不可导

C、不一定可导

D、不连续

标准答案：A

知识点解析：不妨设f(a)>0,因为f(x)在x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续，于

是存在6>0,当lx-alV6时，有f(x)>0,于是

1而LgG,।二।2)!=lim/工)二/⑷

—z—a-ax—a=f(a),即If(x)I在x=a处可导，同

理当f(a)VO时，If(x)I在x=a处也可导，选A.

2、设自为f(x)=arctanx在|0,a]上使用微分中值定理的中值，贝八・。々“为().

A、1

1

B、2

1

C、3

1

D、4

标准答案：C

知识点解析：

令/(a)—/(0)=，(£)〃，即arctana=、Q,或者?=——-----1,

1Tfarctana

]___1_

lim4=lim中=lim=中当=Hrn=5,选

。一。a•*oaarctana«-oaa-o3a3

/(a+z)—/(a)U、

a------------------L----------Jka)

i•JC

3、设f(x)在x=a处二阶可导，则,^x等于().

A、一f'(a)

B、f'(a)

C、2f(a)

x

D、2f(a)

标准答案：D

知识点解析：

/Q+z)-/(a)八

lim------------------------=lim幺。十二一/、)一1—

4

LOXx-01

=lim9+f9=［/(a),选(D).

x-0LXL

lim®±£(z)=2

4、设f(x)在x=0处二阶可导，K0尸0且~。z，则().

A、f(0)是f(c)的极大值

B、f(O)是f(c)的极小值

C、(0,f(O)是曲线y=f(x)的拐点

D、f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点

标准答案：B

知识点解析：

由1而八力+4(-=2,得/(0)4-/(0)=0,于是/(())=0.

r-»0X

再由lim/⑺+/也=lim［八幻一八°)+)(幻一上地］=/(0)+，(0)=2,得

."一。XLOXX

lim=0

5、设f(x)连续可导，g(x)连续，且一。1，又r(x尸一2x2+Hg(x—t)dt,则

().

A、x=0为f(x)的极大点

B、x=0为f(x)的极小点

C、(0,0)为y=f(x)的拐点

D、x=0既不是f(x)极值点，(0,0)也不是y=f(x)的拐点

标准答案：C

知识点解析：由JoXg(x-t)dt=Hg⑴出得f(x)=-2x2+foxg(t)dt,f'(x)=-4x+g(x),

因为lim3=lim*+公卫=-4V0,

x-oXl一。X

所以存在0。,当。<|工9时，①v。，即当xw(f。时小)>0；

当Xa0,6)时,r(x)<0,故(0,0)为y=f(x)的拐点,应选C.

6、设f(x)在x=a处的左右导数都存在，则f(x)在x=a处().

A、一定可导

B、一定不可导

C、不一定连续

D、连续

标准答案：D

知识点解析：因为f(x)在x=a处右可导，所以

lim\")----fSal存在，于是lim/(x)=f(a)

x~~a—J,即f(x)在x=a处右连续，同理由

f(x)在x=a处左可导，得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，由于左右导数

不一定相等，选D.

7、f(x)g(x)在xo处可导，则下列说法正确的是().

A、f(x),g(x)在xo处都可导

B、f(x)在xo处可导,g(x)在xo处不可导

C、f(x)在xo处不可导,g(x)在xo处可导

D、f(x),g(x)在xo处都可能不可导

标准答案：D

1,工£Q,1，父6Q,

g(z)=

知识点解析：令f(x)=-1"£R/Q，11，i£R/Q，，显然f(x),g(x)

在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)三一1在任何一点都可导，选D.

8、f(x)在xo处可导，则If(x)I在乂()处().

A、可导

B、不可导

C、连续但不一定可导

D、不连续

标准答案：C

知识点解析：由f(x)在xo处可导得If(x)I在xo处连续，但If(x)I在xo处不一定

可导，如f(x)=x在x=0处可导，但If(x)I二IxI在x=0处不可导，选C.

9、设f(x)为二阶可导的奇函数，且xVO时有f<x)>0,f(x)<0,则当x>0时有

().

A、f'(x)<0,f(x)<0

B、f'(x)>0,f(x)>0

C、f'(x)>0,f(x)<0

D、f'(x)<0,f(x)>0

标准答案；A

知识点解析：因为f(x)为二阶可导的奇函数，所以f(・x尸一f(x),f(-x)=f(x),

r(-x)=-r(x),即r(x)为偶函数，r(x)为奇函数，故由xvo时有俨(x)>o,f(x)

<0,得当x>0时有f"(x)VO,f(x)<0,选A.

知识点解析：

由lim=0得/(0)=0,/(0)=0,则

X—0X

对】+年卜蜒+篦叩=3，，

而lim婚=lim*=41"3一八°)=4/(0)=2,所以1沁卜+回『=e2.

Jrr*0LX4r*0XLr-*0LXJ

lim3-/(cosVx)

14、设f(x)在x-l处一阶连续可导，且F(l)=—2,则一广山：

标准答案：1

知识点解析：

由H/XCOSG)=—f"(cos-/z)•,

"2右

得lim--/(cos*/r)=—limf(cos-/r)=—}-f(1)=1.

.。+曲262

三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)

a,'Jsia-f针匕〃=°确定，求解1

15、设x=x(t)由Jidf

标准答案：

将£=0代入sine—jedu=0得je，d”=0,

再由e-了>0得彳=1,

<r,)2

sin/—je"du=0两边对，求导得cost—e~-1)=0,从而常|f=0=e+1,

we-J/隼-1)=0两边再对£求导得

-sin/+2(1—^)e-<隼-1)S奈=0,

将r=0,l=1，詈L-o=e+1代入得号声l»-o

知识点解析：暂无解析

16、设x3—3xy+y3=3确定y为X的函数，求函数y=y(x)的极值点.

标准答案：x3—3xy+y3=3两边对x求导得

312一3,3工黑+3,噌=0,解得祟=「

令学=----=0得y=三，代入x3—3x7+丁=3得1=—1或z=啦,

ar工一y

dty_《2工一数(4一力一叱一必l-2y船

寸=(X-/)2，

因为注L«-i=1>0,所以x=-1为极小点，极限值为y=h

QX

因为会I.标=-1v0,所以］=北为极大点，极大值为y=阻

知识点解析：暂无解析

17、x=(p(y)是y=f(x)的反函数，f(x)可导，且「(x尸/+"】，f(0)=3,求(p"(3).

因为“（3）=焉5'而，（°）=。•所以“（3）1

e

/<-r）=（2x-Fl）eJ,-4,,/（O）=e,

-1'

d

因为，(y)=

dy/dx

4•-、：所以$(3)=—41

标准答案：re3

知识点解析：暂无解析

18、设f(x)连续，甲(x)=6f(xt)d3且如穹=A求s(x),并讨论斯(X)在x=。

处的连续性.

标准答案：

当1X0时，伊(7)=)&=)d(JT)=y|/(tt)dw,

/(z)=—1/(Gdu].

当工=0时，夕(0)=J/(0)dz=0,

/(0)=limd-r⑹=1J，(：""=1淅算=4-

x-0N，-。N，-。2x2

±['*/(工)—1/(u)du,z#0,

Hij/(x)=rL©」

卜，…

因为1叫/(“)=lim[f(7)_j°/(")du=A-亨=令=/(0),所以夕'(I)在.r=0处

连续.

知识点解析：暂无解析

19、设函数f(x)在x=l的某邻域内有定义，且满足1心)2*|主一1)2,研究函数

f(x)在X=1处的可导性.

标准答案：把X=1代入不等式中，得f(l)=2e.当在1时，不等式两边同除以lx

一1I，得

0<乂”).二2,」<1X-1|=>lim1s2e，=。.

而lim△叫”=onIimr/(Z)Z1A1)+更二军卜onlitn&)■二钟=2e.

Ix-1-iL*-1x-1Jix-1

知双点解析：暂无解析

COSIxIC1

y=

，求，

20、设।N-ll।N|>1,y.

标准答案：

当|zIv1时,，=-4sin-yxi

当工>1时=1；当“V-】时，/=-1;

由lim_y=iim(1—x)=2,limy=lim但个上=。得了在［=一1处不连续，故，(一】)不

•r*Tjr-»-I*r-*-l4

存在；

/、_/】、cos-^-x—0一^-sin^-x

由lim----------=lim---------：--=lim------：----=一•得“(1)=-y♦

1x-1i”一】z122

由.丫02-41)=1淅匚］=］得三(1)=1,

因为/(DXy'+(D•所以y在1=1处不可导.

-1,x<-l

故y'=•--ysin--x,-1<x<1.

乙乙

1,x>1

知识点解析：暂无解析

ln(l+“)♦z>0,

21、设f(x)="2+历*+♦，］4°，且F(0)存在，求a,b,c.

标准答案：

一，」,且~~[In（l+工），z>0,

因为/（]）在z=0处连续•所以c=0,即/（JT）=

lor2+&r.x<0.

A（0）=lim色〉二=lim"二处=b,

i-x-ux

（）（）（）

J+（0）=ih*mi/---"----—--fz---0--=]h.m-l-n---l--4----x---=1[,

■r—o'Nx-»0,”

由/（x）在”=0处可导,得5=1,即/<x）=fn?+*">0，

lax2z<0,

[T-7—,“>0,

于是f（]）={1+"

l2ar+1,«r40.

A（0）=lim小上=hm型七1二工=2a,

x-♦。―1J-0h

1____]

/|（O）=limf"）-K。）=limLtz——=一].

■r-*o+N彳

由f（0）存在，得a=—4••即a------i-t/>=1,c=0.

知识点解析：暂无解析

1_

22、设f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，f(0)=0,f(7)=l,f(l)=0.证明:⑴

JL

存在昨(T1),使得f⑺=中(2)对任意的k®-8,+00),存在年(0,n)，使得

r©一刈篦)一号=1.

标准答案：(1)令(p(x)=f(x)—X,(p(x)在［0,1］上连续,2,(p(l)=—1V0,由零点定

理，存在r)£(2,1),使得(p(n)=O,则f(n)=r|.(2)设F(z尸e*x(p(x),显然F(x)在

［0,4上连续，在(。，n)内可导，且F(O尸F(n尸o,由罗尔定理，存在乐(o,m，使

得Pq=0,整理得一k［f(9一曰=1.

知识点解析：暂无解析

23、设f(x)在［0,2］上连续,在(0,2)内二阶可导,且

lim唬［£2于2］=0,又/(2)=2p/(r)dj.

‘COS—TJ1

.2记明：存在年(0,2),使得

r(9+*g=o.

标准答案：

由lim卜[/(幻+21=o,得/(1)=-1,

〜cos务

又lim侬/(3，+21=lim£(山士=lim——，所以/(I)=0.

/♦I〜T[■—17tJt•TC

COS-Xcos—x-ySinyx

由积分中值定理得/⑵=21/a)dz=/3,其中CW

由罗尔定理.存在心€(c，2)U(1,2),使得/(J-0)=0.

今中(工)=。"'(工)，则W(1)=(p(Tn)=0,

由罗尔定理.存在we(1,工。)c(0.2).使得“(0=0,而

(p(x)=eXf(x)+F(x)]且ex/0,所以f(9+f6)=0.

知识点解析：暂无解析

24、设f(x)在[0,1]上可导，f(0)=0,Ir(x)I<2|f(x)I.证明：f(x)三0,x6[0,

1].

标准答案：因为f(x)在[0,1]上可导，所以f(x)在[0,1]上连续，从而If(x)I在

[0,1]上连续,故lf(x)|在[0,1]上取到最大值M,即存在xoW[O,1],使得

f(xo)I=M.当xo=o时，则M=0,所以f(x)三0,xG[0,1]；当xo,O时，M=I

]Ir(E)।vM

f(x0)I=If(x0)-f(o)I=Ir©Ix0<Ir(Q<2J。、彳，其中年(0,xo),故

M=0,于是f(x)三0,xG[0,1].

知识点解析：暂无解析

25、设f(x)WC[a,b|,£(a,b)内可导，f(a)=f(b)=l.证明:存在。[]6(a,b),使

得2e2^n=(ea+eb)[f(n)+fi：n)].

标准答案：令(p(x)=cXf(K),由微分中值定理，存在r|W(a,b),使得

再由/(a)=f(b)=1,得;三:=十[八?)+/(?)]，

A

从而4三f=(e-4-c)e*[/(7)4-/(7)].

24一。2・

令叭工)=位,由微分中值定理，存在£6储,6),使得p片上=2e〃

r办——a即

2e2Mea+eb)en[f(n)+f(n)],或2e2^n=(ea+eb)[f(n)+f(n)].

知识点解析：暂无解析

,min/(x)=-1.

26、设f(x)二阶可导，f［O)=f(l)=O且MP.证明：存在年(0,1),使得

f卷8.

标准答案:因为f(x)在［0,1］上二阶可导，所以f(x)在［0,1］上连续且f(0)=f(l)=0,

min/(x)

=一1,由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在［0,1］取到最小值且最

小值在(0,1)内达到，即存在c£(0,1),使得f(c)=-l,再由费马定理知r(c)=0,

根据泰勒公式

/(0)=f(c)+r(c)(0—c)+42(0—c>,&e(0，c)

/(I)=6(ol)

整理得

当cW(0,切时/(6)=］>8,取£=遇

当ce(»)时/(&)=五号>8,取L&・所以

存在眄O1),使得F(尖8.

知识点解析：暂无解析

27、一质点从时间1=0开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度

和末速度都为零.证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于

4.

标准答案：设运动规律为S=S(t),显然S(0)=0,S'(0)=0,S(l)=l,S'(l)=0,由泰勒

公式

s(l)=s(o)+赍-1^(1)=s⑴+赍.5se(。，外&e(fa)

两式相减，得s"&)一S"&)=一8TIS”&)I+IS"&)I>8.当IS”(3)I>I

S”&)I时,IS"&)I羽；当IS”(&)I<IS"&)I时，IS”&)I>4.

知识点解析：暂无解析

28、设f(x)在［0,1］上二阶可导，且IF(x)I任(xe［0,1］),又f(0)=f(l),证明：I

f(x)I<T(XG［0,I］).

标准答案：由泰勒公式得

/(0)=，(/一，(z)z&£(0.x),

/(I)=/(X)4-Z(x)(1-X)+4-/(6)(1-X)S&€(x.l),

两式相减，得/(N)=一工

两边取绝对值，再由।r(x)i<1,得

Ir(N)I&会了"+(1—H)Z]=(工一专)<y.

知识点解析：暂无解析

29、设f(x)在(一1,1)内二阶连续可导,且F(x)/).证明：(1)对(一1,1)内任一

点X女),存在唯一的e(x)€(O,1),使得f(x尸f(O)+x「付(x)x]；⑵.°)=5.

标准答案：(1)对任意x€(—1,1),根据微分中值定理，得f(x)=f(O)+x?[O(x)x],其

中0V8(x)Vl.因为F(x)€C(-1,1)且P(x)#),所以F'(x)在(一1,1)内保号，不

妨设F(X)>O,则r(x)在(一1,1)内单调增加，又由于x#),所以e(x)是唯一

的.(2)由泰勒公式，得

/(幻=/(O)+/(O)X+野工2.其中£介于。与工之间，

而人力=/(0)+力所以有

，即"]]=八。)+劈工=必力。).做工)=乌2,

Z!jv(xy)(2!

令工-0.再由二阶导数的连续性及非零性.得=1.

jr—。L

知识点解析：暂无解析

30、设f(x)在⑶b]是二阶可导,且广(a尸P(b)=0.证明:存在国(a,b),使得I

4

f(^)>(6-a)2|踮)一f(b)|.

标准答案：由泰勒公式得

，(中)=入)+几乂中-小鲁(审一)1£3铛，

1中)=即，⑹(中一沙萼(中一心€(平小

即.(审)=仆)+生产八GJ(审卜/⑹+史严八&),

两式相减得)2［一户］

f(6)-/Q)="\aOf'(&)(&),

取绝对值得If(b)-f(a)|<(6"-g)?CI，(&)1+1，(&)11・

O

⑴当，()「()时,取&,则有，⑥⑹一八；

I&121&IE=II)(;0-a)"Ifa)|

(当|(，()时•取£=&•则有(7A4衣/⑹一()

2)r6>KI&IIrOI3(6-a)।fQ1.

知识点解析：暂无解析

31、f(x)在［・1,1］上三阶连续可导,且f(・l)=0,f(l)=l,f(0)=0.证明:存在年(一

1,1),使得『©=3.

标准答案：由泰勒公式得

/(-I)=/(0)4-/(0)(-1-0)+1-0)21-0)\66(-l,o)，

23

/(I)=/(0)4-/(0)(1-0)-0)-I--0),e2€(0,1),

即/(o)+今？-与1=o,/(o)+=i，

LJbL!o

两式