考研数学二（线性代数）模拟试卷17

考研数学二（线性代数）模拟试卷17

一、选择题（本题共72题，每题1.0分，共72分。）

A*

1、A是n阶矩阵，则A-FA­A

A、(-2)n|A|n

B、(4|A|)n

C、(-2)2n|A*|n

D、|4A|n

标准答案：B

'A'

知识点解析:,A+A・，=(-2)2n|A*||A|=4n|A|n=(4|A|)n.

A9

2、A是n阶矩阵，则|一21A

A、(-2)n|A*|n

B、2n|A*|n

C、(一2)n|A|n',

D、2n|A|nd

标准答案：D

OA・

—21A

知识点解析:=(-Dn|A*ll-2I|=2n|A*|=2n|A|n-1

0O'

10

J

0则（p-l严6A（Q20II）-1=（）

40232S'

(B)1005956

.1609589.

•1

23-12013

(C)20154027

6039(D)480496

,78

9.7140859.

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：易知p2=E,故pLp,进一步有（P

100-

利用归纳法易证0=-n10

01

00'0-

-20111020110

,001.,01.

■100'

（p-1）2016A（Q20U）T=A201110

-0°",由于右乘初等矩阵等于作相应的初等列变

换，故计算结果应为将A第2列的2011倍加到第1歹IJ,计算可知应选（B）.

4、己知为，。2，。3，为3维非零列向量，则下列结论：①如果（U不能由山，

a2，（X3线性表出，则ai，（X2，线性相关；②如果ai，a2，Ct3线性相关，a2.

（13,04线性相关,贝Ila],az，04也线性相关;③如果r（a],ai+a2,a2+a3）=r（ot4,

ai+04，012+04,^3+04），则04可以由ai，。2，线性表出.其中正确结论的个数

为（）

A、0

B、1

C、2

D、3

标准答案：C

知识点解析：如果cq,式2，013线性无关，由于山，。2，a3，04为4个3维向量，

故ai，g,Q3，04线性相关，则eq必能由a”012，a3线性表出，可知①是正确

2

的.令ai，012，a3线性相关，az，（X3,04

线性相关，但ai，a2,04线性无关.可知②是错误的.由[ai，ai+a2,

«2+»3]—*[«!>。2'a2+aa]—>[a)»a2,03],[04,ai-04,(12+04,03+04]—>[04，

ai，012,as]—>[ai>012,013，014],可知r(a],ai+az，。2+。3尸r(ai，。2，as),r(«4,

ai+a4»(12+04,a3+a4)=r(ai，012，。3，3)，故当r(ci，cq+az,a2+a3)=r(«4，

ai+a4»012+04,013+04)时，也有r(ai，a2,a3)=r(ai»012，(13,cq),因此04可以由

ai,a2>013线性表出.可知③是正确的.故选(C).

a

5、设ai，a2，(13均为线性方程组Ax=b的解，下歹J向量中aig,ai—2a2+a3，4

(ai-as),ai+3a2-4a3，是导出组Ax=O的解向量的个数为()

A、4

B、3

C、2

D、I

标准答案：A

知识点解析：由Aai=Aot2=Aa3-b可知A(ai-a2)=Aai—Aa2-b—b_0,A(ai—

2a2+as)=Aai-2ACQ十Aci3=b—2b+b=0,

A!)(6_q)]=39一仙)=+"一加=0,

L4」A(a1+3a2-4a3)=Aai+3Aa2—

4Aa3=b+3b-4b=0,因此这4个向量都是Ax=O的解，故选(A).

6、设A是秩为n―1的n阶矩阵，aH012是方程组Ax=O的两个不同的解向量，

则Ax=O的通解必定是()

A、ai+a2

kai

C^k(ai+a2)

D、k(ai-a2)

标准答案：D

知识点解析：因为通解中必有任意常数，显见(A)不正确.由n-r(A)=l知Ax=O的

基础解系由一个非零向量构成.ai，ai+a2与ai-a2中哪一个-一定是非零向量呢？

已知条件只是说囚，a2是两个不同的解，那么四可以是零解，因而kai可能大是

通解.如果a产一。2H0，则四，(X2是两个不同的解,但ai+a2=0,即两个不同的解

不能保证ai+a2升.因此要排除(B)、(C).由于四知1，必有四42邦.可见(D)正

确.

7、设A为n阶方阵，齐次线性方程组Ax=O有两个线性无关的解向量，A*是A的

伴随矩阵，则()

A、A*x=O的解均是Ax=O的解

B、Ax=O的解均是A*x=O的解

C、Ax=O与A*x=O没有非零公共解

D、Ax=O与A*x=O恰好有一个非零公共解

标准答案：B

知识点解析:由题设知n—r(A巨2,从而有r(A)Wn—2,故A*=O,任意n维向量

均是A*x=O的解，故正确选项是(B).

8、设向量组⑴：ai，m，…，叫可由向量组(口)：①，的，…，供线性表示，则()

A、当rVs时，向量组(口)必线性相关

B、当rVs时,向量组⑴必线性相关

C、当r>s时，向量组（II）必线性相关

D、当r>s时，向量组⑴必线性相关

标准答案：D

知识点解析：利用“若向量组⑴线性无关，且可由向量组⑴）线性表示，则rss”的逆

否命题即知.

9、设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组⑴A%=0和（U）An+ix=O,现有命题

①（I）的解必是（n）的解；@（n）的解必是（I）的解：（3）（I）的解不一定是（n）的

解；④（II）的解不一定是（I）的解.其中，正确的是（）

A、①④

B、①②

C、②③

D、@@

标准答案：B

知识点解析:当A*x=O时,易知An+】x=A（Anx）=O,故⑴的解必是（口）的解，也即

①正确、③错误.当An+L0时，假设A'#）,则有X,Ax,…，A&均不为零，

可以证明这种情况下x,Ax,A“X是线性无关的.由于x,Ax,A%均为

n维向量，而n+l个n维向量都是线性相关的，矛盾.故假设不成立，因此必有

Anx=O.可知（口）的解必是⑴的解，故②正确、④错误.故选（B）.

10、向量组四，a2,…，as线性无关的充要条件是（）

A、ai,a?，…,as，均不为零向量

B、ai，a2，…，as中任意两个向量的分量不成比例

C、ai，a2，…，as,中任意一个向量均不能由其余向量线性表出

D、ai，（X2，…，火中任意s—1个向量均线性无关

准答案.c

知识析：用反证法，若有一个向量可由其余向量线性表出，则向量组线性相

关，和向量组线性无关矛盾，（A）,（B）,（D）都是向量组线性无关的必要条件，但

不充分.

11、已知A是三阶矩阵，r（A）=l,则入=0（）

A、必是A的二重特征值

B、至少是A的二重特征值

C、至多是A的二重特征值

D、一重、二重、三重特征值都可能

标准答案：B

知识点解析：A是三阶矩阵，r(A)=l,r(OE—A)=l.(OE—A)X=O有两个线性无关

For

000

特征向量，故九=0至少是二重特征值，也可能是三重，例如：A=LO0oj,

r(A)=l,九=0是三重特征值.

12、已知&，々是方程依E・A)X=0的两个不同的解句量，则下列向量中必是A的

对应于特征值X的特征向量的是()

A、勺

B、及

C、m一42

D、&+及

标准答案：C

知识点解析：因&芭2,故白一々翔，且仍有关系A(囚一()=%—乂2=M3一

及),故人一及是特征向量.而(A)&,(B)3(D)&+1均有可能是零向量而不成为

A的特征向量.

二、填空题(本题共8题，每题分，共8分。)

o仇0

00仇

•♦

••■

000

13、设B二也0

00

1

0

G

01

00

标准答案:

。一if，

故

000石

T-0-00

仇

°*…。。

••••

••••

007^—0

O--1

知识点解析:

02

020

14、设A是4x3矩阵，且r(A)=2,而B」T

03.则r(AB)=

标准答案：2

知识点解析：B可逆,则r(AB)=r(A)=2.

15、设A,B为3阶相似矩阵，且|2E+A|=0,Xi=l,九2=一1为B的两个特征值，

则行列式|A+2ABi=.

标准答案：18

知识点解析：由|2E+A|=|A-(-2E)|=0知1=-2为A的一个特征值,由A〜B知A和

B有相同特征值，因此笳=1,入2=—1也是A的特任值.故A,B的特征值均为

X1=1,九2二一1，兀3二一2.则有E+2B的特征值为l+2xl=3,1+2x(-1)=-1,1+2x(-

2)=一3,从而|E+2B|=3x(—1)x(一3)=9»网=入］入2入3=2.故

|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|.|E+2B|=2.9=18.

16、设A=E+a0T,其中a,。均为n维列向量，aTp=3,贝U|A+2E|二

标准答案：2x3n

知识点解析：由于（?>3,可知江（邓丁）=3.邓丁的秩为1,故0至少为邓丁的「一1

重特征值，故邓丁的特征值为O（n-1重），3.因此，A+2E=apT+3E的特征值为3（n-

1重），6,故|A+2E|=3n-1x6=2x3n.

17、设A,B均为3阶矩阵，E是3阶单位矩阵，已知AB=2A+3B,A=

-90-6-

0150

-°021」贝I](B_2E)d=.

io-r

020

标准答案：L003-

知识点解析：由AB=2A+3B移项并提公因式可得A(B―2E)—3B=0.再在等式两

边同时加上6E可得A(B-2E)-3(B-2E)=6E,也即(A-3E)(B—2E)=6E,进

0-r

20.

E03-

1r

22

°3＜则

•00—Z

0-35

标准答案;--63-3

8一|=萼，8・且

1.

00y

5T=（A-】D（r】）T=aKiA=04-4

L0

所以

001I

o一牙

B・=-601-35

3-3.

7J

知识点解析:

19、设ai=[l,0,一1,2『，a2=[2,一1,一2,6]T,as=[3»1,t,4]T,p=[4,-

1,一5»10]1,已知。不能由a1，a2»a3线性表出，则t=.

标准答案：一3

知识点解析：

20、已知三维向量组ai，az，线性无关，则向量组四一。2，a2-kas，013一川也

线性无关的充要条件是k.

标准答案:向

•1o-r

-110.

知识点解析：[ai—a2,。2一ka3,013—ai]=[ai，a2,013]L°一卜1」因ai，

a2，a3线性无关，故ai—a2,。2一a3，（X3—ai线性无关的充要条件是

10-1

-110=1-A声0/WL

0T1

解答题（本题共18题，每题1.0分，共18分。）

10o-

4=0-20

21、设矩阵A,B满足A*BA=2BA—8E,其中L00L求B.

标准答案：两边左乘A,右乘A」，得|A|B二2AB-8E,(|A|E-2A)B=-8E,

一00'-1~2

B=-B(|A|E-2A)7=-8020=-4

_00-4.

知识点解析：暂无解析

22、设A是n阶可逆阵，将A的第i行和第j行对换得到的矩阵记为B,证明：B

可逆，并推导A“和的关系.

0----------1---------------i

E工：।

r”••••••,

I:

!..............3..............j

:・・・

标准答案：记Eij为初等阵L；；-口则

B=EijA,|B|二|EijA|=|Eij||A|二一|A|MO,故B可逆，且B」=(EijA)"=A/E『l=A"Eij.故

知B的逆矩阵可由A的逆矩阵交换第i列和第j列之后得到.

知识点解析：暂无解析

23、设A是n阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数a,证明：(l)a，0；(2)A」的

每行元素之和均为Z.

标准答案：(I)将A中各列加到第一列，得

Q”a12,**aan…au

aaa22…a2n

2i—

|A|=••••••

••••••

a„ia«2•*,Qea

。若a=0,则|A|=0,这与A是可逆阵

1=

矛盾，故存0.⑵令A=[a],Ct2，♦・.，an]，A[P1，02，…，Bn]，E=®,

d

ez，…，en],由A“A=E,得A/[ai，CQ,...»an]=[ei，e?,...»en],Aaj=ej,

-1-+1

j=l,…，n,Aai+A1a2...+A-an=ei+e2+...+cn,

ri1

A+…+%)=*】

1

另一方面,A7二［0.遇，…，4］.=a(A+庆+…+区)・

La.比较以上两式，得

rii

T

「11

1

a(Pi+良+…+儿)=，A+良+…+儿=7

LlJ

11

证7得证A"的每行元素之和为。•

知识点解析：暂无解析

126

343

AB562

|=|A+B

24、⑴A,B为n阶方阵，证明:BA*(2)计算334

ABABA-BB

I=|A-B||A4-B|.

A+BA+5OA+B

标准答案:(I)BA(2)

1256

34132-一4-4|I68

十21I|4=40.

5612-IG:H：北［；4.[:於7

1334

知识点解析：暂无解析

25、设有矩阵Amxn，Bnxm，Em+AB可逆,(1)验证：En+BA也可逆,且(En+BA)

-1十力弘4北…©%

12M1+N2y2

P==七十",

L工田32…1卜3•一

i=En—B(Em+AB)/A；⑵设其中

£“必=1.

…,利用(1)证明：P可逆，并求P".

-1

标准答案：(1)(En+BAXEn-BCEm+AB)A)=En+BA-B(Em+AB)“A—

1-l

BAB(Em+AB)-'A=En+BA—B(Em+AB)(Em+AB)-A=En.故En+BA)=Em-

l+qy力及…工1%

1+12及

(2)P=■■•=E+XT,

•■•■•

-,…1+Hy.一

B(Em+AB)A.彳。21其中

1+2HM

TTT

X=[xi,X2>...>xnl，Y=lyi»y2»…，ynl•因1+YX=—-2/0,由⑴

知P=E+XYT可逆，且P-1=(E+XYT)-1=E-X(1+YTX)-1YT=E-2

•一

]11

]一212y2,,・一彳4“

•**

*•**

11[1

一.产M一好2・・,一吟”

知识点解析：暂无解析

TTT2

26、已知cu=[l,-1,1],a2=[ht,­1],a3=[t,1,2],p=[4,t,一4『，若

0可由a”a2,a3线性表示，且表示法不唯一，求t及。的表达式.

Zj+々+5=4,

2

«-X|4-/X24-X3=/♦

标准答案：设Xia]+X2a?+X3a3=0,按分量写出为一及+273=-4,对增广矩阵

进行初等行变换得

2-4-

At-28

3产—4.

由条件

知r(A)=，(A)r(A)V3,从而1=4,此时，增广矩阵可化为

2；-4'I-103(T

022j801114

_000i0.-00000.

-Q-

其通解为44,6WR所以

%-0.

3kai1+(4-k)a2+ka3，kGR

知识点解析：何无解析

27、设向量组ai，az，…，as(-2)线性无关，且B1=ai+a2,82=012+(x3，…，pas-

i=as-i+as,ps=as+ai,讨论向量组伙，仞，…，0s的线性相关性.

标准答案：设X1B1+X2B2+…+xsBs=。，即(xi+xs)ai+(xi+x2)a2+…+(Xs/+Xs)as=0.因

©+了,=0，

为⑴.….外线忤无关.则“i+/=。，其系数行列式

100-01

110-00

|A|=011-00=1+(一1尸】.

•••••

•••••

000-11⑴当s为奇数时,|A|=2,0,方程

组只有零解，则向量组内，彷，…，“线性无关：(2)当s为偶数时，|A|=0,方程

组有非零解，则向量组仇，p2,0s线性相关.

知识点解析：暂无解析

28、设A是nxm矩阵，B是mxn矩阵，其中nVm,E是n阶单位矩阵.若

AB=E,证明：B的列向量组线性无关.

标准答案：nNr(B)Nr(AB)=r(E尸n,r(B尸n,则B的列向量组线性无关.

知识点解析：暂无解析

29、设向量组ai，a2»...»8是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量。不

是方程组Ax=0的解,即Ap/0.试证明：向量组粗B+ai，0+(X2,...»0+a(线性无

关.

标准答案：kp+k|(p+ai)+...+k[(p+at)=O»即(k+k|+…+ki)B+k]ai+…+ktai=O,等

式两边左乘A,得(k+k]+...+ki)A0=()"^k+ki十…+ki=0,贝Jkia]+...+ki(ii=O.由

ai,(X2,…，3线性无关，得kij..=kt=0,k=0,所以P，P+aj,(3+。2，…，P+S线

性无关.

知识点解析：暂无解析

30、设向量组（I）与向量组（D）,若（I）可由（H）线性表示,且「（I）=r（n）=口证

明：⑴与（U）等价.

标准答案：设（I）的一个极大无关组为々，…，0，（II）的一个极大无关组为

T|1>T]2，…，布.因为（I）可*由（II）表?]3即：],[2，…，备可由nI，T）2，・•.，Hr

线性表示，于是r©,§2，…,0，r）l，r|2，…，T|r）=r（T|l»T]2，…，T]r）=I'•又，，

匕2，…，备线性无关，则号，&2，…，&也可作为备，《2，…，0，中，“2，…，Hr

的一个极大无关组，于是中，抽，…，中也可由4,々，…，A表示，即（II）也可

由（I）表示，得证.

知识点解析：暂无解析

X]+及+彳5=0,

X1+12-工3=°，1

I4+乙+七=0的基础解系.

110oor

A=11-100-00101

°10」则方程组的解为

标准答案：。°11ULoo

Xi=-JC2-工s»

"3=一卬俨]=「1r°i

1=0・令]工/-1_0」11」；得方程组的基础解系*[一1，1，o,0,

0]T,及=[一1，0,—1,0,1]T.

知识点解析：暂无解析

21+工3=久，

•4与十工2+2处=4+2,

32、问九为何值时，线性方程组楮"十"+4勾=2久+3有解，并求出解的一般形

式.

B=[A|b]=

线性方程组有解Q〃（A）=r（8）0入+1=0=a=1,其通解为

r11

x—k2+—1,A为任意常数.

.1J.0.

标准答案：

知识点解析：暂无解析

=

2X14-AX21♦

«Axj-12+工3=2,

33、入为何值时，方程组〔47+52一5工3=-1无解，有唯一解或有无穷多解?并

在有无穷多解时写出方程组的通解.

==

-X34-2JI4-AX21«

«4+义力-4=2,

标准答案：方程组改写为〔一54+4可+5与=-1,则有

1-2-A-1■

B=[A[b]一二0651一56

.00(1-AX44-5A)6(1—A).⑴当¥1且，时，方程组

有唯一解；（2）当九二1时，方程组有无穷多解,

"10-1：11,X=0+&W/为任意常数;

(X«=X2+It,

且8口010：1,解为1/:

：5=1,

.00o:0J通解为

（3）当'=一号方程组无解.

知识点解析：暂无解析

J©+工2=0，

34、设四元齐次线性方程组（I）为'乃一乜=°，又已知某齐次线性方程组（口）的通解

TT

为k][O,1,1,0]+k2[-1,2,2,1].⑴求线性方程组⑴的基础解系；（2涧线

性方程组（I）和（口）是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解.若没有，

则说明理由.

I三喊为日

标准答案：（1）线性方程组（I）的解为匕[=4・得所求基础解

系&=[0,0,1,0|T,e2=[-1,1,0,I|T.（2）将方程组（口）的通解代入方程组

心+&=0,=

⑴，得'[+厩=°ki=-k2.当k尸一k2加时、方程组⑴和（口）有非零公共解，且

TTT

为x=-k2[0,1.1,0|+k2[-l,2,2,l「=k2[一1,1,1,l]=k[-l,I,1,1],

其中k为任意非零常数.

知识点解析：暂无解析

35、设yi，Y2,…’人和中，Q2，…,电分别是AX=O和BX=O的基础解系，证

明：AX=O和BX=O有非零公共解的充要条件是丫”丫2，…，Yt，中，碓，…，布

线性相关.

标准答案：=•由型，）2，…，片，中，-2，…，电线性相关，知存在k],

k2，…，kt，h，12，…，k不全为零，使得

kryi+k2y2+...+%""]+12112+…+卜乐=0,令？kiyi+k2y2+…+kt»,则分0（否则ki，

k2，…，kt，h，I2，…，k全为0），且炉一hill・32…・/，即一个非零向量，既

可由Yi，Y2，…，X表示，也可由r）i，r|2，…，小表示，所以Ax=0和Bx=0有非

零公共解.“=>"・若Ax=0和Bx=0有非零公共解，假设为导0,则

1=kiYi+k2Y2+…+kfft且?一1[中一12n2一…-'电，于是，存在ki，k2,…,k（不全

为零，存在11，12，.•.，k不全为零，使得

kryi+k2y2+...+ktYt+hr）i+12n2+…+