考研数学二（解答题）模拟试卷200

考研数学二(解答题)模拟试卷200

一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

1、求单位向量饱，使向量组优=(1,1,0)T,。2=(1，1，1)T，饱与向量组ai=(0,

1,1)T,a2=(1»2,1)T,013=(1,(),—1)T的秩相同，且的可由川,。2,。3线性表

示.

*o111T11

4=(«),a2,<*,)=120—011

标准答案：设A=(ai,a2O3),贝1J」।-I..°°0由此可

知,r(ai,a2,a3)=2,所以(11,(x2,013线性相关，并且囚陋是囚陋陋的一个极大线性

无关组.设。3=(xi，X2，X3)\由于。3可由ai,a2e3线性表示，从而可由ai,a?线

01x,

Ia(ta2,pyI=I2x2=0,BPX|-x2+x3=O.

性表示，所以ai,a2,03线性相关，于是1।巧

即xi——X2+x3=0.又因为r(Bi,P2,P3)=r(ai,a2,a3)=2,所以。1，的，可也线性相

।1।一

\P\、B»f31=1

1x2:0,即与一“2;°，

关，于是0即X]—X2=0.由已知。3为单位

x1-x2+x3=0,

=0,JLn

向量，则II。3II=X12+X22+X32=1.于是,=l.解得•故可

耳产=信击。「或氏十东春。「

知识点解析：本题考查向量组的秩的概念和向量的线性表示，应先求ai,a2,a3的

秩，来确定印，的，饱的秩，再根据题设建立相应的线性方程组.

2、设f(x)在[a,b]上连续,a<xi<x2<...<xn<b,试证：在(a,b)内存在。使得

N*_f(Jj)+/(必)+…+/(七)

小)--------------„♦

标准答案：因为f(x)在⑶b]上连续，所以m"(x)0M,其中m,M分别为f(x)在

[a,b]上的最小值和最大值.则对于任意xE[a,b]Wm<f(xi)<M,①mSf(x2)WM,

②m</(xn)&M‘®①+②+..+

@)+f(x2)+...+fi［xn)<nM,故

加(石)+/(%)+…+f

〃由介值定理可知存在&&a,b),使得

/(»=/5)H-----b/(K)

n

知识点解析：暂无解析

11-Xln(l+工)

3、证明：当OVxVl时，V1+xarcsinx

标准答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)S-1"arcsinz,/(0)=0f(x)=|n(1+x)+国

arcsinx>O(O<x<1),由

知识点解析：

J；7Z<In"？等价于(1+Gln(l十］)>-./arcsine

V1十］arcsino-

4、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知ni，项,月3是它的三个解向

2

32

，女+“3

43

-4-J求该方程组的通解.

量，且5

标准答案：设该非齐次方程组为Ax二b,因为r(A)=3,则n—r(A)=4—3=1,故其

对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量.中，2内3均为方程组的解，因

此齐次线性方程组Ax=0的一个非零解为

3

4

3=2/-(功+"3)=(V)-%)+(7-)=

5

%」故此方程组的通解

lim[1+/(x)

5、设f(x)在x=0处n(n?2)阶可导且x-0=e4,求f(0),f(0),

苻)(0).

_£7ln[I♦/(>)J

lim[1+/(x)I*7=lime

标准答案：1)先转化已知条件.由一。xi=e‘知

lim—ln[1+/(«)]=4=limlnfI+/(«)]=0・

a>0x"

从而liW(x)=(0，=V(0)=0.

"l〃°)再用当x—0时的等

../(x)

uim-------

价无穷小因子替换ln[l+f(x)]〜f(x),可得-—=4.2)用o(l)表示当x-0时的无

/(X)

穷小量，由当x-0时的极限与无穷小的关系=4+0(1),并利用x%(l)=o(xn)可得

f(x)=4xn+o(xn).从而由泰勒公式的唯一性即知f(0)=0,『(0)=0,…，f0「i)(o)=o,

尸)(0)

M=4,故苻)(())=4n!.

知识点解析：暂无解析

6、设热水瓶内热水温度为T,室内温度为To,t为时间(以小时为单位).根据牛顿

冷却定律知：热水温度下降的速率与T-To成正比.又设To=20%,当1=0时，

T=100℃,并知24小时后水瓶内温度为50久，问几小时后瓶内温度为95K?

dT

标准答案：温度变化的速率即示，牛顿冷却定律给出了这个变化率满足的条件，

dr

写出来它就是温度T所满足的微分方程：^=-k(T-T0),其中k为比例常数，且

k>0.其通解为T=To+Ce大.再由题设:To=2O,T(0)=100,T(24)=50,所以

flOO=20+C,1

®=C=80,A=3(38-ln3)・

150=20+Ce-24这样，温度T=20+80

」(MB-InD，24(316-InlS)

e：4n'n\若T=95,则匚-38-—=1.58,即在1.58小时后热水的温度降

为95℃.

知识点解析：暂无解析

7、设z=f(u,v),u=(p(],y),v=\|/(x，y)具有二阶连续偏导数，求复合函数z=

“◊(%一)，v(%，y)]的一阶与二阶偏导薮•

-=/；亚包亚"城

标准答案：已求得a”a4dxdy-1dy72dy.下面进一步求

d2zdz

*

.第一步，先对执的表达式用求导的四则运算法则得

(*)

dxoxdxdxdxdx

第二步，再求

《(A)与2(A)、r

力加2.这里f(U,V)对中间变量U,V的导数即而仍

然是u,v的函数，而u,v还是％,y的函数，它们的复合仍是右y的函数，因而

2(广33/力

还要用复合函数求导法求决即

瓢;)=(♦噂+/'),初”仿冷勿勤第三步，将

它们代入(*)式得

土向野+2%鬻+础//君+/；襄.(…

d2zd2z

用类似方法可求得打2'a的.

知识点解析：暂无解析

8、设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数，其中f和

dydz

F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz'石

标准答案：z=xf(x+y)及F(x,y,z)=0两边对x求导数，得

.=，(工+，)+4(i+y)(l+.)

〈

匕+F「黑+F芸=0

施省亚-</+x/z)F\+F\dz=+-工f'F]

f，

附付dz一工『F；+F\—'dzxfF\+Fy

知识点解析：暂无解析

9、设f(x,y),(p(x,y)在点Po(xo，yo)的某邻域有连续的一阶偏导数且优y(x0,

yo)/O.若Po(xo，yo)是二元函数z=f(x,y)在条件(p(x,y)=0下的极值点，则

/：(&)/；(%)c

=o,

*(%)%(%)(7.9)

3(。0)=°

r/；(P0)+A“PQ)=0,

o/；(Po)+人*(&)=0,

L(^o)=o.

证明条件极值点的必要条件，并说明几何意义.

标准答案：由所设条件，(p(x,y)=0在x=xo的某邻域确定隐函数y=y(x)满足

yo=y(xo)»于是Po(xo,yo)是Z=f(x,y)在条件(p(x,y)=0下的极值点=>z=f(x,y(x))

Fxl

在x=xo取极值fx(xo,yo)+fy(xo,yo)y'(xo)=O.①又由(p(x,y(x))=0,两边

求导得(p'x(xo,yo)+(p'y(xo，yo)y'(xo)=O,解得y'(xo)=・(p'x(x(),yo)/s'y(xo,

yo).②将②式代入仓式得f\(xo，yo)-f\(xo，yo)*(xo，yo)/(p'y(xo，yo)=O.因

此在Oxy平面上看，(p(x,y)=0是一条曲线,它在P()(x(),yo)的法向量是((p'x(Po)，

<p'y(Po))，而f(x,y)=f(xo，yo)是一条等高线，它在Po的法向量是(「x(Po)，

ry(Po))»(7.9)式表示这两个法向量平行，丁是曲线(p(x,y)=。与等高线f(x,

y)=f(Po)在点Po处相切.

知识点解析：暂无解析

f/Iyr21d的

10、求1=D其中D：IXI<1,0<y<2.

y--,yx2,

标准答案：在积分区域D上被积函数分块表示为|y-x2/一九”

(x,y)GD,因此要将D分块，用分块积分法.又D关于y轴对称，被积函数关于

x为偶函数，记D尸{(x,y)I(x,y)GD,x>0,y>x2),D2={(x,y)I(x,y)GD,

/=2,y/y-x2dxdy+2J-/x2-ydxdy

Di%

=21回:6F+2庙：a2-ydy

X=怎川,4尸？3J,1

=====-z-2Jcost•2,cos疝+—

3Jo3

16fT4.1,,1ir5

x>0,y<x^J,于是3Jo323

知识点解析：暂无解析

11、设f(x)连续，f(0)=l,令F(f)=/・/£Jf(/+y2)dxdy(tK)),求F”(0).

标准答案:令％=rcos。，y=rsinO,则F⑴=Jo27tdeJdrf(r2)dr=27rJ()ir(r2)dr,因为f(%)

连续，所以P(t)=2mf(t2)且F，(O)=O,于是F〃(0)=

］而下(史一.3=.2寸3)

<•<>*'—o'=2肝(0)=2兀.

知识点解析：暂无解析

12、求函数z=xy(4—X—y)在x=l,y=0,x+y=6所围闭区域D上的最大值与最小

值.

标准答案：T3'3/27,金仙⑶3尸一18

知识点解析：暂无解析

设A是3x4阶矩阵且r(A)=l,设(1,-2,1,2)T,(1,0,5,2)T,(-1,2,0,

1)T,(2,-4,3,a+l)T皆为AX=0的解.

13、求常数a；

标准答案：因为r(A)=l,所以方程组AX=0的基础解系含有三个线性无关的解向

量，故(1,-2,1,2)T,(1,0,5,2)T,(-1,2,0,1)T,(2,-4,3,a+l)T线性相

11-12

-202-4

1503

关，即221a4-1=0,解得a=6.

知识点解析：暂无解析

14、求方程组AX=0的通解.

标准答案：因为(1,-2,1,2)T,(1,0,5,2)T,(-1,2,0,1)丁线性无关，所以

TT

方程组AX=0的通解为X=ki(l,-2,1,2)+k2(h0,5,2)+k3(-l,2,0,

T

l)(ki，k2,k3为任意常数).

知识点解析：暂无解析

标准答案：

J中业小皿-皿田=修-小工=苧+C.

知识点解析：暂无解析

16、设f(u,u)具有二阶连续偏导数，且满足九(u,1))+后(u,i))=uu,求y=e

2xf(x,x)所满足的一阶微分方程，并求其通解.

2x

标准答案：y'+2y=x2「2x,y=(3+C)e*

知识点解析：暂无解析

17、A,B均是n阶矩阵，且AB=A+B.证明：A—E可逆，并求(A—E)一1

标准答案：因AB=A+B,BPAB—A—B=0,AB—A—B+E=E,A(B—E)—(B-

E)=E,即(A—E)(B—E)=E,故A—E可逆，且(A—E),=B—E.

知识点解析：暂无解析

18.设f(x)在⑶b］上连续且单调增加，证明J>")"》审1

f(x)dx.

、人，(“一妥)［八-一/(审)］因为付在⑶b］

标准答案：方法一令(p(x)='

上单调增加，所以

j*p(«r)dx10,

而Id")"=f[一中)[fG)一(十)]业

=f1一号)八外北(审)f［一审)改=［1—华)人力击

=Jx/(x)dx-J/(x)dx,

故Jx/(x)dr29：/(x)dx.

方法二令叭工)=『了(力山-

f显然<p(a)=0.

夕'(Z)=x/(z)—yj-a)/(x)—j/(t)dz

=4[J/(力&一J/(/)d/]=yjC/(x)—/(z)]dz20

由叱h/7得夕⑹>3(a)=0，所以广了八.业》空速「“.也

\(p\X)eU(a£x£b)J•LJ.

知识点解析：暂无解析

19、求下列函数的间断点，并判断间断点的类

⑴尸小⑵尸点■3

⑶、=誓1

1=]

X<1x<0

14/V2

〔1+/x=0

2。

型.x>0

解：（Dy=《工，＞=/G）

在“。二一2处,/Cr）没有定义

・・・%=-2是y=1昂的间断点.为第二类间断点.

⑵k点匕=殍会上

在%=1,4|=2处•/(“)没有定义

・•・Rn1和回■2是y9，记展的间断点,其中工。-1为第一类可去向

断点，币=2为第二类间断点.

(3)>=学=/(x)

在4-0处,/Cr)没有定义

・•・xo=0是y=等的间断点，型第一类可去间断点.

H+xx#1

(4)y=/(x)=

10x=»1

lim/(x)=lim(l+x)=2,而/(I)-0#lim/(x)

LI

1-x1*]

=l为y=J1-4Z的间断点,是第一类可去间断点.

0x-1

0z<l

(5)y=/(T)=«2H+11&Z<2

1+x22。

lim/(x)=limO=0«limf(I)=lim(2j-4-1)=3

r->l-r-*l+i~*1+

Vlim/(x)=lim/(z)

•广

:.不存在