绝对强的考研数学

高等数学部分易混淆概念

第一章：函数与极限

一、数列极限大小的判断

例1:判断命题是否正确.

若，且序列的极限存在.

解答：不正确.在题设下只能保证，不能保证.例如：，，而.

例2.选择题

设，旦（）

.A.存在且等于….…B.存在但不一定等于零

.C.不一定存…..…D.一定不存在

答：选项C正确

.分析：若，由夹逼定理可得,故不选A与D.

取，则，且，但不存在.所以B选项不正确，因此选C.

例3.设（）

.A.都收敛于.…•…B.都收敛，但不一定收敛于

.C.可能收敛，也可能发...D.都发散

答：选项A正确.

分析：由于，得，又由及夹逼定理得

lim（a-x“）=O

因此.，再利用得.所以选项A.

二、无界与无穷大

无界：设函数的定义域为，如果存在正数,使得

I，/,（.¥）!<MXfxwXuD

则称函数在上有界，如果这样的不存在,就成函数在上无界：也就是说如果对于任何正数.

总存在，使，那么函数在上无界.

无穷大：设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）.如果对于任意给定的

正数（不论它多么大）.总存在正数（或正数）,只要适合不等式（或）,对应的函数值总满

足不等式

则称函数为当（或〉时的无穷大.

①例4：下列叙述正确的是：②

②如果在某邻域内无界，则

如果，则在某邻域内无界

解析：举反例说明.设，令，当时，，而

limf（x）=liin（2/?^+—）=+oo

也n"TP2

lim/（”）=0

故在邻域无界，但时不是无穷大量，则①不正确.

由定义，无穷大必无界，故②正确.

结论：无穷大必无界.而无界未必无穷大.

三、函数极限不存在了极限是无穷大

当（或）时的无穷大的函数，按忸数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性

态，我们也说“函数的极限是无穷大”.但极限不存在并不代表其极限是无穷大.

例5：函数，当时的极限不存在.

四、如果limf(x)=O不能退出lim—!—=oo

XT.sAfef(x)

例6:.则，但由于在的任一邻域的无理点均没有定义、故无法讨论在的极限.

结论：如果，且在的某一去心邻域内满足，则.反之.为无穷大则为无穷小。

五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意:自变量取正无穷大和负无

穷大时极限是否相等。

例7.求极限

解：，因而时极限不存在。

.因而时极限不存在。

六、使用等价无穷小求极限时要注意：

（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的.故统一不

用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。

（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换

例8:求极限

分析■：若将写成,再用等价无穷小替换就会导致错误。

分析二：用泰勒公式

1/1、

x/T+x+\J\~X=(1+-X+22X2+))

22!

11

二(z一力

4-(1--X+22x2+。，））-2

22;

-x2+o(x2)

4

1,/,、

--x-+o(x-)

原式:口~;------

4

例9:求极限

解：本题切忌将用等价代换，导致结果为1。

sinxsinzr八

hm----=-----=0

Ix冗

七、函数连续性的判断

（1）设在间断.在连续.则在间断。而在可能连续。

例io.设..则在间断.在连续.在连续。

若设，在间断，但在均连续。

（2）”/（幻在/点连续”是“|八刈在餐点连续”的充分不必要条件。

分析：由“若，则”可得“如果，则”，因此，在点连续，则在点连续。再由例10可得.

在点连续并不能推出在点连续。

(3)在连遭，在连续，则在连续。其余结论均不一定成立。

第二章导数与微分

一、函数可导性与连续性的关系

可导必连续，连续不一定可导。

例11.在连读，在处不可导。

二、与|/(尤)|可导性的关系

(】)设，在连续，则在可导是在可导的充要条件。

(2)设，则是在可导的充要条件。

三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论

设,在连续，但不可导，又存在,则是在可导的充要条件。

分析：若，由定义

反之，若存在，则必有。用反证法，假设，则由商的求导法则知在可导，与假设矛盾。

利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。

四、在某点存在左右导数时原函数的性质

(I)设在处存在左、右导数，若相等则在处可导：若不等，则在连续。

(2)如果在内连续.，3设则在处必可导口。

若没有如果在内连续的条件，即设，则得不到任何结论。

例II.，显然设，但，，因此极限不存在，从而在处不连续不可导。

第二章微分中值定理与导数的应用

一、若lim/'(x)=4,(4H0,可以取8),则lim/(x)=oo

X—»+Q0

若,不妨设.则，再由微分中值定理

/(X)=/(X)+f'C)(x-X)(x>X,^e(X,A-))

A

=>f(x)>f(X)+-(x-X)(x>X)=>

2

同理，当时，

若，再由微分中值定理

/(A)=/(*)+r/)(x-X)(x>X^e(X,x))

=>f(x)>f(X)+(x-X)(x>X)=>limf(x)=+a>

X->4<€»

同理可证时，必有

第八章多元函数微分法及其应用

8.1多元函数的基本概念

1.,，使得当，且时，有，那么成立了吗？

成立,与原来的极限差异只是描述动点p(苍y)与定点Po(/，N))的接近程度的方法不一样，这里采

用的是点的矩形邻域，，而不是常用的圆邻域，事实上这两种定义是等价的.

2.若上题条件中的条件略去，函数就在连续吗?为什么？

如果(x,y)工(%为)条件没有，说明了(x()Jo)有定义，并旦*0，%)包含在该点的任何邦域内，由

此对VCAO,都有—川Ye,从而A=/(%%),因此我们得到

limf(x,y)=A=/(x%),即函数在(xy°)点连续.

XT.%0Q

b

3.多元函数的极限计算可以用洛必塔法则吗?为什么？

不可以，因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.

8.2偏导数

1.已知，求

vfy=InV

令x+y=〃，e=^那么解出工，丁得〈

[X=w-InM

所以/(«,v)=X二〃,v).y(w,v)=(it-Inv)2.lnv

或者/(〃,v)=(u-Inv)2.lny

8.3全微分极其应用

1.写出多元函数连续，偏导存在,可微之间的关系

偏导数/：,火连续=z可微n2=/(用)，)连续=/(.%)，)极限存在

偏导数£'连续n偏导数£,/：存在

2.判断二元函数在原点处是否可微.

对于函数/(x,y),先计算两个偏导数：

O)O)

r(O,O)=lim^-^=lim^=O

Av->oAyA.V->OAx

工’(。,0)=出3(°©')7。°)=如心=0

Ar->0△)，>0Ay

HmA)-/(0,0)-£(0.0步一/；(0,0)Ay=.2

::梵>/(Ar)2+(Ay)2；卷[(Ai)]+(△)，)1不

r(Ax)2

令Ay=k^x,则上式为lim-----------=:%妈身二°

20(1+二再冽；(]+

因而/(.%)，)在原点处可微.

&4多元复合函数的求导法则

1.设，可微，求.

dz=八上）〃（上）=/，（二）（,—，）-*+3）

x+yx+yx+y（x+y）2

=八言高…*)高产

8.5隐函数的求导

1.设x=x()，,z),y=Nx,z),z=z(x,y)都是由方程尸(x,y,z)=O所确定的具有连续偏导数

dxdydz,

的函数，证明——.——=-1.

oyozox

对于方程尸(x,y,z)=。，如果他满足隐函数条件.例如，具有连续偏导数且尸:工()，则由方程

F(x,yz)=0可以确定函数x=x(y,z),即工是y,z的函数，而y,z是自变量,此时具有偏导

如dxF；dxF.,

dyF：dzF：

dyF'~dyoz.

同理，—=一一二，所以三~.士.丁二一1.

dzF，Syozox

8.6多元函数的极值及其求法

1.设f(x,y)在点〃()(七,为)处具有偏导数,若//(x,y)=