六年级几何篇练习题集 (三)

附五大模型概念及用法

一、等积变换模型

①4底那高的两个三角形面积相等：

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如左图&

:S2=a:b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；

反之，如果S"6=S,wm，则可知直线AB平行于CO.

④正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

二、鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比

如图在△A6C中，DE分别是AR4C上的点如图⑴（或。在物的延长线上，E在AC上）,

则Sa"S△皿把=（A8xAC）:（ADxAE）

图⑴图⑵

推理过程连接8E,再利用等积变换模型即可

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）：

XX

@5,:52=54:S3^#S1S3=5,54@AO:OC=（51+S2）:（54+S3）

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四

边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）：

①工Ju/：/

22

②S、:S：:S2:S4=a:b:ab:ab；

③梯形S的对应份数为（a+b）2.

四、相似模型

相似三角形性质：

（金字塔模型）

（沙漏模型）

小ADAEDEAF

Q）------=------=-------=-------：

ABACBCAG

②S/Mw=人尸"AG.

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相

似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

五、燕尾定理模型

S^ARG：S^AGC=S^RGE：S^EGC=BE：ECi

SdBGA：S"GC=S^AGF：S^FGC=AF：FC；

SbAGC：S&B€G=S△ADG：S&DGB=AD：。B；

练习题集：

1.（第3届华杯赛试题）

一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积

的0.15倍，黄色三角形的面积是21平方厘米.问：长方形的面积是平方厘米.

（2007年六年级希望杯二试试题）

如图，三角形田地中有两条小路4£和6,交叉处为。，张大伯常走这两条小路，他知道

。厂=OC,且AD=2DE.则两块地ACF和CFB的面积比是.

3.两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3,7,7,则

阴影四边形的面积是多少？

4.如图，已知长方形4无产的面积16,三角形4汨的面积是3,三角形八C尸的面积是4,

那么三角形ABC的面积是多少？

5.（北京市第一届“迎春杯”刊赛）

如图.将三角形A5C的/U?边延长1倍到。，3C边延长2倍到E,C4边延长3倍到如果三

角形ABC的面积等于1,那么三角形DEF的面积是.

如图，在中，延长AB至。，使用延长至E,使CE='/3C,/是AC的中点，若

6.

2

△4BC的面积是2,则△£>£1〃的面积是多少？

7.如图，在AA8C中，已知M、N分别在边AC、BC上,BM与AN

相交于。，若A4OM、AAa）和的面积分别是3、2、1,则

A/WVC的面积是.

8.四边形AACO的对角线AC与“。交于点O（如图所示）.如果三

角形/WD的面积等于三角形AC。的面积的1，且AO=2,

3

DO=3,那么CO的长度是。。的长度的倍・

9.如右图，已知。是8C中点，E是CD的中点，尸是AC的中点，

△4HC由这6部分组成，其中⑵比⑸大6平方厘米，那么AA4C的面积八

是多少平方厘米？

10.如右图，长方形A4C及中，EF=16,FG=9,求AG的长.

11.如图，长方形ABC。中，E为4）中点，AF与BE、瓦>分别交于

G、H,已知HF=3cm,求4G.A

12.图中四边形/WC。是边长为12s?的正方形，从G到正方

形顶点C、。连成

一个三角形，已知这个三角形在上截得的所长度为

4。八，那么三角形B

G/X:的面积是多少？

13.如右图，三角形ABC中，BQ:QC=4:9,CE:EA=4:3,求4F/8.

14.如图，三角形A8C的面积是1,BD=DE=EC,

CF=FG=GAt三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是

多少?

15.如右图，AABC中，G是AC的中点，。、E、尸是边上的四等分点，4）与6G文于AF

与8G交于N,已知△A8W的面积比四边形歹CGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少

平方厘米？

16.如图，在正方形A8CD中，E、产分别在BC与8上，且CE=2BE,CF=2DF,连接M,

DE,相交于点G,过G作MW,PQ得到两个正方形MGQA和正方形PCNG,设正方形MGQA的

面积为正方形夕QVG的面积为52,则*:§2=.

17.如图，正方形A3C。的边长为6,AE=1.5,CF=2.长方形E"G〃的面积为.

18.如图，S,„AHC=1,BC=5BD,AC=4ECfDG=GS=SE,AF=FG.求S,小L

19.如图，在长方形AHC/）中，AA=6,4）=2,AE=EF=FB,求阴影部分的面积.

20.如右图，已知BD=DC,EC=2AEt三角形A8C的面积是30,求阴影部分面积.

21.（第六届希望杯五年级一试）

如图，正方形ABCO的边长是12厘米，E点在CD上,

8O_LAE于。，。8长9厘米，则AE长_________厘米。

22.如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为空白

部分面积为$2,那么这两个部分的面积之比是多少？（圆周率取

3.14）

23.如图中三个圆的半径都是5。〃，三个圆两两相交于圆心.求阴影部

分的面积和.（圆周率取3.14）

24.（2008年武汉明心奥数挑战赛）

如图所示，AA3C中，ZABC=90°,AB=3f8c=5,以AC为一边向A/WC外作正方

形ACDE,中心为O,求AO8C的面积.

25.如图，三角形ABC是等腰直角三角形，P是三角形外的一点，其中尸C=90。，A尸二10cm,求四

边形A8PC的面积.

26.（2008年全国小学数学资优生水平测试）

如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形ABE,NAEB=9O0,AC.BD交于

O.已知AE、BE的长分别为3cm、5cm＞求三角形OBE的面积.

27.长方形相。。的面积为36。/,E、F、G为各边中点，〃为AD边上任意一点，问阴影部分面积是

多少？

28.（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高

2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？（写出符合要求的全部答案）

29.用10块长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?

30.（05年武汉明心杯数学挑战赛）

如图所示，一个5x5x5的立方体，在一个方向上开有1x1x5的孔，在另一个方向上开有2x1x5的

孔，在第三个方向上开有3x1x5的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？

S,=16-3-4-2.5=6.5

5.（北京市第一届“迎春杯”刊赛）

如图.将三角形ABC的回边延长1倍到D,AC边延长2倍到E,C1边延长3倍到户.如果三

角形ABC的面积等于1,那么三角形DEF的面积是.

【分析】（法1）连接AE、CD.

••乙AHC

7»S4ABe=1,

°&DBC

,•S1次=1,

同理可得其它，最后三角形的面积=18.

（法2）用共角定理:在&ABC和KFE中，ZACB与NFCE互补,

sACBC1x11

•••\'w"r1

S^FCEFCCE~^2~S

又S,“1,所以SAr"仃Cr=8.

同理可得Sj»=6,%配=3・

所以SqEF=S^ABC+S,RE+SJDF+=1+8+6+3=18«

6.如图，在△ABC中，延长AB至。，使B£>=AB,延长8C至E,使CE=，BC,尸是AC的中

2

点，若△/$（?的面积是2,则△£>£户的面积是多少？

分析：（法1）利用共角定理

•・•在△ABC和△CfE中，NAC8与/4石互补，

.S^ABC_AC£?C_2X2_4

-

S4FCEFCCE1x1I'

又SadA"d=2',所以S4t.FCE=0.5.

同理可得SAADF=2,SgDE=3•

所以$△"£/=S&ABC+SMEF+一$△〃）「=2+0.5+3—2=3.5

7.如图，在A/WC中，已知M、N分别在边AC、BC上,BM

与4V相交于O,若&4。仞、AAAO和MON的面积分别是3、

2、1,则AM7VC的面积是.

【分析】这道题给出的条件较少.需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.

S&AOM*SgoN_3x1_3

根据蝴蝶定理得S^ON

22

设Si=x,根据共边定理我们可以得

3

S^ANM_SMBM___2_3+2

解得x=22.5.

SWNCSQ《BCX]+3十x

2'

8.四边形ABCO的对角线AC与80交于点O（如图所示）.如果三

角形A4D的面积等于三角形8CO的面积的1，且AO=2,

3

1X）=3t那么。。的长度是。。的长度的________倍.

［分析］对于四边形A5CD为任意四边彩，两种处理方法：

1.利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；

2.通过画辅助线来改变任意四边形.

根据题目中给出条件义.皿=1：3,

可得AO:OC=1:304=2,所以OC=2x3=6故OC:。。=6:3=2:1.

9.如右图，已知。是8c中点，E是CD的中点，户是4c的中点，zXABC由这6部分组成，其中⑵

比⑸大6平方厘米，那么AA3C的面积是多少平方厘米？

【分析】解法一:因为E是ZX?中点，尸为AC中点，有4)=2压且正平行于4),则四边形4)比'

为梯形.

在梯形ADEF中有(3)=(4),(2)x(5)=(3)x(4),(2):(5)=AD2:FE2=4.

又已知(2)—(5)=6,所以6)=6+(4-1)=2,(2)所5)x4=8;

所以(2)x(5)=(4)x(3)=2x8=16,而(3)=(4),所以(3)=⑷=4,梯形AO砂的面积为⑵、⑶、⑷、⑸四

块图形的面积和，为8+4+4+2=18.

有ACEF与ADEF的面枳相等,为2i4=6.

所以AA/JC面积为18+6=24.

因为。是8C中点，所以A4BC的面积是：5乂依=2sMe=2x24=48(平方厘米).

解法二:如右图所示：

题上给出了Sg0G=S".田+6,所以5必%=S8炉+6;A.

因为E是CO的中点，尸是AC的中点，/Vv\F

由共边定理得：SM)E=SMEC=2xSAECF=2xS^)EF;/\

所以由上面的分析得到：5叱+6=2乂5叱，S»DEF=6",

进一步共边原理可得：

(平方厘米).

S^BC=2x5MDC=4X5M£C=8x=8x6=48

同样这个题目可以用相似模型也能解.

10.如右图，长方形A8CZ)中，所=16,FG=9,求AG的长.

【分析】因为D4〃8E,根据相似三角彩性质知羽=任，又因为DF〃AB,—=—,所以

GRGEGRGA

­=—,AG2=GEFG=25x9=225=152,所以AG=15.

GEGA

11.如图，长方形4ACD中，E为AD中点,AF与BE、4。分别交于G、H,已知4/=5。〃，

HF=3cm,求AG.

【分析】注意三角形AHB和三色形DHF相似,利用三角形相似的性质可

以得到AB:DF=AH:HF=5:3,

作EO垂直于4),且交A厂于点O,又因为E为4)中点，则有OE:O9=1:2,所以

/A«:OE=5:-=10:3,八/

2-

AG:GO=10:3,40=-4〃=-x(5+3)=4,

4x—=

12.图中四边形/WC。是边长为12a〃的正方形，从G到正方形顶点。、。连成

一个三角形，已知这个三角形在上截得的所长度为，那么三角形

GDC的面积是多少？

【分析】根据题中条件，我们可以直接判断出与DC平行，从而三角形G所与三角形G0C

相似，这样，我们就可以用相似三角彩的性质来解决问题.

做GM垂直力C交人△于N,因为EF//DC,所以三角形GET7与三角形GOC相似，且相似比为

EF;DC=4:［2=［：3,

由此我们可以得GN:GM=1:3,又改为MN=GM—GN,且MN=12cm,

所以仞V:GM=2:3,得GM=18,

故三角形GDC的面积为^X12X18=108（C7M2）.

13.如右图，三角形A8C中，8O:QC=4:9,CE:EA=4:3f求4

【分析】根据燕尾定理得S△八5：S△八以=30:8=4:9=12:27

（都有AM。/?的面枳要统一，所以找最小公倍数）F/o\

所以S△的：B"=27:16=4F:阳

14.如图，三角形A6C的面积是1,BD=DE=EC,/i~D

CF=FG=GA,三角形A3C被分成9部分，请写出这9部分的面积各是

多少？

［分析］设3G与AD交于点P,8G与4E交于点Q,B尸与A。交于点M,BF与AE交于点、N.连接CR

CQ,CM,CN.

根据燕尾定理，S^ABP:S^CBP=AG:GC=\:2,S^ABP:S^ACP=BD:CD=\:2,设

§△,,=1（份），则S.“=l+2+2=5（份），所以5'”即=&

21I?13I21

同理可得，=一7,ZA/、t/RKNV=一2，而SZ,、-iA/loBUG=一3，所以SZ，"3/lr,=——75=—35,S.=——3[=—2]

同理，SMPM=~Sz\8小，="，所以S四边形股的=3一不一京=而

JJ414/JJ/V/

&_139_5_1151_111_5

J四边形MYED-3-35-70-42*3四边形FA"»四边形FGN。一鸟一天一小一七

15.如右图，AABC中，G是AC的中点，D、E、产是3c边上的四等分点，4）与3G交于

M,AF与BG交于N,已知△制/的面积比四边形ECGN的面积大7.2平方厘米，则八钻。

的面积是多少平方厘米？

【分析】连接CM、CN.

根据燕尾定理，S^ABM:SMBM=AG:GC=1:1,S&ABM：S“c“=RD:CD=1:3,所以

'△ARM=q3△人改；

再根据燕尾定理，S&ABN：S&CBN=AG:GC=1：1,所以S&RBN:S^BN='^△（W*S^BN=4：3,所以

0I4?

4V:N/=4:3,那么q^=-x——=一,所以

S^AFC24+37

根据题意，有泣谢=72,可得S△枷=336（平方厘米）

JZo

16.如图，在正方形A8CD中，E、尸分别在8c与CD上，且CE=2BE,CF=2DF,连接M,

DE,相交于点G,过G作MN,PQ得到两个正方形MGQA和正方形PC7VG,设正方形

MGQA的面积为其，正方形PCNG的面积为邑，则5：52=.

【分析】解法一:求两个正方形的面积比，实际上就是求QG:GP,根据

正方形的性质，可以得到：QG:GP=DG:GE;

连接GC,根据。尸=2QF,5^:5^=1:2,

而S^ECG=S"e（对称）,所以得Swc:S»e=（2+1）:2=3:2,

即DG:GE=3:2,所及QQ;GP=DG:GE=3:2

所以5：52=32：2?=9:4

解法二:连接班＞、瓦'.设正方形边长为3,则CE=CF=2,

BE=DF=1,所以，EF2=22+22=8,BD2=32+32=18.因为，

EF2BD2=SX18=I44=122,所以，EFBD=\2.

由梯心蝴蝶无理，得S&GEF•^ABDG,Sg/G•%3CE

=EF2:BD~:EFBD：EF-=8:18:12:12=4:9:6:6

=

所以»S&JEG4+9t6+6边形BDFE=石S四边形88E•

9]5

因为SAWV)=3x3-r2=—,SA「FF=2x2xs=2,所以，S=S—S=3,所以，S、*(；

N乙乙Rr)FrARrnACFF

=—x-=-.因为正方形PCMG的边长等于8EG底边跖对应的高，所以，OV=-x2-l=-,

252555

xrn-i-6-9m-Ac-9.9-81S_6,6_366pc.c_81.36_cr

AZO-3--------.因为51—x--------S,—x-------------，所以，Si♦Sy-------.—=9•4.

555525•5525-2525

17.如图，正方形ABCO的边长为6,AE=\.5fCF=2.长方形EPG"的面积为.

【分析】连接。瓦DF,则长方影E”G〃的面积是三角彩。E"面积的二倍.

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积

所=6x6—1.5x6+2—2x6+2—4.5x4+2=16.5,所以长方形EFGH面秘、为33

18.如图，SAABC=1,BC=5BD,AC=4ECfDG=GS=SEfAF=FG,求S.s.

【分析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是“当两个三角形

有一个角相等或互补时，这两个三角彩的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运

用，也可以看作是找点、，最妙的是其中包含了找点的3种情况,最后求得打侬的面积为

432111

=—X—X—X—X-=•

5432210

19.如图，在长方形八BCD中，八8=6,AD=2,AE=EF=FB,求阴影部分的面积.

【分析】如图，连接DE,。石将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角彩A£。的面积为

2x64-3-5-2=2.

3

由于EF:DC=1:3,根据梯形蝴蝶定理，SDEO：S8下。=3：1，所以S诋）=-5，而

S.DEF=S.ADE=2,所鼠S/）田=3X2=1.5，阴影部分的面积为2+1.5=3.5・

20.如右图，已知BD=DC,EC=2AE,三角形ABC的面积是30,求阴影部分面积.

分析：连接

因为80=DC,EC=2AE,三角形ABC的面积是30,

所以SMBI）=^SMlfC=\5.

根据燕尾定理，^-=—=-,工2人打尸BD

CD

SRCBFEC2S\1ACF

所以Sg"=；SMBC=75，S岫m=15-7.5=7.5.

所以阴影部分面积是30-10-7.5=12.5.

21.（第六届希望杯五年级一试）

如图，正方形ABCD的边长是12厘米，E点在CD上,BO_LAE于。，08长9厘米，则AE

长__________厘米。

【分析】在四边形OECSW,Z2+ZOEC=180,因为N3+NO£：C=180,所以Z3=N2,Z1=Z/14C,

所以‘tl=器'即TI=V'所以4石=16

22.如图，大圆半径为小圆的直径，己知图中阴影部分面积为耳，空白部分面积为S2,那么这两个部分的

面积之比是多少？(圆周率取3.14)

【分析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方

形.设大圆半径为尸，则S2=2/，,所以S1：S?=(3.14-2):2=57:100.

移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系.

23.如图中三个圆的半径都是5cm,三个圆两两相交于圆心.求阴影部分的面积和.(圆周率取

3.14)

［分析］将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为5x5x3.14+2=39.25。7

24.(2008年武汉明心奥数挑战赛)

如图所示，AA4C中，Z4BC=90°,A8=3,BC=5,以AC为一边向A/WC外作正方

形ACDE,中心为O,求AOHC的面积.

解析：如图，将△Q45沿着。点顺时针旋转90。，到达AOC/的位置.

由于NABC=90。，ZAOC=90°,所以NOAB+NOC5=180°.宿NOCF=NOAB,

所以NOC/+NOCB=180。，那么4、C、尸三点在一条直线上.

由千OB=OF,ZBOF=ZAOC=90°,所以MO厂是等腰直角三角形，且斜边8/为5+3=8,

所以它的面积为8?x，=16.

4

根据面积比例模型，A03C的面积为16x2=10.

8

25.如图，三角形A6C是等腰直角三角形，P是三角形外的一点，其中NBPC=90°,

A尸二10cm,求四边形A8PC的面积.

［分析］因为N84C和N3PC都是直角，和为180。，所以4胪和NACP的和也为180。，可以旋转三角

形APC,使4c和4?重合，则四边形的面积转化为等腰直用三角形AP'P,面积为

10x10+2=50平方厘米.

26.(2008年全国小学数学资优生水平测试)

如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形AM,ZAEB=90°,AC、BD交于

O.己知Afi：、他的长分别为3cm、5cm,求三角形OBE的面积.

［分析］如图，连接OE,以A点为中心，将AADE顺时针旋转90。到A4B尸的位置.

那么/£4/=/石钻+/弘产=/£钻+切场=90°,而/4E8也是90。，所以四边形A所石是直

角梯形，且Ab=AE=3,

所以梯形人用石的面积为：

(3+5)x3x；=12(cm2).

又因为AABE是直角三角形，根据勾股定理，AB1=AE2+BE2=32+52=34,所以

S*.=36=17(而).

那么5加比=几仍。一)=52\BD-$AFBE=17T2=5(cm*),

2

所以=；S^DE=25(cm)•

27.长方形ABCZ)的面积为36c〃［2,E、F、G为各边中点，”为4)边上任意一点，问阴影部

分面积是多少？

解法一:寻找可利用的条件，连接8”、HC,如下图：

：

可得SAEHB=2SMHB、SgHR~2SACHB、^\DHG~耳,而

即S"：HB+SgHF+S^HG=2(SMHB+^\CHB+S、CHD)=Q*36=18：

而Sg：HB+S^HF+SZ1HG=S阴影+S^BF，

s=1XBEXBF=-X(1XA^)X(1XBC)=-X36=4.5.

J\ERF22228

所以阴影部分的面积是：S阴影=18—=18—4.5=13.5

解法二:特殊点