沪教版动能定理

一、动能

1.动能：物体由于运动而具有的能，叫动能。其表达式为：Ek=-mv\

2.对动能的理解

(1)动能是一个状态量，它与物体的运动状态对应.动能是标量.它只有大小，没有

方向，而且物体的动能总是大于等于零，不会出现负值.

(2)动能是相对的，它与参照物的选取密切相关.如行驶中的汽车上的物品，对汽车

上的乘客，物品动能是零；但对路边的行人，物品的动能就不为零。

二、重力势能

1.重力势能：物体和地球由相对位置决定的能叫重力势能，是物体和地球共有的。表

达式：Ep=mgh,与零势能面的选取有关。

2.对重力势能的理解

(1)重力势能是物体和地球这一系统共同所有，单独一个物体谈不上具有势能.即：

如果没有地球，物体谈不上有重力势能.平时说物体具有多少重力势能，是一种习惯上的简

称.

重力势能是相对的，它随参考点的选择不同而不同，要说明物体具有多少重力势能，首

先要指明参考点(即零点).

(2)重力势能是标量，它没有方向.但是重力势能有正、负.此处正、负不是表示方

向，而是表示比零点的能量状态高还是低.势能大于零表示比零点的能量状态高，势能小于

零表示比零点的能量状态低.零点的选择不同虽对势能值表述不同，但对物理过程没有影

响.即势能是相对的，势能的变化是绝对的，势能的变化与零点的选择无关.

(3)重力做功与重力势能

重力做正功，物体高度下降，重力势能降低；重力做负功，物体高度上升，重力势能升

高.可以证明，重力做功与路径无关，由物体所受的重力和物体初、末位置所在水平面的高

度差决定，即：Wc=mg/\h.所以重力做的功等于重力势能增量的负值，即%=-△%=-

(mghi-mgh\).

三、动能定理

1.动能定理的表述

合外力做的功等于物体动能的变化。(这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包

括重力)。表达式为卬=4£K

动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。实际应用时，后一种表

述比较好操作。不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个

力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功。

2.对外力做功与动能变化关系的理解：

外力对物体做正功，物体的动能增加，这一外力有助于物体的运动，是动力；外力对物

体做负功，物体的动能减少，这一外力是阻碍物体的运动，是阻力，外力对物体做负功往往

又称物体克服阻力做功.功是能量转化的量度，外力对物体做了多少功；就有多少动能与

其它形式的能发生了转化.所以外力对物体所做的功就等于物体动能的变化量.即

W=&£玄.

3.应用动能定理解题的步骤

（1）确定研究对象和研究过程。和动量定理不同，动能定理的研究对象只能是单个物

体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。（原因是：系统内所有内力的总冲

量一定是零，而系统内所有内力做的总功不一定是零）。

（2）对研究对象进行受力分析。（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）。

（3）写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负）。如果研

究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。

（4）写出物体的初、末动能。

（5）按照动能定理列式求解。

J精讲提升

一、动能、重力势能

教法指导：理解物体的动能是标量，与速度的方向无关；重力势能是个相对物理量，它的

大小与零势能面的选取有关，只有重力势能的该变量才与零势能面无关。

【例1］对于质量不变的同i物体,下述说法中正确的是（）

A.动能相等时,速度必然相等B.动能不等时,速度必然不等

C.速度相等时,动能必然相等D.速度不等时,动能必然不等

【解析】动能是标量，没有方向的，速度是矢量，有方向的，动能相等的时候，由于m相等，所以v相等,

这里的v是指速率，不是速度。也就是说，速率相等，方向不同的话速度就不同了，因此A错。同样道理,

速率相等，方向不同就有相同动能，因此D也是错的。

【答案】BC

【变式练习1］关于功和能的下列说法正确的是（）

A.功就是能B.做功的过程就是能量转化的过程

C.功有正功、负功，所以功是矢量D.功是能量转化的量度

【答案】BD

【变式练习2】一个质量为m的物体，分别做下列运动，其动能在运动过程中一定发生变化

的是：()

A.匀速直线运动B.匀变速直线运动

C.平抛运动D.匀速圆周运动

【答案】BC

【例2】如图，桌面离地高为小质量为，〃的小球从离桌面高为”处自由下落，不

计空气阻力，设桌面为零势能面，则小球开始下落处的重力势能()

A.mghB.mgHC.mg(H+h)D.mg(H-h)

【解析】解物体的重力势能，首先要选择零势能面。若以地面为零势能面，则小球开始下落处在零势能面

上面高(H+h)处，故该处的重力势能为mg(H+h)。

【答案】B

【变式练习1】打桩机的重锤质量是250kg,把它提升到离地面15m高处，然后让它自由下

落,当重锤刚要接触地面时其动能为(取g=10m/s2)：()

A.1.25X104JB.2.5X104JC.3.75X104JD.4.0X104J

【答案】c

二、重力势能、重力势能的改变量及重力做功

教法指导：功是实线能量转化的量度，不同性质的力做功时与其对应能量发生转化。重力对

物体做了功，一定会使物体的重力势能发生变化，重力做正功，则物体的重力势能减少，重

力势能转化为其他形式的能量。重力做功与物体移动的路径无关，只跟它的起点位置和终点

位置的竖直高度差有关。

【例3】在离地面80m高处由静止开始释放一质量为0.2kg的小球，不计空气阻力，g取

lOm/s2,以最高点所在水平面为零势能面。求：

(1)第2s末小球的重力势能；(2)第2s内重力势能变化了多少？

【解析】(1)2s末小球下落了h=gt2/2=20m,故重力做功WG=mgh=40J。

由WG=-AEP得:40=-(EP2-EP1)=-EP2,故2s末小球的重力势能为EP2=-40J。

(2)第2s内物体下落的高度为Ah=15m,故重力做功为WG=mgAh=30J。

因此，重力势能变化了AEP=-3()J,即减少了30J.

【答案】(1)-40J；(2)减少了3()J0

【变式练习1】一根长为2m,重为200N的均匀木板放在水平地面上，现将它的一端从地面

提高0.5m,另一端仍搁在地面上，则外力所做的功为()

A.400JB.200JC.100JD.50J

【答案】D

【变式练习2】在水平地面上平铺着〃块相同的砖，每块砖的质量都为相，厚度为”。若将

这〃块砖一块一块地叠放起来，至少需要做多少功？

d_

【答案】n块传平铺在水平地面上时，系统匝心离地的高度为2„当将它们叠放起来时,系统重心离地高

nd

度为2。所以，至少需要做功

W=Ep2-El)inmg■弓-nmgy=^n(n-l)mgd

【变式练习3】一质量分布均匀的不可伸长的绳索重为G,A、B两端固定在水平天花板上，

如图所示，今在绳的最低点C施加一竖直向下的力将绳绷直，在此过程中，绳索AB的重

心位置（）

A.逐渐升高B.逐渐降低

C.先降低后升高D.始终不变飞

【答案】AX

、Z

三、动能定理分析恒力做功TIF

教法指导：直接根据动能定理解题，分析物体受力情况及对初末状态的动能。

【例4】如图所示，质量为根的物块，在恒力下的作用下，沿光滑水平面运动，物块通过

A点和B点的速度分别是以和VB，物块由A运动到B点的过程中，力F对物块做的功W

为（.）,

A.W>^invl一品彘

B.W=]mv9—严就

11

C.W=9~2nw9s

D.由于产的方向未知，W无法求出

【解析】对物块由动能定理得：W=^mvi~^nvA,故选项B正确.

【答案】B

【变式练习1】在足球赛中，红队球员在白队禁区附近主罚定位球，并将球从球门右上

角擦着横梁踢进球门，如图所示.球门高度为/?,足球飞入球门的速度为。，足球的质量为

m,则红队球员将足球踢出时对足球做功W为（不计空气阻力）（）

A.

B.大于mgh+产公

C.小于mgh+^tnv2

D.因为球被踢入球门过程中的运动曲线的形状不确定，所以做功的大小无法确定

【汴案】红队球员将足球踢出时对足球做功W等于足球刚离开脚时的动能Eko,球在空中运

动的过程中，根据动能定理有一根一Eko,由此可知红队球员将足球踢出时对足球

做功W等于mgh+^mv2.

四、动能定理分析变力做功

教法指导：如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其

余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量

也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。

【例5】如图所示，一半径为R的半圆形轨道8C与一水平面相连，C为轨道的最高点,

一质量为m的小球以初速度如从圆形轨道B点进入，沿着圆形轨道运动并恰好通过最高点

C,然后做平抛运动.求：

(1)小球平抛后落回水平面D点的位置距B点的距离；

(2)小球由B点沿着半圆轨道到达C点的过程中，克服轨道摩擦阻力做的功.

\rO

【解析】(1)小球刚好通过C点，由牛顿第二定律明=%

小球做平抛运动，有2R=；gl2,s=vCt

解得小球平抛后落回水平面D点的位置距B点的距离

s=2R.

(2)小球由B点沿着半圆轨道到达C点，由动能定理

11

—mg-2R—Wf=^nivC—^mvO

解得小球克服摩擦阻力做功

15

Wf=^mv0—^ingR.

5

【答案】⑴2R(2)^mv0—^ngR

【变式练习1】如图所示，质量为1kg的物体沿一曲面从A点无初速度滑下，滑至曲面的

最低点B时，下滑的高度为5m,速度为6nVs,则在下滑过程中，物体克服阻力所做的功

为多少?(g取10m/s2)

【答案】设物体克服阻力所做的功为,忏，由动能定理得：

1

mgh-Wf=^mv2-0

解得：Wf=32J

【变式练习2】如图所示，质量为〃?的小车在水平恒力F推动下，从山坡底部A处由静止

起运动至高为A的坡顶8,获得的速度为。，AB的水平距离为s.下列说法中正确的是()

A.小车克服重力所做的功是Mg/z

^2r，

B.合力对小车做的功是亍加2

C.推力对小车做的功是Fs-mgh

D.阻力对小车做的功是3加。2—Fs

【答案】AB

五、动能定理求动摩擦因素

【例6]一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，量

得停止处对开始运动处的水平距离为S,如图8—27,不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用,

并设斜面与水平面对物体的摩擦因数相同.求摩擦因数u

【解析】设该面倾角为a,斜坡长为]，则物体沿斜面下滑时，

重力和摩擦力在斜面上的功分别为WG=tng?•since=mgh,Wfl=

•cosoe.

物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S2,则

Wg="/zmgS2.

对物体在全过程中应用动能定理：IW=AEk.

mglsina-pmgl-cosa—pmgS2=0

得h-pSI-HS2=0.

式中SI为斜面底端与物体初位置间的水平距离.故

h

[1=---------=.

S1+S2S

h__h

Si+S=S

【答案】2

【变式练习11如图所示是一固定在竖直平面内的光滑半圆形轨道ABC,其半径R=01m,

轨道在C处与水平地面相切.在水平地面的。处放一小物块，给它一个水平向左的初速度

oo=4m/s,物块经轨道C2A后，最后又直接落到。点，已知。的距离为x=0.6m,求物

块与地面的动摩擦因数〃.（g取IOm/s2）

【答案】0.25

六、动能定理与汽车启动

【例7】质量为500t的机车以恒定的功率由静止出发，经5min行驶2.25km,速度达到最大

值54km/h,设阻力恒定且取g=10m/s2.求：⑴机车的功率P=?(2)机车的速度为36km/h时

机车的加速度a=?

【解析】(1)以机车为研究对象，机车从静止出发至达速度最大值过程，根据£W=AEk,有

P*t-「s=5mv3(1)

当机车达到最大速度时，l-f.所以

P=F♦vm=f•vm.⑵

联立⑴、⑵式有P=』=3."05W.

p.

(2)由£=——可求出机车受到的阻力

P,

f=—=2.5X1O4N.

Um

当机车速度v=36km/h时机车的牵引力

3.75X105

F3=3.75X104N.

~~10

根据ZF=ma可得机乍v=36km/h时的加速度

F-f_3.75X104-2.5X104

=2,5X10-2m/s2.

m500X103

【答案】(1)P=3.75X105W；(2)a=2.5X102m/s2

【变式练习1]一总质量，〃=30Xl()3kg的列车以恒定功率尸=60XIO?w从车站由静止出

发行驶300s,位移达到4000m,速度达到最大为20m/s,则列车所受的平均阻力为多大？

【答案】3x103N

/•A达标PK”

■(时间30分钟，满分100分，附力口题20分)

一、不定项选择题(每小题至少有一个选项)

1.下列关于运动物体所受合外力做功和动能变化的关系，下列说法中正确的是()

A.如果物体所受合外力为零，则合外力对物体所的功一定为零；

B.如果合外力对物体所做的功为零，则合外力一定为零；

C.物体在合外力作用下做变速运动，动能一定发生变化；

D.物体的动能不变，所受合力一定为零。

2.下列说法正确的是（）

A.某过程中外力的总功等于各力做功的代数之和；

B.外力对物体做的总功等于物体动能的变化；

C.在物体动能不变的过程中，动能定理不适用；

D.动能定理只适用于物体受恒力作用而做加速运动的过程。

3.在光滑的地板上，用水平拉力分别使两个物体由静止获得相同的动能，则（）

A.水平拉力相等B.两物块质量相等

C.两物块速度变化相等D.水平拉力对两物块做功相等

4.质点在恒力作用下从静止开始做直线运动，则此质点任一时刻的动能（）

A.与它通过的位移s成正比B.与它通过的位移s的平方成正比

C.与它运动的时间t成正比D.与它运动的时间的平方成正比

5.一子弹以水平速度/射入一树干中，射入深度为s,设子弹在树中运动所受的摩擦阻力

是恒定的，那么子弹以〃2的速度射入此树干中，射入深度为（）

A.sB.s/2C.s/y/2D.s/4

6.两个物体A、B的质量之比m：01产2：1,二者动能相同，它们和水平桌面的动摩擦因数

相同，则二者在桌面上滑行到停止所经过的距离之比为（）

A.SA:SB=2：1B.SA：SB=1：2C.SA:SB=4：1D.SA：SB=1*4

7.质量为次的金属块，当初速度为的时，在水平桌面上滑行的最大距离为L,如果将金属

块的质量增加到2m,初速度增大到2%,在同一水平面上该金属块最多能滑行的距离为（）

A.LB.2LC.4LD.0.5L

8.一个人站在阳台上，从阳台边缘以相同的速率的,分别把三个质量相同的球竖直上抛、

竖直下抛、水平抛出，不计空气阻力，则比较三球落地时的动能（）

A.上抛球最大B.下抛球最大C.平抛球最大D.三球一样大

9.在离地面高为h处竖直上抛一质量为m的物块，抛出时的速度为玲，当它落到地面时速

度为巧用g表示重力加速度，则此过程中物块克服空气阻力所做的功等于（）

2

A.mgh-^mvB.-Lmv^-mgh

八,1212n,1212

C.mgh+—mv^-—mvD.mgh--mv~—mvQ

10.水平抛出一物体，物体落地时速度的方向与水平面的夹角为。，取地面为参考平面，则

物体刚被抛出时，其重力势能与动能之比为（）

A.sin'6B.cos"0C.tan6D.cot"9

11.将质量为1kg的物体以20m/s的速度竖直向上抛出。当物体落回原处的速率为16m/s,

在此过程中物体克服阻力所做的功大小为（）

A.200JB.128JC.72JD.0J

12.一质量为1kg的物体被人用手由静止向上提升1m,这时物体的速度为2m/s,则下列说

法中正确的是（）

A.手对物体做功12JB.合外力对物体做功12J

C.合外力对物体做功2JD.物体克服重力做功10J

13.物体A和B叠放在光滑水平面上肥=lkg,mil=2kg,B上作用一个3NA

的水平拉力后，A和B一起前进了4m,如图1所示。在这个过程中B对A做|

图1

的功等于（）

A.4JB.12JC.0D.-4J

14.一个学生用100N的力，将静止在操场上的质量为0.6kg的足球，以15m/s的速度踢出

20m远。则整个过程中学生对足球做的功为（）

A.67.5JB.2000JC.1000JD.0J

15.一个质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂在。点，小球在水平拉力F作用下，

从平衡位置P点很缓慢地拉到Q点，如图2所示，则拉力F做的功为（）

A.mgLcos9B.mgL（l-cos0）C.FLsin9D.FLcos0

二、填空题

16.如图3所示，地面水平光滑，质量为m的物体在水平恒力F的作用下，由静止从A处

移动到了B处;此过程中力F对物体做正功，使得物体的速度（增AB

大、减少、不变）。如果其它条件不变，只将物体的质量增大为2m,在物上一

体仍由静止从A运动到B的过程中，恒力F对物体做的功（增大、F"

减少、不变）；物体到达B点时的速度比原来要（大、少、不变）。图3

如果让一个具有初速度的物体在粗糙水平地面上滑行时，物体的速度会不

断减少，这个过程中伴随有力做—功（正、负、零）。可见做功能使物体的

速度发生改变。

17.一高炮竖直将一质量为M的炮弹以速度V射出，炮弹上升的最大高度为【I,则炮弹上升

的过程中克服空气阻力所做的功为，发射时火药对炮弹做功为。（忽

略炮筒的长度）

18.质量为m的物体静止在水平桌面上，物体与桌面间的动摩擦因数为U,今用一水平力推

物体，使物体加速运动一段时间，撤去此力，物体再滑行一段时间后静止，已知物体运

动的总路程为s,则此推力对物体做功O

三、计算题

19.一个质量为m=2kg的铅球从离地面H=2m高处自由落下，落入沙坑中h=5cm深处，如图

所示，求沙子对铅球的平均阻力。（g取lOm/s?）

20.质量为m的物体由半圆形轨道顶端从静止开始释放，如图4所示，A为轨道最低点，A

与圆心0在同一竖直线上，已知圆弧轨道半径为R,运动到A点时，物体对轨道的压力

大小为2.5mg,求此过程中物体克服摩擦力做的功。

【附加题】

1.汽车在拱形桥上由A匀速率地运动到B,如图1所示，下列说法中正确的是（）

A.牵引力与摩擦力做的功相等；