高中数学：第六章平面向量及其应用知识点填空

第六章平面向量及其应用

1.向量的概念与向量的模

（I）向量概念：

（2）向量的几何表示：

向最的字母表示：

（3）向量的模：记作：

（4）零向量:记作：

（5）单位向量：（与京共线的单位向量是：）.

（6）相等向量：

（7）平行向量（共线向量）：

（8）相反向量:记作：

2.向量的加法运算

（1）三角形法则：AB+BC=

特征：

（2）平行四边形法则：ABCD为平行四边形，则AB+AD=

特征：

（3）向量的加法性质

0=a+（-a）=a-b=

（a+b）+c=|a+b

4.向量的减法运算

法则：OA-OB=

1

特征：

5.向量数乘和线性运算

（1）向量的数乘：记作：

它的大小为旭|=,其方向与人的有关.

若向K0,当人>0时，启的方向与5的方向，当入V0时，启的方向与3的方向.当人=0时，武与5

（2）向量数乘运算法则

\a=（-1）a=（入P）a=：

（A+n；a=入（a+b）=

（3）向量&（a^O）与向量t共线的充要条件是：

（4）A、B、C三点共线<=>Q

6.平面向量数量积

（1）向量的夹角：其由范围为：

（2）向量的数量积：记做：

-♦

a-b=即：.规定：零向量与任意向量的数量积为，即:

注意：

（3）平面向量数量积的重要性质：

设a,b都是非零向量，e是与b方向用同的单位向量，a与b和夹角为。，则：

①a*e=

@alb<=>；（判定两向量垂直的充要条件）

③当「行方向相同时，a*b=

一

当h方向相反时,a*b=

—>—♦

a*a=2

特别地:（用于计算向量的模）

④COS0=（8为锐角0；e为钝角<=>）

⑤卜•bW

（4）平面向量数量积的运算律

T

①交换律：a*b=

②数乘向量的结合律：（启）行=

③分配律：（2+1）•之=

（5）平面向量数量枳的运算性质

①（3±b）2=

②（5-b）・（a+b）=

③^a*（b*c）W,

（6）投影：「在二上的投影是一个数量：

,它可以为正，可以为负，也可以为o

（7）投影向量：」在「上的投影向量等于

7.平面向量基本定理：

分点系数公式：

8.平面向量的坐标运算

（1）平面向量的坐标表示：S=（x,y）表示以为起点，以为终点的向量.

（2）平面向量的坐标运算：

3

①若A（xi,yi）,B（X2»y2）,则AB=

22

②若a=（x,y）则，a=同=，入a=_

③若a=（xi,yi）,b=（X2,y2）»则：

-»TTTTT

a+b=；a—b=；a•b=

④平面向量平行的坐标表示：若a=（xi,yi）,b=（X2,yz）,贝（Ib〃a（aH0）oo

⑤平面向量垂直的坐标表示：若a=（xi,yi）,b=（X2,y2）>则b_La=Q

⑥向量的夹角公式：cos0=

9.向量中一些常用的结论：

（1）在凶3。中,

①若4（内,），］）,8（/，％），。（工3，，3），则其重心的坐标为G。

②PG=<=>6为八4〃。重心，

特别地PA+PB+PC=<=>P为AA8C的重心；

AG=oG为AA8C重心

③=PCPAoP为A4BC的垂心；

④向量〃丛区+&L）.*0）所在直线过AA3c的内心（是/BAC的角平分线所在直线）；

\AB\\AC\

（2）向量PLPB、P±三终点A、B、C共线。存在实数入N使得”=入加+而3且入+产

10.三角形中的重要结论

①在三角形中，大边对大角，中边对中角，小边对小角，等边对等角。（&>/?<=>人>3=sin人,sinb）

4

②在三角形中，只有最大的角才可能是钝角或直角，当然也可以是锐角，中间的角和最小的角一定为锐角。

③三角形内角的正弦值一定大于0,锐角的余弦值大于0,直角的余弦值等于0,钝角的余弦值小于0.

11.三角形中的诱导公式

X8C\

co+/).A+B

wXtan（8+C）=sin-------

coA+8)2

/tan（A+B）=

<\

coA+C)A+8

/tan（A+C）=cos

12.正弦定理和余弦定理三角形常用面积公式

定理正弦定理余弦定理

内容

（R是△ABC外接圆半径）

@a=，b=，c=；

②sinA=,sinB=,sinC=:cosA=9

变形（3）asinB=,bsinC=,asinC=cosB=9

形式@a：b：c=；a：b=cosC=

八aa+ba+b+c

--

sinAsinA+sinBsinA+sinB+sinC

解决①己知两角和任一边，求另一角和其他两条边；①己知三边，求各角；

三角②已知两边和一边对角，求另一边和其他两角②已知两边和一角，求第三边和其他两角

形的③边角互化

问题

13.三角形常用面积公式

5

abc1

s==-----=-(a+b+c)r

4R2

14.三角形解的个数的判断

己知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况.如已知a,b,A,贝ij：

A为锐角A为钝角或直角

图形c

2da

/

4£ABJ-B2

关系式a<a=<a<a2a>aW

解的个数

6

平面向量基础知识练习题

I、与&共线的单位向量是,&的相反向量是

2、平行向量也叫

3、AB4-BC=0A-0B=a—a=

4、|a+b|__|a|+|b|

5、向量&(a^0)与向量A共线的充要条件是：存在唯一一个实数入，使

6、A、B、C三点共线oAC/yABu>

TT-»2TT

7、a•b=a=0*a=

8、a,b方向相同<=>a,b方向相反<=>

a,b夹角。为锐角<=>a,b夹角8为直角=

a,b夹角0为钝角<=>_____________________

9、1在Ih的投影=,"为与1同向的单位向量，I在［上的投影向量等于

10、平面向量基本定理：如果A、尾是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量】，

有且仅有一对实数入I、入2,使.我们把IA，02］叫做表示这一平面内所有向量的一个

11、平面向量的坐标运算：

①若A(xi»yi),B(X2,yz),贝ijAB=

7

T2

②若a=(x,y)则|a|=,a=9入a=___________

③若a=(xi,yi),b=(X2,y2),则：a+b=；a—b=