2022数学三模拟试卷（含答题卡）

2022数学三模拟试卷（含答题卡）一、单项选择题（共10小题，每小题5分，满分50分。下列每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且满足$f(0)=1,f(1)=0$。若对任意$x_1,x_2\in[0,1]$，都有$|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant|x_1-x_2|$，则方程$f(x)=x$在$[0,1]$上______。（A）无实根（B）有唯一实根（C）有两个实根（D）至多有一个实根2.设函数$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{(x-1)^n}{1+2^n}$，则$f(x)$在$x=1$处的左极限和右极限分别为______。（A）$0,1$（B）$1,0$（C）$0,0$（D）$1,1$3.若级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，且$\lim_{n\to\infty}n^2a_n=1$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}na_n$______。（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性不确定4.设$D$是由$y=\sqrt{1-x^2}$和$y=x$围成的平面区域，则$\iint_De^{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy$的值为______。（A）$\frac{\pi}{4}(e-1)$（B）$\frac{\pi}{2}(e-1)$（C）$\pi(e-1)$（D）$\frac{\pi}{4}e^2$5.设$\boldsymbol{A}$是$4\times4$矩阵，且$|\boldsymbol{A}|=2$，$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{\top}-2\boldsymbol{E}$，若$\boldsymbol{B}$的秩为$3$，则$\boldsymbol{A}$的伴随矩阵$\boldsymbol{A}^$的秩为______。（A）1（B）2（C）3（D）46.设$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$是三维线性空间$\mathbb{R}^3$中的三个向量，若$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性无关，则向量组$\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$______。（A）线性无关（B）线性相关（C）可能线性无关，可能线性相关（D）无法判断7.设随机变量$X$的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}x,&0\leqslantx\leqslant1\\2-x,&1<x\leqslant2\\0,&\text{其他}\end{cases}$，则$P(X\leqslant\frac{3}{4})$的值为______。（A）$\frac{3}{16}$（B）$\frac{9}{32}$（C）$\frac{3}{8}$（D）$\frac{1}{2}$8.设随机变量$X$和$Y$独立同分布，且$P(X>0)=\frac{2}{3}$，令$Z=\min\{X,Y\}$，则$P(Z>0)$的值为______。（A）$\frac{4}{9}$（B）$\frac{2}{3}$（C）$\frac{1}{3}$（D）$\frac{5}{9}$9.设总体$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，其中$\mu$未知，$\sigma^2$已知。从总体中抽取容量为$n$的样本，则$\mu$的置信水平为$95\%$的置信区间为______。（A）$\left(\bar{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}t_{0.025},\bar{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}t_{0.025}\right)$（B）$\left(\bar{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{0.025},\bar{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{0.025}\right)$（C）$\left(\bar{X}-\frac{s}{\sqrt{n}}t_{0.025},\bar{X}+\frac{s}{\sqrt{n}}t_{0.025}\right)$（D）$\left(\bar{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{0.025},\bar{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{0.025}\right)$10.设总体$X$服从泊松分布$P(\lambda)$，其中$\lambda>0$未知。从总体中抽取容量为$n$的样本，则$\lambda$的最大似然估计量为______。（A）$\bar{X}$（B）$\frac{1}{\bar{X}}$（C）$n\bar{X}$（D）$\sqrt{\bar{X}}$11.设$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，则$\lim_{x\to0}f(x)-f(0)$等于______。12.若$y=x^2\sinx$，则$y^{(5)}(0)$等于______。13.设$D$是由$y=0,y=x,x=1$围成的区域，则$\iint_Dxe^{-y^2}\,dx\,dy$等于______。14.设$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，则$\boldsymbol{A}$的特征值为______。15.设$\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\boldsymbol{\alpha}_3=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$，则$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$的秩为______。16.设随机变量$X$服从标准正态分布，则$P(|X|>2)$等于______。17.（本题满分10分）设随机变量$X$和$Y$独立同分布，且$P(X>0)=\frac{2}{3}$。令$Z=\max\{X,Y\}$，求$P(Z\leqslant1)$的值。18.（本题满分10分）设总体$X$服从指数分布$f(x)=\begin{cases}\lambdae^{-\lambdax},&x\geqslant0\\0,&x<0\end{cases}$，其中$\lambda>0$未知。从总体中抽取容量为$n$的样本，求$\lambda$的最大似然估计量，并证明其无偏性。标准答案及解析一、单项选择题1.（B）解析：由$|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant|x_1-x_2|$，可知$f(x)$在$[0,1]$上满足利普希茨条件，因此$f(x)$在$[0,1]$上一致连续。设$g(x)=f(x)-x$，则$g(0)=1,g(1)=-1$，且$|g(x_1)-g(x_2)|\leqslant|f(x_1)-f(x_2)|+|x_1-x_2|\leqslant2|x_1-x_2|$，故$g(x)$在$[0,1]$上也一致连续。由零点定理，$g(x)=0$在$(0,1)$上有唯一解，即$f(x)=x$在$[0,1]$上有唯一实根。2.（A）解析：当$x=1$时，$f(1)=0$。当$x<1$时，$\lim_{n\to\infty}\frac{(x-1)^n}{1+2^n}=0$。当$x>1$时，$\lim_{n\to\infty}\frac{(x-1)^n}{1+2^n}=0$。故$f(x)$在$x=1$处的左极限和右极限均为$0$。3.（A）解析：由$\lim_{n\to\infty}n^2a_n=1$，可知$\frac{a_n}{\frac{1}{n^2}}\to1$，故$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$同敛散性，而$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$收敛，因此$\sum_{n=1}^{\infty}na_n$发散。4.（B）解析：将积分区域$D$转换为极坐标系，$D$的极坐标表示为$0\leqslantr\leqslant1,0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{4}$。则$$\iint_De^{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_0^1e^r\cdotr\,dr\,d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left[\frac{1}{2}r^2e^r\right]_0^1\,d\theta=\frac{\pi}{4}(e-1).$$5.（C）解析：由$|\boldsymbol{A}|=2$，可知$\boldsymbol{A}^=2\boldsymbol{A}^{-1}$，且$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{\top}-2\boldsymbol{E}$的秩为$3$，故$\boldsymbol{A}^{\top}$的秩为$3$。由$\boldsymbol{A}^{\top}$和$\boldsymbol{A}$的秩相同，且$\boldsymbol{A}$的秩为$4$，可知$\boldsymbol{A}^$的秩为$2$。6.（A）解析：设$k_1(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2)+k_2(\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3)+k_3(\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1)=\mathbf{0}$，展开得$$(k_1+k_3)\boldsymbol{\alpha}_1+(k_1+k_2)\boldsymbol{\alpha}_2+(k_2+k_3)\boldsymbol{\alpha}_3=\mathbf{0}.$$由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性无关，得$$\begin{cases}k_1+k_3=0\\k_1+k_2=0\\k_2+k_3=0\end{cases}$$解得$k_1=k_2=k_3=0$，故向量组线性无关。7.（C）解析：$P(X\leqslant\frac{3}{4})=\int_0^{\frac{3}{4}}x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{\frac{3}{4}}=\frac{9}{32}.$8.（D）解析：$P(Z>0)=P(X>0\text{and}Y>0)=P(X>0)P(Y>0)=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}.$9.（B）解析：由于$\sigma^2$已知，故$\mu$的置信区间为$\left(\bar{X}-z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).$10.（A）解析：似然函数为$L(\lambda)=\prod_{i=1}^n\lambda^{X_i}e^{-\lambda}$，取对数得$\lnL(\lambda)=\sum_{i=1}^nX_i\ln\lambda-n\lambda$，求导得$\frac{d}{d\lambda}\lnL(\lambda)=\frac{\sum_{i=1}^nX_i}{\lambda}-n$，令其为零得$\lambda=\bar{X}.$二、填空题1.参考答案：0解析：$\lim_{x\to0}f(x)=1,f(0)=1$，故$\lim_{x\to0}f(x)-f(0)=0.$2.参考答案：120解析：$y'=2x\sinx+x^2\cosx,y''=2\sinx+4x\cosx-x^2\sinx,\dots$，$y^{(5)}(x)=120\cosx-60x\sinx$，故$y^{(5)}(0)=120.$3.参考答案：$\frac{1}{2}(e-1)$解析：$\iint_Dxe^{-y^2}\,dx\,dy=\int_0^1\int_0^xxe^{-y^2}\,dy\,dx=\int_0^1x\left[-\frac{1}{2}e^{-y^2}\right]_0^x\,dx=\frac{1}{2}\int_0^1x(1-e^{-x^2})\,dx=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2e}\right)=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{e}).$4.参考答案：$1,3$解析：特征方程为$\lambda^2-5\lambda+4=0$，解得$\lambda=1,4.$5.参考答案：3解析：$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性无关，故秩为$3.$6.参考答案：0.1359解析：$P(|X|>2)=2P(X>2)=2\int_2^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx=2\cdot0.0228=0.0456.$三、解答题1.证明：由拉格朗日中值定理，存在$\xi_1\in(0,1)$，使得$f(1)-f(0)=f'(\xi_1)(1-0)=f'(\xi_1)$，即$f'(\xi_1)=0$。同理，存在$\xi_2\in(0,1)$，使得$f'(\xi_2)=0$。由$f'(x)\neq0$，矛盾，故$f'(x)\neq0$对任意$x\in(0,1)$成立。设$g(x)=f(x)-x^2$，则$g(0)=1,g(1)=-1$，且$g'(x)=f'(x)-2x$。由$f'(x)\neq0$，$g'(x)$在$(0,1)$上不变号，故$g(x)$在$(0,1)$上严格单调。由零点定理，$g(x)=0$在$(0,1)$上有唯一解，即$\frac{f''(\xi)}{f'(\xi)}=-2$。2.计算：将积分区域转换为极坐标系，$D$的极坐标表示为$1\leqslantr\leqslant2,\frac{1}{r}\leqslant\theta\leqslant\frac{1}{r}$。则$$\iint_D\frac{x^2}{y^2}\,dx\,dy=\int_1^2\int_{\frac{1}{r}}^{\frac{1}{r}}\frac{r^2\cos^2\theta}{\sin^2\theta}r\,d\theta\,dr=\int_1^2r^3\int_{\frac{1}{r}}^{\frac{1}{r}}\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}\,d\theta\,dr=\frac{1}{2}(e-1).$$3.解：由$|\boldsymbol{A}|=0$，得$\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&a\\1&4&a^2\end{vmatrix}=0$，展开得$a^2-3a+2=0$，解得$a=1,2$。当$a=1$时，$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&4&1\end{pmatrix}$，秩为$2$，故$a=1$。$\boldsymbol{A}$的特征值为$\lambda=0,3$，对应特征向量为$\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}.$4.证明：设$k_1(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2)+k_2(\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3)+k_3