2026秋人教版八上数学 专题01 三角形的五类综合题型（专题训练）

专题01三角形的五类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、判断三边是否能构成三角形类型二、已知三角形的两边长，求第三边的取值范围类型三、在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积类型四、利用三角形的中线、高线、角平分线求解类型五、利用三角形的内角和与外角和求角的度数压轴专练类型一、判断三边是否能构成三角形核心技巧：排序后验证“最小两边之和＞最大边”。分点说明：1.排序比较：将三边长按升序排列，设为a≤b≤c。2.单一验证：只需判断a+b>c是否成立。若成立，则必然满足三角形边长定理（任意两边之和大于第三边）。3.排除特例：若任一边长≤0，则直接判定不构成三角形。关键点：此方法将三次比较简化为一次计算，是最高效的解题步骤。例1．（2026八年级上·全国·期末）下列各组线段中，能构成三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【变式1-1】（2026八年级上·全国·期末）下列四组数中，能组成三角形的是（

）A．2，2，4 B．1，1，3 C．1，2，3 D．3，4，5【变式1-2】（2026八年级上·全国·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的为（）A．，， B．，， C．，， D．，，【变式1-3】（2026八年级上·河北邢台·期末）将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（

）A．；； B．；；C．；； D．；；类型二、已知三角形的两边长，求第三边的取值范围核心技巧：运用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”构造不等式组。分点说明：1.设未知边：设已知两边长为a、b（a≤b），第三边为c。2.列不等式：-下限：c>|a-b|（即b-a）-上限：c<a+b3.合并结果：取值范围为|a-b|<c<a+b关键点：无需单独排序，直接用已知两边计算差与和即可确定范围。特别注意端点不能取等号（若取等号，则三边共线，不构成三角形）。例2．（2026七年级下·陕西咸阳·期末）已知a，b，c是的三边，其中，，且c为奇数，则c的值为．【变式2-1】（2026七年级下·辽宁盘锦·期末）设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是．【变式2-2】（2026七年级下·重庆·期末）已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为．【变式2-3】（2026七年级下·北京海淀·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为．类型三、在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积**核心技巧：利用网格的坐标和格点，将几何问题转化为坐标计算。分点说明：1.**找中点**：中线连接顶点与对边中点，利用中点坐标公式求格点中点。2.**作高线**：过顶点作对边所在直线的垂线，可依据网格特性取垂直方向格点，或利用“两直线斜率乘积为-1”计算垂足坐标。3.**求面积**：用“割补法”（矩形面积减周围直角三角形）或“铅垂高法”（水平宽×铅垂高÷2）。**关键点**：善用网格的垂直与平行特性快速定位点和线；面积计算优先选割补法，直观且不易出错。例3．（七年级下·河南郑州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．(1)画出关于对称的（点B的对应点是点D）；(2)画出的重心O；(3)直接写出四边形的面积______．【变式3-1】（2026八年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．(1)在图1中，画的中线；(2)在（1）的基础上，在边上画点E，连接，使；(3)在图2中，画的高；(4)在（3）的基础上，在射线上，画点G，连接，使．【变式3-2】（八年级上·吉林松原·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点A、B均在格点上，分别按下列要求画图．(1)在图①中画一个，使的面积是10；(2)在图②中画一个，使是轴对称图形；(3)在图③中画一个，点E在格点上，且大于．【变式3-3】（七年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中有一个格点三角形（三角形的各顶点都在格点上）(1)画出三角形中边上的高．(2)将三角形先向上平移2格，再向右平移4格，画出平移后的三角形．(3)连接，，求四边形的面积．类型四、利用三角形的中线、高线、角平分线求解**核心技巧：抓住三种特殊线的本质（平分线段、垂直对边、平分内角），并结合等面积、全等/相似、比例关系解题。分点说明：1.**中线**：常利用“中点”性质，或通过倍长中线构造全等三角形和平行四边形。2.**高线**：关注垂直关系和直角三角形性质；结合等面积法建立边与高的方程。3.**角平分线**：优先联想“角平分线定理”（边比例关系）或向两边作垂线构造全等。**关键点**：解题时先判断题目涉及哪一种或哪几种线，直接关联其核心性质和常用辅助线模型。例4．（2026七年级下·河南南阳·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．(1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______；(2)如图2，在中，，，则的高与的比是________；(3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值．【变式4-1】（2026七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点是边的中点，，点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒2个单位长度．连结．设点运动的时间为（）．(1)直接写出的面积为_______．(2)用含的代数式表示的长．(3)当时，求的值．(4)当时，求的值．【变式4-2】如图，为的中线，为的中线．(1)已知，的周长为，求的周长；(2)在中作边上的高；(3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？【变式4-3】（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长；（2）如图2，在中，，，求的高与的比；（3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值．类型五、利用三角形的内角和与外角和求角的度数**核心技巧：灵活运用“内角和180°”与“外角等于不相邻两内角之和”。分点说明：1.**定内角**：若已知部分内角，直接用内角和为180°求未知内角。2.**用外角**：当图形涉及多个三角形或内外角关系时，将目标角转化为某个三角形的外角来求解，常能简化计算。3.**结合补角**：外角与其相邻内角互补（和为180°），可进行角度转换。**关键点**：先观察目标角是三角形的内角还是外角，或与它们有直接关系（如对顶角、补角），优先选用外角性质常能一步到位。例5．（2026七年级下·全国·期末）如图，在中，已知是角平分线，．(1)求的度数；(2)若于E，求的度数．【变式5-1】（2026八年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【变式5-2】（2026八年级上·吉林·期末）在中，与的平分线相交于点．(1)如图1，试探究与的数量关系；(2)如图2，作外角的平分线，交于点．请分别写出与，与的数量关系，不需要证明；(3)如图3，延长线段，交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用（1）和（2）中的相关结论求的度数．【变式5-3】（七年级下·海南海口·期末）在中，，平分，点P是直线上的一点，于点E，交直线于点F，交直线于点G．设，．(1)如图1．1，当点P在线段的延长线上时．①若，，求、和的度数；②求和的度数（用含有、的代数式表示）；(2)如图1．2，如图1．3，当点P分别在线段和上时，判断（1）②中的结论是否成立，若不成立，请写出正确的结论．一、单选题1．（2026七年级下·陕西咸阳·期末）已知一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长度可能是（

）A． B． C． D．2．（2026八年级上·内蒙古·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（）A． B．C． D．3．（七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，中，D为中点，E为中点．若面积为8，则面积为（

）A．4 B．3 C．2 D．14．（2026七年级下·河北沧州·期末）如图，在三角形中，，D是射线上的动点，连接，过点D作⊥射线于点E，点F在边上（F不与点B，C重合），作交射线于点M，若，下列关于甲、乙的说法判断正确的是（）甲：当点D在线段上时，；乙：当点D在射线上时，的度数为或．A．只有甲的正确 B．只有乙的正确C．两人的都正确 D．两人的都不正确5．（七年级下·河北石家庄·期末）如图所示，的中线和相交于点，两块空白部分的面积分别用和表示，两块阴影部分的面积分别用和表示，则下列四个判断中：①；②；③；④，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题6．（2026七年级下·甘肃武威·期末）如图，，，，则的度数为．7．（2026七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，平分，若，则．8．（2026七年级下·贵州遵义·期末）如图，将三角形纸片的一角沿着折叠，使点的对应点落在靠近的三等分线上，且，，，则的度数为．9．（2026八年级下·河南郑州·期末）“花影遮墙，峰峦叠窗”，是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，如图②是这种窗棂中的部分图案．若，则度．10．（2026七年级下·四川乐山·期末）1．设的面积为，如图1将边、分别2等分，、相交于点，的面积记为；如图2将边、分别3等分，、相交于点，的面积记为；……，以此类推．(1)(用含有a的代数式进行表示)；(2)若将边、分别等分，、相交于点，记的面积为，则(用含有和的代数式进行表示)．三、解答题11．（2026七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，是边上的高，垂足为点，点在边上，连接，若．(1)请判断与的位置关系，并说明理由；(2)若平分，，求的度数．12．（2026八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点E．(1)若，，求的度数；(2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想．13．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．(1)画出的边上的高；(2)画出的边上的中线；(3)直接写出的面积为．14．（2026八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点P，与相交于点G，点F在的延长线上，的平分线与相交于点Q．(1)若，，则______，______；(2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数（用的代数式表示）．15．（2026七年级上·湖北武汉·期末）定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若是“准互余三角形”，，则的度数为__________；(2)如图，是直角三角形，．①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由；②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数．16．（2026七年级下·吉林四平·期末）【阅读材料】我们知道：探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题．如图①，四边形是凸四边形，探索其内角和的方法是：连结对角线，则四边形的内角和就转化为和的内角和，即为．【解决问题】(1)如图②，四边形是凹四边形，请探究与、、之间的数量关系．小明得出的结论是，请你帮小明写出证明过程．(2)图③和图④所示的图形都是一笔画成的，即从图形的某一顶点出发，连续不断且不重复经过图形上所有部分画成的，请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：图③中，的度数为______；图④中，的度数为______．17．（七年级下·河南南阳·期末）【概念认识】如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．【问题解决】(1)如图①，，是的“三分线”，则______；(2)如图②，在中，，若的“邻三分线”交于点D，则______；(3)如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数．18．（2026七年级下·陕西汉中·期末）【认识概念】如图1，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“近三分线”，是“远三分线”．【理解应用】（1）如图1，点D，E在上，若，，则_________°；（2）如图2，在中，、分别是的近三分线和近三分线，若，求的度数；【拓展应用】（3）如图3，在中，、分别是的远三分线和远三分线，且，直线过点O分别交、于点P、Q，请求出的度数（用含m的代数式表示）．答案解析类型一、判断三边是否能构成三角形例1．（2026八年级上·全国·期末）下列各组线段中，能构成三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】A【分析】本题考查了构成三角形的条件，即任意两边之和大于第三边．通过逐项计算两短边之和是否大于最长边进行判断．【详解】解：A、，能构成三角形；B、，不能构成三角形；C、，不能构成三角形；D、，不能构成三角形．故选：A．【变式1-1】（2026八年级上·全国·期末）下列四组数中，能组成三角形的是（

）A．2，2，4 B．1，1，3 C．1，2，3 D．3，4，5【答案】D【分析】本题考查了三角形三边关系．利用三边关系判断时，常用两个较小边的和与较大的边比较大小，即两个较小边的和较大的边，则能组成三角形，否则，不可以．利用三角形三边关系判断即可．【详解】解：A、，不能够组成三角形，故此选项不符合题意；B、，不能够组成三角形，故此选项不符合题意；C、，不能够组成三角形，故此选项不符合题意；D、，能够组成三角形，故此选项符合题意．故选：D．【变式1-2】（2026八年级上·全国·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的为（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．根据两条较小线段之和是否大于较长线段进行判断，即可解题．【详解】解：、由于，所以不能构成三角形，故本选项不符合题意；、由于，所以不能构成三角形，故本选项不符合题意；、由于，所以能构成三角形，故本选项符合题意；、由于，所以不能构成三角形，故本选项不符合题意；故选：．【变式1-3】（2026八年级上·河北邢台·期末）将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（

）A．；； B．；；C．；； D．；；【答案】D【分析】本题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系，任意两边之和必须大于第三边．分别计算各选项的三边长度，验证是否满足此条件．【详解】解：选项A：∵，∴不能围成三角形；选项B：∵，等于第三边7，∴不能围成三角形；选项C：∵，∴不能围成三角形；选项D：∵，，，∴能围成三角形；故选：D．类型二、已知三角形的两边长，求第三边的取值范围例2．（2026七年级下·陕西咸阳·期末）已知a，b，c是的三边，其中，，且c为奇数，则c的值为．【答案】5【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出c的取值范围，再结合c为奇数的条件，确定c的值．【详解】解：由三角形三边关系，得，∵，，∴，∵c为整数且为奇数，∴．故答案为：5．【变式2-1】（2026七年级下·辽宁盘锦·期末）设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是．【答案】【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可．本题主要考查了非负数的性质，三角形三边的关系，解二元一次方程组，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．【详解】解：∵，且，，∴，解得，∴，即，∴，又∵c为最长边，∴故答案为：．【变式2-2】（2026七年级下·重庆·期末）已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为．【答案】【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．设第三边为，根据三角形三边关系求出的取值范围，由此得到偶数的值，再计算周长即可．【详解】解：设第三边为，∵三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边，∴，即，∵第三边是偶数，∴，∴此三角形的周长为．故答案为：【变式2-3】（2026七年级下·北京海淀·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为．【答案】3或8【分析】本题考查三角形三边关系．分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案．【详解】解：设三角形第三边的长是x，由三角形三边关系定理得到，∴，若，则；若，则；若，则；若，则；∵，∴三角形第三边的长是3或8．故答案为：3或8．类型三、在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积例3．（七年级下·河南郑州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．(1)画出关于对称的（点B的对应点是点D）；(2)画出的重心O；(3)直接写出四边形的面积______．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)24【分析】本题考查了利用网格的特点作图．（1）根据轴对称的特点，作出图形即可；（2）利用长方形的特点找到边，的中点，两条中线的交点即可为重心；（3）利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：如图所示；（2）解：的重心O如图所示；（3）解：四边形的面积为．故答案为：24．【变式3-1】（2026八年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．(1)在图1中，画的中线；(2)在（1）的基础上，在边上画点E，连接，使；(3)在图2中，画的高；(4)在（3）的基础上，在射线上，画点G，连接，使．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的中线，高，线段的垂直平分线，解题的关键是理解题意，正确作出图形．（1）根据三角形的中线的定义画出图形；（2）作线段的垂直平分线交于点即可；（3）取格点，连接，线段即为所求；（3）取格点，，连接交于点，连接即可．【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求；（2）如图1中，线段即为所求；（3）如图2中，线段即为所求；（4）如图2中，线段即为所求．【变式3-2】（八年级上·吉林松原·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点A、B均在格点上，分别按下列要求画图．(1)在图①中画一个，使的面积是10；(2)在图②中画一个，使是轴对称图形；(3)在图③中画一个，点E在格点上，且大于．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．（1）利用三角形面积公式，在B点右边4格处取C点，则满足条件；（2）以过A的铅垂线为对称轴，作出B点的对称点D，则满足条件；（3）把B点右边1格处取E点，则满足条件．【详解】（1）如图，即为所求；

．（2）如图，即为所求；

（3）如图，，即为所求；

【变式3-3】（七年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中有一个格点三角形（三角形的各顶点都在格点上）(1)画出三角形中边上的高．(2)将三角形先向上平移2格，再向右平移4格，画出平移后的三角形．(3)连接，，求四边形的面积．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)【分析】本题考查了在网格中作三角形的高，平移，面积；（1）过作交的延长线于，即可求解；（2）按要求进行平移，即可求解；（3）由即可求解；掌握高的作法及平移的方法是解题的关键．【详解】（1）解：如图，线段为所求作；（2）解：如图，为所求作；（3）解：如图，由（1）（2）得：，，，．类型四、利用三角形的中线、高线、角平分线求解例4．（2026七年级下·河南南阳·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．(1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______；(2)如图2，在中，，，则的高与的比是________；(3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值．【答案】(1)(2)(3)5【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键．（1）根据题意可得，即可求解；（2）根据题意可得，即可求解；（3）根据可得，再由，可得，即可求解．【详解】（1）解：∵在中，，，∴，∵，，，∴；故答案为：；（2）解：∵，，∴，∴，∴；故答案为：；（3）解：∵，且，∴，又∵，∴，∵，，∴．【变式4-1】（2026七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点是边的中点，，点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒2个单位长度．连结．设点运动的时间为（）．(1)直接写出的面积为_______．(2)用含的代数式表示的长．(3)当时，求的值．(4)当时，求的值．【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，三角形的面积，数形结合是解题的关键；（1）根据三角形的面积公式即可求解；（2）分在上，分别表示出的长，即可求解；（3）根据，则在上，代入（2）的式子，即可求解；（4）根据得出，进而分在上，分别列出方程，解方程，即可求解．【详解】（1）解：∵，，，∴，故答案为：．（2）∵，点是边的中点，∴，∵点速度为每秒2个单位长度，当时，在上，，当时，在上，，∴；（3）解：∵，∴，则在上，∴，解得：；（4）解：∵，点是边的中点，∴，∵，，∴，∵，∴，当在上时，，解得：，∴，当在上时，∵，，∴，∴，∴，解得：.【变式4-2】如图，为的中线，为的中线．(1)已知，的周长为，求的周长；(2)在中作边上的高；(3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握．（1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解；（2）根据三角形高线的定义作出即可；（3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】（1）解：为的中线，，，，的周长，，的周长；（2）解：如图，即为中边上的高，（3）解：设点到边的距离为为的中线，为的中线，，，，，点到边的距离为．【变式4-3】（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长；（2）如图2，在中，，，求的高与的比；（3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）10．【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．（1）利用面积法求出即可．（2）利用面积法求出高与的比即可．（3）利用面积法求出，可得结论．【详解】（1）解：，，；（2）解：，，，；（3）解：，，，，，又，，即．类型五、利用三角形的内角和与外角和求角的度数例5．（2026七年级下·全国·期末）如图，在中，已知是角平分线，．(1)求的度数；(2)若于E，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和以及角平分线的定义是解题的关键．（1）根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可；（2）由垂直的定义得，然后根据即可求解．【详解】（1）解：∵在中，，∴，∵是的角平分线∴，∴；（2）∵，∴．∴．【变式5-1】（2026八年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是充分利用（1）中结论解决问题．（1）利用三角形内角和证明即可；（2）利用先求出，根据平分求出，再根据求出，最后利用三角形内角和定理即可求解．【详解】（1）证明：∵，∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴．【变式5-2】（2026八年级上·吉林·期末）在中，与的平分线相交于点．(1)如图1，试探究与的数量关系；(2)如图2，作外角的平分线，交于点．请分别写出与，与的数量关系，不需要证明；(3)如图3，延长线段，交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用（1）和（2）中的相关结论求的度数．【答案】(1)(2)；(3)或或【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．（1）利用角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可．（2）证明，可得结论．（3）首先证明，分3种情形分别求解即可解决问题．【详解】（1）解：如图①中，与的平分线相交于点，，，；（2）解：；，理由如下：理由：如图②中，外角，的角平分线交于点，，，，；（3）解：如图，延长至，平分，，，，，平分，，，，即，又，，，如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分3种情况：①，则，，②，则，；③，则，综上所述，的度数是或或．【变式5-3】（七年级下·海南海口·期末）在中，，平分，点P是直线上的一点，于点E，交直线于点F，交直线于点G．设，．(1)如图1．1，当点P在线段的延长线上时．①若，，求、和的度数；②求和的度数（用含有、的代数式表示）；(2)如图1．2，如图1．3，当点P分别在线段和上时，判断（1）②中的结论是否成立，若不成立，请写出正确的结论．【答案】(1)①；；；②；；(2)不成立，；【分析】①根据三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义，可得的度数，再结合，以及直角三角形的性质、三角形外角的性质，可得、的度数，然后根据三角形外角的性质，可得的度数，即可求解；②根据三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义，可得的度数，再结合，以及直角三角形的性质、三角形外角的性质，可得、的度数，然后根据三角形外角的性质，可得的度数，即可求解；（2）仿照（1）的解答方法，即可求解．【详解】（1）解：①∵，，∴，∵平分，∴，∵，即，∴；；∵，∴；②∵，，∴，∵平分，∴，∵，即，∴，；∵，∴；（2）解：不成立，；，当点P在线段上时，∵，，∴，∵平分，∴，∵，即，∴，；∵，∴；当点P在线段上时，∵，，∴，∵平分，∴，∵，即，∴，；∵，∴．一、单选题1．（2026七年级下·陕西咸阳·期末）已知一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长度可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的原则．设第三边长为，根据三角形三边关系，第三边应大于两边之差且小于两边之和，可得，，求出的取值范围，逐项分析选项即可解答．【详解】解：设第三边长为，三角形两边之和大于第三边，，即，又三角形两边之差小于第三边，，即，，选项中只有在此范围内，故选：．2．（2026八年级上·内蒙古·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的定义进行判断．【详解】解：若线段是的高，需过点A作对边的垂线，则垂线段是的高．选项B、C、D错误，只有选项A符合题意，故选：A．3．（七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，中，D为中点，E为中点．若面积为8，则面积为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题关键．利用三角形中线的性质计算即可．【详解】解：面积为8，D为中点，，E为中点，，故选C．4．（2026七年级下·河北沧州·期末）如图，在三角形中，，D是射线上的动点，连接，过点D作⊥射线于点E，点F在边上（F不与点B，C重合），作交射线于点M，若，下列关于甲、乙的说法判断正确的是（）甲：当点D在线段上时，；乙：当点D在射线上时，的度数为或．A．只有甲的正确 B．只有乙的正确C．两人的都正确 D．两人的都不正确【答案】D【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，解题的关键在于分类讨论．对于甲，先根据三角形内角和定理求出，再由平行得到，即可判断；对于乙：分两种情况讨论，利用平行线的判定与性质求解即可判断．【详解】解：当点D在线段上时，∵∴，∵，∴，∴，∵，∴，故甲说法错误；当点D在线段上时，∵，，∴，∴，∴，∵，∴当点在线段延长线上时，如图：∵，，∴，∴，∴，∵，∴综上，当点D在射线上时，的度数为或，故乙说法错误，故选：D．5．（七年级下·河北石家庄·期末）如图所示，的中线和相交于点，两块空白部分的面积分别用和表示，两块阴影部分的面积分别用和表示，则下列四个判断中：①；②；③；④，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了三角形的中线和三角形的面积．根据等底同高的三角形的面积相等即可得到结论．【详解】解：∵的中线和相交于点，∴，∴，∴，，但得不到；故①③正确，②④错误；故选：B．二、填空题6．（2026七年级下·甘肃武威·期末）如图，，，，则的度数为．【答案】【分析】此题考查了三角形的内角和定理，垂线，先根据垂直的定义得，由三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，又∵，∴．故答案为：．7．（2026七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，平分，若，则．【答案】【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线，求出的度数，根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可．【详解】解∶∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：．8．（2026七年级下·贵州遵义·期末）如图，将三角形纸片的一角沿着折叠，使点的对应点落在靠近的三等分线上，且，，，则的度数为．【答案】/度【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，根据题意得出，，根据三角形内角和定理求得，进而根据三角形外角的性质求得，进而根据平角的定义，即可求解．【详解】解：∵，点的对应点落在靠近的三等分线上，，∴，∵，，∴∴∵，∴，∴故答案为：．9．（2026八年级下·河南郑州·期末）“花影遮墙，峰峦叠窗”，是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，如图②是这种窗棂中的部分图案．若，则度．【答案】348【分析】本题考查多边形的外角和的应用．熟练掌握多边形的外角和为，是解题的关键．根据多边形的外角和为，求出另外三个外角的和，再根据补角的定义，进行求解即可．【详解】解：如图：∵多边形的外角和为，，∴，∵，∴；故答案为：．10．（2026七年级下·四川乐山·期末）1．设的面积为，如图1将边、分别2等分，、相交于点，的面积记为；如图2将边、分别3等分，、相交于点，的面积记为；……，以此类推．(1)(用含有a的代数式进行表示)；(2)若将边、分别等分，、相交于点，记的面积为，则(用含有和的代数式进行表示)．【答案】【分析】此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，即可解答．（1）连接，先求出，推导出，继而得到，则，即可解答；(2)连接，先推导出，得到，则，得到，即可解答．【详解】解：(1)连接如图∵点将、分别2等分，∴，∴，，∴，∴∴．故答案为：．(2)如图，连接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为．三、解答题11．（2026七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，是边上的高，垂足为点，点在边上，连接，若．(1)请判断与的位置关系，并说明理由；(2)若平分，，求的度数．【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．（1）结合三角形高的定义求出，再根据“内错角相等，两直线平行”求解即可；（2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”求解即可．【详解】（1）解：，理由如下：是边上的高线，，，，，；（2）解：，，，平分，，，，．12．（2026八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点E．(1)若，，求的度数；(2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键．（1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论；（2）证明，结合，，可得结论．【详解】（1）解：由条件可知，∵平分，∴，∴；（2）解：，理由如下：由条件可知，又∵，∴，即．13．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．(1)画出的边上的高；(2)画出的边上的中线；(3)直接写出的面积为．【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)3【分析】本题考查画高线，中线，与三角形的高有关的计算，三角形的中线平分面积，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：（1）根据高线的定义和网格特点，画出即可；（2）取的中点，连接即可；（3）求出的面积，根据中线平分面积，求出的面积即可．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）如图，即为所求；（3）由图可知：；∵为的中线，∴的面积．14．（2026八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点P，与相交于点G，点F在的延长线上，的平分线与相交于点Q．(1)若，，则______，______；(2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数（用的代数式表示）．【答案】(1)；(2)，【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，，进而得到，再利用三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义以及角的和差计算得到，最后利用三角形外角的性质即可求出的度数；（2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，，进而得到，再利用三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义以及角的和差计算得到，最后利用三角形外角的性质即可求出的度数．【详解】（1）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，，∵平分，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴综上所述，，；故答案为：；；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，，∵平分，∴，∴，，∵平分，∴，∴，∴，∴综上所述，，．15．（2026七年级上·湖北武汉·期末）定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若是“准互余三角形”，，则的度数为__________；(2)如图，是直角三角形，．①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由；②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数．【答案】(1)(2)①是“准互余三角形”；②的度数是或【分析】本题考查了直角三角形