2026秋人教版八上数学 专题05 分式及其运算含参数问题的八类综合题型（专题训练）

专题05分式及其运算含参数问题的八类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、分式有无意义的条件类型二、利用分式的基本性质判断分式值的变化类型三、分式的混合运算类型四、分式化简求值类型五、求使分式为正(负)数时未知数的取值范围类型六、求使分式值为整数时未知数的整数值类型七、与分式运算有关的规律性问题类型八、与分式运算有关的新定义型问题压轴专练类型一、分式有无意义的条件1.分母不为零是核心分式有意义的唯一条件是分母不等于零。因此，解题时首先要写出使分母等于零的未知数的值，然后说明除这些值以外，分式都有意义。2.分步处理复杂分母若分母是多项式，应先进行因式分解，令每个因式分别等于零，解出所有可能的取值，这些值就是分式无意义的点。3.区分“无意义”与“值为零”“无意义”只与分母为零有关；而分式的值为零，需同时满足分子等于零且分母不等于零。解题时要明确题目问的是哪种情况，避免混淆。例1．（2026八年级上·北京延庆·期末）分式有意义，实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2026八年级上·重庆綦江·期末）当为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）A． B． C． D．【变式1-2】（2026八年级上·江苏苏州·期末）当时，下列分式无意义的是（

）A． B． C． D．类型二、利用分式的基本性质判断分式值的变化1.紧扣“同乘同除不为零的整式”分式值不变的充要条件是分子、分母同乘（或同除）同一个不为零的整式。解题时，先观察分式分子、分母的变化是乘除运算还是加减运算。只有乘除同整式才可能值不变，加减一定变。2.逐项对比，分析运算将变化后的分子、分母分别与原分子、分母对比。看是每一项都乘（或除）了相同整式，还是仅部分项被运算。若整体或各项变化比例相同，则值不变；否则值改变。3.特值法辅助判断当判断抽象分式时，可用具体数值代入原分式和变形后的分式进行计算对比（避开使分母为零的值）。若计算出的值相等，则说明变形后值不变，但需确认该特值不能是使分母为零的例外情况。例2．（2026八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（

）A． B． C． D．【变式2-1】（2026八年级上·安徽黄山·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（

）A． B．C． D．【变式2-2】（2026八年级上·四川广安·期末）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（

）A．不变 B．扩大到原来的3倍C．缩小到原来的 D．缩小到原来的类型三、分式的混合运算1.统一为乘除，化除为乘混合运算中，先将所有除法运算转化为乘法（除以一个分式等于乘以其倒数）。将整个式子统一为连续的乘法与加减法，便于确定最简公分母。2.确定最简公分母，分步通分对于加减运算，先对各个分式进行因式分解，确定所有分母的最简公分母（LCD）。然后分步通分、合并分子，注意分子是多项式时要添加括号，避免符号错误。3.先分解，后约分在乘除运算中，先将各分子、分母进行因式分解。在相乘前就进行交叉约分，可大幅简化计算。最终结果必须化为最简分式（分子分母无公因式）。注意运算顺序：先括号内，再乘除，后加减。例3．（2026八年级上·江西·期末）化简：【变式3-1】（2026八年级上·四川泸州·期末）计算：．【变式3-2】（2026八年级下·山西临汾·期末）化简：．类型四、分式化简求值1.先化简，再代入绝对不要直接代入原式计算。必须先将原分式通过因式分解、约分、通分等步骤化为最简形式。化简时，分子、分母是多项式的要先分解因式，便于约分。2.灵活运用运算律与公式熟练掌握分式的基本性质、乘除法则（化除为乘）和加减法则（通分）。在混合运算中，巧妙运用分配律、结合律，并优先进行约分以简化计算步骤。3.谨慎选择代入方式将化简后的最简分式作为最终表达式。代入数值时，必须先检查原式及化简过程中所有分母是否为零，确保代入值有意义。若条件以方程形式给出（如x²=2），可考虑整体代入，避免解出复杂数值。例4．（2026八年级上·吉林·期末）先化简，再求值：，其中．【变式4-1】（2026八年级上·内蒙古·期末）先化简，再从，，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入求值．【变式4-2】（八年级上·山东泰安·期末）求值：(1)计算：(2)先化简，再求值：，其中．类型五、求使分式为正(负)数时未知数的取值范围1.转化为分子分母同号（或异号）分式为正⇔分子、分母同号（同正或同负）；分式为负⇔分子、分母异号。据此列出符号条件对应的不等式组。2.画数轴求交集分别解出分子>0、<0，分母>0、<0的解集，在数轴上清晰标出。根据需要的符号（同号或异号），选取对应部分的交集。注意分母不能为零，对应点用空心圈标出。3.综合写出最终范围将求得的交集用不等式或区间表示。若分子、分母可因式分解，先找出各因式的零点（即分子、分母的根），再用“穿根法”（数轴标根法）快速判断各区间的符号，直接得出最终取值范围。例5．已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（

）A．且 B． C． D．且【变式5-1】若分式的值为正，则的取值范围是(

)A． B． C． D．且【变式5-2】（八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为负数，则的取值范围是．类型六、求使分式值为整数时未知数的整数值1.分离常数，化简分式对分子次数≥分母次数的分式，通过多项式除法或凑配法，将原式化为“整式部分+真分式（分子次数低于分母）”的形式。2.令分数部分为整数真分式值为整数的条件是：分子是分母的整数倍。3.解方程并验根令g(x)等于k的每一个因数（包括正负），解出对应的x值。最后需验证：1）解出的x是否为整数（题目要求）；2）是否使原分式分母不为零。全部满足的解即为答案。例6．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（

）A． B． C． D．【变式6-1】若分式的值是正整数，则可取的整数有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．8个【变式6-2】若分式的值为整数，则整数x的值为．类型七、与分式运算有关的规律性问题1.从特例入手，观察规律先计算前2-3个具体特例（如n=1,2,3时的算式结果），将每一步运算过程写清楚。观察结果在形式、系数、指数等方面的变化规律，并用含n的代数式进行猜想。2.将规律一般化，进行归纳证明将猜想的规律用数学公式表达（例如第n个式子的结果）。通过代数运算（如通分、合并等）对第n个一般式子进行化简，验证其结果与猜想公式一致。这实质是数学归纳法的思想。3.紧扣运算规则，确保通项正确规律常涉及分式的递推运算（如连续裂项、叠加）。推导通项时，严格遵循分式运算法则，注意符号和约分。最终结果应化为最简分式，并可通过代入n=1,2等值进行回代检验。例7．（2026七年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式：第个等式：．第个等式：．第个等式：．第个等式：．……(1)按上面的规律，第个等式为________．(2)请你归纳出第个等式（用含的等式表示），并说明理由．(3)计算：．【变式7-1】（2026七年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：；(2)写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并说明等式的正确性．【变式7-2】（2026七年级下·安徽芜湖·期末）观察下列等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，……按照以上规律，解答下列问题：(1)写出第6个等式∶；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明．类型八、与分式运算有关的新定义型问题1.明确新运算规则，翻译为标准运算仔细阅读，将新定义符号（如\(a⊗b\)）的具体计算步骤，逐句翻译为熟悉的分式加、减、乘、除及乘方运算的组合。这是所有解题的基础。2.严格按规则分步计算，并化简进行新定义运算时，严格遵循其规定的顺序和法则，逐步代入计算，过程要完整。计算中涉及分式运算时，坚持先因式分解、再约分化简的原则，确保结果为最简形式。3.验证运算律，善用特值法若题目要求判断新运算是否满足交换律、结合律等，可通过代数推导或举具体数值例子进行验证。对于较抽象的比较或判断，可选取简单符合条件的数值代入检验，帮助理解。例8．（2026八年级上·河北石家庄·期末）定义：若两个分式的和为为正整数，则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”．(1)分式与互为“______阶分式”；(2)分式与谁互为“6阶分式”？【变式8-1】（2026八年级上·江西上饶·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）；①；②；③；④．(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________；(3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？【变式8-2】（2026八年级上·河北石家庄·期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数。如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式，，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：，．解决下列问题：(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；(2)将假分式化为带分式；(3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的个数．一、单选题1．（2026八年级下·四川成都·期末）若分式的值为正数，则的值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．2．（2026八年级下·河北张家口·期末）下列分式变形正确的是（

）A． B． C． D．3．（2026八年级下·陕西汉中·期末）化简的结果为（

）A． B． C． D．4．（2026八年级下·河南开封·期末）下列关于分式的判断，正确的是（

）A．当时，的值为0B．当时，有意义C．无论为何值，的值不可能为整数D．无论为何值，的值总为正数5．（2026八年级下·福建泉州·期末）我们定义：若两个分式与的和为常数，且，则称是的“和约分式”，称为关于的“和约分式值”．如分式，，，则是的“和约分式”，．已知分式，，且是为的“和约分式”，则关于的“和约分式值”是（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2026八年级下·江苏泰州·期末）若分式的值为，那么的值是．7．（2026八年级下·江苏泰州·期末）分式的值是正整数，则正整数的值是．8．（2026七年级下·上海闵行·期末）如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是．9．（2026八年级下·四川成都·期末）已知，且，则代数式的值为．10．（2026八年级下·陕西西安·期末）定义新运算：，若，则的值是．三、解答题11．（2026八年级下·陕西咸阳·期末）化简：．12．（2026八年级下·陕西咸阳·期末）分式化简：．13．（2026八年级上·北京通州·月考）先化简：，并选一个合适的值作为代入求值．14．（2026八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）先化简：，然后从－1、0、1、2中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．15．（2026七年级下·安徽合肥·期末）观察与思考：①；②；③(1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式；(2)试用含n（为自然数，且）的等式表示这一规律，并说明该等式的正确性．16．（2026七年级上·上海·期末）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”．(1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”；(2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”．①_______（用含x的式子表示）；②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______；17．（2026七年级下·浙江金华·期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）．例如：①；②(1)判断为________（填真分式或假分式）；(2)仿照例子，将分式化为带分式．(3)若分式的值为整数，求的整数值．18．（2026八年级下·山东·期末）定义：若分式A与分式B的和等于它们的积的倍（为常数，），即，则称分式互为“n倍和积分式”．例如与，因为，，所以与互为“2倍和积分式”．(1)下列每组两个分式互为“倍和积分式”的是______；（填序号）①与，②与，③与，④与．(2)已知与互为“n倍和积分式”，则n的值为______；(3)若分式与分式互为“倍和积分式”，则分式为______；(4)若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”，则的值为______．答案解析类型一、分式有无意义的条件例1．（2026八年级上·北京延庆·期末）分式有意义，实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】分式有意义的条件【分析】根据分式有意义，分母不为零列式计算即可得解．本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式的值为零⇔分子为零且分母不为零．【详解】解：由题意得，，解得：，故选：A．【变式1-1】（2026八年级上·重庆綦江·期末）当为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）A． B． C． D．【答案】A【知识点】分式有意义的条件【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．直接利用分式有意义的条件分别分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零．【详解】解：A．当时，即为任意实数时，分式有意义，故本选项符合题意；B．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意；C．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意；D．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意；故选：A．【变式1-2】（2026八年级上·江苏苏州·期末）当时，下列分式无意义的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】分式有意义的条件、分式无意义的条件【分析】此题考查了分式无意义．解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件．分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．根据分母为0，分式无意义；分母不为零，分式有意义，逐一判断即得．【详解】A、当时，分式有意义；B、当时，，分式有意义；C、当时，分式有意义；D、当时，，分式无意义．故选：D．类型二、利用分式的基本性质判断分式值的变化例2．（2026八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】判断分式变形是否正确【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，然后进行逐项判断．【详解】解：A、原变形错误，故本选项不符合题意；B、原变形错误，故本选项不符合题意；C、原变形错误，故本选项不符合题意；D、原变形正确，故本选项符合题意．故选：D．【变式2-1】（2026八年级上·安徽黄山·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】判断分式变形是否正确【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项进行判断即可．【详解】A.，故选项错误，不符合题意；B.当时，，故选项错误，不符合题意；C.，故选项错误，不符合题意；D.，故选项正确，符合题意；故选：D【变式2-2】（2026八年级上·四川广安·期末）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（

）A．不变 B．扩大到原来的3倍C．缩小到原来的 D．缩小到原来的【答案】A【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，即可解题．【详解】解：如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则，分式的值不变，故选：A．类型三、分式的混合运算例3．（2026八年级上·江西·期末）化简：【答案】【分析】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式运算的方法是解题关键．先将括号里的分式进行因式分解约分，再通分加减，然后把除法运算转换为乘法运算进行约分化简即可．【详解】解：原式．【变式3-1】（2026八年级上·四川泸州·期末）计算：．【答案】【分析】本题考查了分式的混合运算，先计算括号内，将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解．【详解】解：．【变式3-2】（2026八年级下·山西临汾·期末）化简：．【答案】【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果即可．【详解】解：．类型四、分式化简求值例4．（2026八年级上·吉林·期末）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算的顺序和运算法则，是解题的关键．先算括号内的加法，再将除式的分母因式分解，把除法转化为乘法，约分即可化简原式，最后将代入化简后的式子，进行计算即可得到答案．【详解】解：原式，，，；当时，，，．【变式4-1】（2026八年级上·内蒙古·期末）先化简，再从，，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入求值．【答案】，或【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式化简求值，分式加减乘除混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．先化简分式，再将使分式有意义的值代入求值即可．【详解】解：，当时，原式无意义，当时，原式无意义，当时，原式．当时，原式．（0与选一个代入求值即可）【变式4-2】（八年级上·山东泰安·期末）求值：(1)计算：(2)先化简，再求值：，其中．【答案】(1)(2)，【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式的化简求值等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．（1）直接运用分式的混合运算法则计算即可；（2）先运用分式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可．【详解】（1）解：．（2）解：，当时，原式．类型五、求使分式为正(负)数时未知数的取值范围例5．已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（

）A．且 B． C． D．且【答案】D【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集【分析】本题考查分式值的正负性问题，也考查了解一元一次不等式．根据的值是非负数得到且，进而能求出x的取值范围．【详解】解：∵，∴且，∴且．故选：D．【变式5-1】若分式的值为正，则的取值范围是(

)A． B． C． D．且【答案】D【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向．根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可．【详解】解：由题意得，，且，∵分式的值为正，∴，∴，∴且．故选：D．【变式5-2】（八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为负数，则的取值范围是．【答案】且【知识点】分式有意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为负数时未知数的取值范围；根据分式的分母不能为0得出，再根据分式的值为负数得出，进行计算即可得到答案．【详解】解：根据题意得：，，分式的值为负数，，，，的取值范围是且，故答案为：且．类型六、求使分式值为整数时未知数的整数值例6．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解．【详解】解：由题意，，且为正整数，为非负整数，必为正整数．为的正因数，可能为，，，，为非负整数，可能为，，．又为正整数，或或均符合题意，共种可能．故选：A．【变式6-1】若分式的值是正整数，则可取的整数有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．8个【答案】A【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值【分析】本题主要考查了分式的值，利用已知条件得到关于m的不等式，再利用有理数的整除的性质解答即可．【详解】解：若分式的值是正整数，且为整数，则是6的约数，．∴或或或，即的值为8或5或4或3，共4个．【变式6-2】若分式的值为整数，则整数x的值为．【答案】或或或【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键．【详解】解：，分式的值为整数，且x是整数，或或或，解得：或或或，故答案：或或或．类型七、与分式运算有关的规律性问题例7．（2026七年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式：第个等式：．第个等式：．第个等式：．第个等式：．……(1)按上面的规律，第个等式为________．(2)请你归纳出第个等式（用含的等式表示），并说明理由．(3)计算：．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）根据所给式子发现规律，等式左边分母等于等式右边两个分数的分母乘积，即可推出第个等式；（2）由（1）的规律发现第个等式的规律，用分式的加法计算式子右边即可证明；（3）结合规律将式子转化为即可得解．【详解】（1）解：第个等式：，第个等式：，第个等式：，第个等式：，则第个等式为，即．故答案为：．（2）解：由（1）得，第个等式为，等式右边，，，，等式左边，．（3）解：，，，，，．【变式7-1】（2026七年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：；(2)写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并说明等式的正确性．【答案】(1)(2)（，且为整数），证明见解析【分析】本题考查算式规律的归纳能力，分式的混合运算，解题的关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解．（1）根据前个等式的规律求解此题；（2）根据前个等式归纳出此题规律进行求解，再证明即可．【详解】（1）解：∵第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：∴第个等式：，故答案为：；（2）解：由（1）归纳可得：第n个等式：（，且为整数）证明如下：左边右边，∴成立.【变式7-2】（2026七年级下·安徽芜湖·期末）观察下列等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，……按照以上规律，解答下列问题：(1)写出第6个等式∶；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明．【答案】(1)(2)第n个等式为，见解析【分析】本题考查了数字类规律探索、分式的混合运算，正确得出规律是解此题的关键．（1）观察各等式即可得出第个等式；（2）观察各等式即可得出第个等式，将左边式子括号内先通分，再约分进行化简，右边式子进行通分化简，比较左右两边是否相等即可得解．【详解】（1）解：观察各等式可得，第个等式为；故答案为：；（2）解：第n个等式为，证明：左边，右边，∵左边右边，∴原等式成立．类型八、与分式运算有关的新定义型问题例8．（2026八年级上·河北石家庄·期末）定义：若两个分式的和为为正整数，则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”．(1)分式与互为“______阶分式”；(2)分式与谁互为“6阶分式”？【答案】(1)5；(2)【分析】本题主要考查解分式加减，理解题意并掌握分式加减运算法则是解题的关键．（1）根据题意即可列出算式，进行化简即可得出答案；（2）根据题意即可列出算式，进行化简即可得出答案．【详解】（1）∵；∴分式与互为“5阶分式”；故答案为：．（2）解：由题意得，∴分式与互为“6阶分式”．【变式8-1】（2026八年级上·江西上饶·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）；①；②；③；④．(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________；(3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？【答案】(1)①③④(2)(3)，【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握新定义，是解题的关键：（1）根据新定义，逐一进行判断即可；（2）根据新定义，进行计算即可；（3）除法变乘法，约分化简后，进行加减运算，再根据新定义，进行求解即可．【详解】（1）解：；故①是和谐分式；不能化成一个整式与一个分子为常数的分式；故②不是和谐分式；；故③是和谐分式；；故④是和谐分式；故答案为：①③④（2）；故答案为：；（3）原式；∵，∴当时，分式的值为整数，∴，∵时，分式无意义，∴当时，分式的值为整数．【变式8-2】（2026八年级上·河北石家庄·期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数。如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式，，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：，．解决下列问题：(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；(2)将假分式化为带分式；(3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的个数．【答案】(1)真(2)(3)符合条件的x有4个【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的定义和化简运算方法是解题的关键，（1）利用题中定义判断即可；（2）根据题意化简即可；（3）由（2）中的化简分情况讨论出结果即可．【详解】（1）解：分式是真分式，故答案为：真．（2）解：由题可得：．（3）解：由（2）得：.∵x为整数，分式的值也为整数，∴或1或或，∴或或或，∴符合条件的x有4个．一、单选题1．（2026八年级下·四川成都·期末）若分式的值为正数，则的值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】A【分析】本题考查了求分式值为正（负）数时未知数的取值范围，熟练掌握分式的性质是解题关键．由分式的值为正数可知，分子与分母同号，故分母需满足，解得，再结合选项作答即可．【详解】解：分式的值为正数，，，只有A选项满足条件，B、C、D选项不满足，故选：A．2．（2026八年级下·河北张家口·期末）下列分式变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．利用通分可对A选项进行判断；利用同分母的减法运算的逆运算可对B选项进行判断；根据最简分式的定义对C选项进行判断；根据常规运算顺序对D项进行判断．【详解】解：A．，所以A选项不符合题意；B．，所以B选项符合题意；C．为最简分式，所以C选项不符合题意；D．，所以D选项不符合题意；故选：B．3．（2026八年级下·陕西汉中·期末）化简的结果为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查分式的混合运算，先通分计算括号内的减法，再利用除法的性质转换为乘法，约分后化简即可．【详解】解：原式；故选：C．4．（2026八年级下·河南开封·期末）下列关于分式的判断，正确的是（

）A．当时，的值为0B．当时，有意义C．无论为何值，的值不可能为整数D．无论为何值，的值总为正数【答案】D【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为零、分式值为整数的情况以及分式的符号判断．分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．【详解】A.当时，分母，分式无意义，故A错误；B.分式有意义需分母，与无关，故B错误；C.只有当时，，此时值为整数，故C错误；D.分母，分子为3，分式的值总为正数，故D正确；故答案选：D．5．（2026八年级下·福建泉州·期末）我们定义：若两个分式与的和为常数，且，则称是的“和约分式”，称为关于的“和约分式值”．如分式，，，则是的“和约分式”，．已知分式，，且是为的“和约分式”，则关于的“和约分式值”是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了分式的新定义，分式的加法运算，根据分式的加法运算法则求出的值即可求解，理解新定义是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，∴关于的“和约分式值”是，故选：．二、填空题6．（2026八年级下·江苏泰州·期末）若分式的值为，那么的值是．【答案】【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键．【详解】解：∵分式的值为，∴，解得，故答案为：．7．（2026八年级下·江苏泰州·期末）分式的值是正整数，则正整数的值是．【答案】1【分析】本题考查分式的值，根据题意确定符合题意的正整数x的值即可．【详解】解：∵分式的值是正整数，∴或2，∴或，又x为正整数，∴，故答案为：1．8．（2026七年级下·上海闵行·期末）如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是．【答案】【分析】本题主要考查了根据分式值的情况求参数，解一元一次不等式，根据题意可得，解不等式即可得到答案．【详解】解：∵分式的值为负数，∴，故答案为：．9．（2026八年级下·四川成都·期末）已知，且，则代数式的值为．【答案】1【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先进行括号内分式的减法计算，再将除法化为乘法化为最简分式，再代入求值即可．【详解】解：，∵，∴原式．10．（2026八年级下·陕西西安·期末）定义新运算：，若，则的值是．【答案】2【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确理解新定义运算，掌握运算法则．根据新定义的运算得出，然后将原式化简，最后代入即可求出答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故答案为：2．三、解答题11．（2026八年级下·陕西咸阳·期末）化简：．【答案】【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是运用运算法则来计算．根据分式混合运算的运算法则进行计算即可．【详解】解：．12．（2026八年级下·陕西咸阳·期末）分式化简：．【答案】【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先进行括号内异分母的分式减法计算，再将除法化为乘法计算．【详解】解：．13．（2026八年级上·北京通州·月考）先化简：，并选一个合适的值作为代入求值．【答案】，当时，原式的值为【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式化简的法则．先对分式进行化简，再选择合适的值代入求值即可．【详解】解：∵，∴，可选当时，代入上式得，原式．14．（2026八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）先化简：，然后从－1、0、1、2中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．【答案】，【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是先通过通分、因式分解等步骤化简分式，再根据分式有意义的条件选择合适的值代入计算．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，通过因式分解约分化简；根据分式有意义的条件排除不合适的值，代入化简后的式子求值．【详解】解：化简分式：，分式有意义的条件是分母不为0，故、，因此选择，将代入，得．15．（2026七年级下·安徽合肥·期末）观察与思考：①；②；③(1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式；(2)试用含n（为自然数，且）的等式表示这一规律，并说明该等式的正确性．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】本题考查了数字类规律探究和分式的运算，正确得到规律是解题的关键；（1）根据前几个等式找到规律求解即可；（2）先根据（1）题的规律得出一般的等式形式，再根据分式的运算法则验证即可．【详解】（1）解：因为①；②；③所以第④个等式是；（2）解：由（1）题可得：第n个等式为：；证明：右边