高考物理一轮复习 第六章　微点突破4　弹簧连接的系统机械能守恒问题（教师版）

弹簧连接的系统机械能守恒问题目标要求知道弹簧的弹性势能与哪些因素有关，会分析含弹簧的机械能守恒问题。1.含弹簧的系统，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。即Ep重+Ep弹+Ek=E，E为恒量。2.弹簧两端的物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能有最大值。例1(2025·贵州毕节市三模)如图所示，两根完全相同的轻质弹簧1、2连接着一小球，两弹簧O1端和O2端分别固定，且位于同一竖直线上。小球静止于O点时，弹簧2处于原长状态。现将小球从弹簧1的原长处C点由静止释放，已知CO的距离为h，重力加速度大小为g。若忽略空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内，则()A.小球到达O点的速率为2ghB.小球运动到最低点时加速度大小为2gC.由C到O的过程，小球的机械能守恒D.由C到O的过程，小球的机械能先减小后增大答案B解析小球静止于O点时，弹簧2处于原长状态，则弹簧1伸长了h且有F弹=mg，方向向上；开始小球在C点时，弹簧1处于原长状态，弹簧2伸长了h且有F弹'=mg，方向向下；可知两弹簧和小球组成的系统在C、O两点弹性势能相同，根据小球和弹簧组成的系统机械能守恒，由C到O有mgh=12mvO2，解得vO=2gh，选项A错误；设小球在C点的加速度为a，则在C点时F弹'+mg=ma，解得a=2g，由对称性可知，小球运动到最低点时加速度大小也为2g，选项B正确；由C到O的过程，前一阶段弹簧2向下的拉力大于弹簧1向上的拉力，则弹力的合力向下做正功；后一阶段弹簧1向上的拉力大于弹簧2向下的拉力，弹力的合力向上做负功，可知该过程中小球的机械能先增大后减小，选项例2(多选)(2026·内蒙古名校联盟联考)在光滑水平面上，水平轻弹簧的左端固定，右端与质量为m的物块A相连，细绳跨过光滑的轻质定滑轮将A与质量为2m的物块B连接，A与滑轮间的细绳水平，B与滑轮间的细绳竖直。弹簧的劲度系数k等于mgx0，弹性势能Ep与形变量x的关系为Ep=12kx2，重力加速度为g，不计空气阻力。初状态用手托住B，使弹簧处于原长，细绳恰好伸直，由静止开始释放物块B后，A始终未碰到滑轮，B也未落到地上，则(A.刚释放物块B瞬间物块A的加速度大小为2gB.物块A运动过程中的最大动能为2C.物块B到下落的最大高度为2x0D.物块B到最低点时加速度大小为2答案BD解析刚释放B瞬间，物块A和B连接在一起有大小相同的加速度，对A有FT=ma，对B有2mg-FT=2ma，联立可得a=2g3，故A错误；A、B均做直线运动，当所受合力均为零时速度最大，对A有FT'=kx，对B有FT'=2mg，可得此时弹簧伸长量x=2x0，根据系统机械能守恒有2mg·2x0=12×3mv2+Ep弹，此时弹簧弹性势能Ep弹=12·mgx0(2x0)2=2mgx0，联立可得A的最大动能EkA=12mv2=2mgx03，故B正确；B下落到最低点时速度为零，根据机械能守恒有2mg·h=Ep弹'=12kh2，可得B下落的最大高度h=4x0，故C错误；B在最低点时，对A有kh-FT″=ma'，对B有FT例3(2025·江苏扬州市质检)如图所示，在倾角为30°的光滑固定斜面上，一劲度系数为k=200N/m的与斜面平行的轻质弹簧一端连接在固定挡板C上，另一端连接一质量为m=4kg的物体A，一轻细绳绕过轻质定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的小球B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住小球B使细绳伸直且刚好没有拉力，然后由静止释放，不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2。求：(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小；(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；(3)物体A的最大速度的大小。答案(1)30N(2)0.2m(3)1m/s解析(1)弹簧恢复原长时，根据牛顿第二定律，对B有mg-FT=ma对A有FT-mgsin30°=ma，解得FT=30N。(2)开始时弹簧压缩量x1=mgsin30°k=0.1当A速度最大时，A的加速度为0，则有mg=kx2+mgsin30°解得弹簧伸长量x2=0.1m所以A沿斜面上升x1+x2=0.2m。(3)因x1=x2，故弹簧弹性势能改变量ΔEp=0，由系统机械能守恒有：mg(x1+x2)-mg(x1+x2)sin30°=12×2mv解得v=1m/s。例4(2025·江西省联考)如图所示，一根轻质弹簧一端固定于光滑竖直杆上，另一端与质量为m的滑块P连接，P穿在杆上，一根轻绳跨过轻质定滑轮(可视为质点)将滑块P和重物Q连接起来，重物Q的质量为3m。一开始用手托住重物Q，使轻绳恰好伸直但张力为0，然后由静止释放重物Q，使P从图中A点由静止沿竖直杆上下运动，滑块P经过A、B两点时弹簧对滑块的弹力大小恰好相等，已知一开始OA与水平面的夹角θ=53°，OB与AB垂直，OB长为3L，弹簧的劲度系数为k，不计滑轮的摩擦力及空气阻力，重力加速度为g，sin53°=0.8，cos53°=0.6。当滑块P运动至B点时，其速度大小为()A.2gL B.2C.g2mk D.2答案C解析P经过A、B两点时弹簧对滑块的弹力大小恰好相等，所以弹簧在A点的压缩量x等于在B点的伸长量x，且x=hAB2=2L，弹性势能也相等，开始手托住重物Q，使轻绳恰好伸直但张力为0，所以mg=2kL，即L=mg2k，从释放Q到P运动至B点过程，由P、Q及弹簧三者组成的系统机械能守恒得3mg·2L-mg·4L=12mvP2+12×3mvQ2，P、Q二者沿着绳子方向速度大小相等得vPcos90°=vQ=0，解得vP=2gL，将L=1.(多选)(2025·甘肃、青海、宁夏部分学校联考)如图所示，轻弹簧一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连，小球套在固定的竖直光滑杆上，P点到O点的距离为L，OP与杆垂直，杆上M、N两点与O点的距离均为2L。已知弹簧原长为54L，重力加速度为g。现让小球从M处由静止释放，下列说法正确的是(A.小球从M运动到N的过程中，有三个位置小球受到的合力等于重力B.小球从M运动到N的过程中，小球的机械能守恒C.小球从M运动到N的过程中，弹簧弹性势能先减小后增大D.小球通过N点时速率为23答案AD解析OM=ON=2L，OP=L，弹簧的原长为54L，所以小球在MP之间某个位置时弹簧处于原长，弹簧弹力为0，小球受到的合力等于重力，同理小球在PN之间某个位置时弹簧处于原长，弹簧弹力为0，小球受到的合力等于重力，当小球经过P点时小球受到的合力等于重力，故A正确；小球从M运动到N的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能并不守恒，故B错误；小球从M运动到N的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大，再减小又增大，故C错误；小球在M、N两个位置时，弹簧的长度相等，所以弹簧的弹性势能相等，在小球从M运动到N的过程中小球的重力势能全部转化为动能，有mg×23L=12mv2，解得v=23gL2.(2025·陕西延安市模拟)如图所示，光滑细杆竖直固定在地面上，细杆下方穿有一劲度系数为20N/m的轻质弹簧，弹簧底端固定在水平地面上。一中间带孔、质量为1kg的物块穿在细杆上，从距离弹簧上端高h=0.75m的位置由静止释放，不计空气阻力，已知弹簧弹性势能表达式Ep=12kx2，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，弹簧始终未超过弹性限度，重力加速度g取10m/s2。则物块从静止释放到第一次运动到最低点的过程中，下列说法正确的是(A.物块失重下落的高度为0.75mB.物块超重下落的高度为1.5mC.弹簧的弹性势能最大值为45JD.物块的最大速度为25m/s答案D解析弹簧弹力等于重力时物块的加速度为0，速度最大，此时弹簧的压缩量x1=mgk=0.5m，所以物块失重下落的高度h1=h+x1=1.25m，该过程中物块和弹簧组成的系统机械能守恒，有mg(h+x1)-12kx12=12mv2，解得v=25m/s，故A错误，D正确；物块从释放到最低点的过程中，根据系统机械能守恒定律mg(h+x2)=12kx2·x2，解得x2=1.5m，所以物块超重下落的高度h2=x2-x1=1m，故B错误；弹簧的最大弹性势能Ep=12kx23.(2025·广西南宁市期中)如图为一款儿童玩具的简化图，固定的竖直杆AF和半径为R的半圆形杆ABC在A处平滑连接，圆心为O，B为最高点，轻质弹簧的下端固定于F点，弹簧处于原长时，其上端在A处。现将质量为m的小球甲套在杆上，并控制小球将弹簧缓慢压缩至E点，然后释放小球，小球被弹簧弹出，恰好到达B点。已知AE的距离为R，重力加速度为g，不计一切摩擦。若换用质量为m3的小球乙，仍使小球将弹簧压缩至E点，然后释放小球，小球被弹簧弹出，则小球乙到达B点时，对半圆形杆的压力大小为(A.5mg3 B.C.7mg3 D答案C解析对小球甲和弹簧组成的系统，根据机械能守恒可得E弹=mg·2R同理，对小球乙和弹簧组成的系统，有E弹=m3g·2R+12·m小球乙在B点时，由牛顿第二定律可知F向=m3·v2R=83mg>mg，半圆形杆对小球乙的压力竖直向下，则有FN+13mg=83mg根据牛顿第三定律可知，小球乙到达B点时，对半圆形杆的压力大小为FN'=FN=7mg3，故选4.(2025·安徽合肥市检测)如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k=200N/m的轻质弹簧(保持竖直)相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过轻质细线绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的足够长的光滑斜面上。用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行。已知A、B的质量均为10kg，C的质量为40kg，重力加速度g取10m/s2，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后C沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度，则()A.从释放C到B速度达到最大过程中，地面对斜面的支持力不断减小B.A、B、C组成的系统机械能守恒C.B的最大速度为2m/sD.当C的速度最大时弹簧处于原长状态答案C解析从释放C到B速度达到最大过程，由于C对斜面的压力不变，故地面对斜面的支持力不变，故A错误；运动过程中，由于A、B、C组成的系统机械能与弹簧的弹性势能相互转化，所以A、B、C组成的系统机械能不守恒，故B错误；当物体A刚离开地面时，物体B上升的距离以及物体C沿斜面下滑的距离均为h=xA+xB=2mgk=2×10×10200m=1m，由于xA=xB，开始弹簧处