人教版数学（2024年）七年级上册第三章 代数式 教学设计

第三章代数式

3.1列代数式表示数量关系(3课时)

第1课时代数式的概念及其意义

♦.教学目标

1.了解代数式的概念，能正确地说出代数式的意义；

2.能分析简单问题中的数量关系，并会用代数式表示.

二.重点难点

重点

了解代数式的概念和列代数式.

难点

能分析简单问题中的数蜃关系，并会用代数式表示.

教学设计

一、导入新课

智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一，某品牌苹果采摘机器人

每秒可以完成5n?范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一

个机械手8s可以采摘一个苹果.根据这些数据回答下列问题.

(1)该机器人10s能识别多大范围内的苹果？60s呢？zs呢？

(2)该机器人识别“n?范围内的苹果需要多少秒？

(3)若该机器人搭载了m个机械手，它与采摘工人同时工作1h,假设工人5

s可以采摘一个苹果，则机器人比工人多采摘多少个苹果？

二、探究新知

(一)代数式

1.概念

(1)一条河的水流速度是2.5km/h,船在静水中的速度是I，km/h,用式子表示

船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；

(2)一个正方形的边长是这个正方形的周长L是多少？面积S呢？

上述问题中列出的式子5r,g,450/H-720,v+2.5,4%/，它们都是用

运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.

注意：(1)单独一个数或一个字母也是代数式；

(2)代数式中除了含有数，字母和运算符号外，还可以含有括号；

(3)代数式不含=,>,<,>,<,

2.代数式的书写格式

(1)数字与字母、字母与字母相乘，“x”通常用“•”表示或省略不写，并把数字

写在字母的前面；

(2)除法运算写成分数的形式，带分数化成假分数；

(3)代数式中相同字母或因式的积用乘方形式表示；

(4)代数式为和或差的形式，且后面有单位时，要把代数式用括号括起来.

注：数字与数字相乘，“x”不能用表示，也不可省略.

(二)用代数式表示数量关系

例1(1)苹果原价是〃元/kg,现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的

售价；

(2)一个长方形的长是0.9m,宽是pm.用代数式表示这个长方形的面积；

(3)某产品前年的产量是〃件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，用代

数式表示去年的产量;

(4)一个长方体水池底面的长和宽都是4m,高是力m,池内水的体积占水池

容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积.

解：(1)苹果的售价是0.9〃元/kg;

(2)这个长方形的面积是().9〃nF；

⑶去年的产量是(2〃-1())件；

(4)由长方体的体积=长乂宽x高，得这个长方体水池的容积是aa-hm\即

crhm3,池内水的体积为(〃26m3.

提问：你能赋予一个新的含义吗？

例2说出卜列代数式的意义：

(1)2。+3;(2)2(6/4-3);

(3〉;(4)/+2x+8.

解：(1)2〃+3的意义是。的2倍与3的和；

(2)2(〃+3)的意义是♦与3的和的2倍；

(3焉的意义是c除以〃，人的积的商；

(4)f+2丫+8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和.

举例说明，2(4+3)所表示的实际问题中的数量关系.

三、课堂练习

1.判断下列是否为代数式：

(l)l(k+5,y;

(2)10x+5y=15;

⑶c；

(4)cW2;

教学反思

数学教学，要紧紧联系学生的生活环境，从学生的经验和已有知识出发，创

设有助于学生自主学习、合作交流的情境.过去的复习导入、直观导入等方法大

多被创设情景导入法所代替，资料生动、学生熟悉、感兴趣的教学情境层出不穷,

课堂所追求的让学生真正成为主体，拥有学习主动权，在预设好的情境和师生的

共同努力下得以落实.第2课时列代数式

、.教学目标

能正确分析实际问题中的数量关系，并会用代数式表示，为今后学习一元一

次方程奠定基础.

重点难点

重点

根据实际问题列代数式.

难点

能正确分析较复杂问题中的数量关系，并会用代数式表示.

教学设计

一、导入新课

填空：

(1)一个正方形的边长是则它的周长是—3—,面积是万.

(2)小明今年加岁，5年后他的年龄是_(祖+5)__岁.

(3)一个三位数，百位数字是右十位数字是力个位数字是z,这个三位数

可以表示为」00x+10y+2.

(4)一辆汽车在公路上行驶了s千米,所用的时间为“、时，则平均速度为

一千米/时.

二、探究新知

(一)列代数式

用代数式表示为,两数的和与差的积

两数之和，

\和与差

“\之和

〉・(a+b)(a-b)

两数之差*b/

(二)实际应用

例3用代数式表示：

(1)购买2个单价为。元的面包和3瓶单价为h元的饮料所需的钱数；

(2)爸爸把。元钱存入银行，存期3年，年利率为2.75%,到期时的利息是多

少元？

(3)某商品的进价为x元，先按进价的11倍标价，后又降价80元出售，现

在的售价是多少元？

分析：①所需的钱数=2个面包的钱数+3个面包的钱数；

②利息=本金x年利率x存期；

③现在的售价=原来的标价一降价数.

解：(1)购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为h元的饮料所需的钱数为(2〃

+3份元；

(2)根据题意得〃x2.75%x3=8.25%〃，因此到期时的利息为8.25%〃元；

(3)现在的售价为(l.lx-50)元.

例4甲、乙两地之间公路全长240km,汽车从甲地开往乙地，行驶速度为

vkm/h.

(1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？

(2)如果汽车的行驶速度增加3km/h,那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少

小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？

分析：本题包含路程、速度和时间三个量，它们之间具有关系：时间等于路

程+速度，另外，早到的时间=原来需要行驶的时间一加快速度后需要行驶的时

间.

240

解：(1)汽车从甲地到乙地需要行驶丁h;

(2)如果汽车的行驶速度增加3km/h,那么汽车从甲地到乙地需要行驶出

240240

h,汽车加快速度后可以早到(下一不)卜

方法归纳：列代数式就是把实际问题中与数量有关的语句，用含有数、字母

和运算符号的式子表示出来，也就是把文字语言转化为符号语言.

注意：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、

积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；

②理清语句层次，明确运算顺序，一般按“先读先写”的原则列出式子；

③牢记一些概念和公式.

三、课堂练习

1.用代数式表示：

(1)。与〃的和的平方；

(2)〃与〃两数的平方和；

(3)。与8的差的平方;

(4)4与匕两数的平方差.

【答案】(1)3+切2(24+护(3)3i)2

(4)以2一〃

2.用代数式表示(实际应用)：

某工厂第一年的产值为。万元，若第二年产值比第一年增加了X%,则第二

年的产值为—0(1+x%)—万元;第三年又比第二年增加了X%,则第三年的产值

为a(l+x%1—万元.

3.代数式的实际意义：

(1)一根弹簧长10cm,挂质量为1kg的物体，弹簧伸长0.5cm,则10+0.5”

表示—这根弹簧挂工kg物体后的长度—;

⑵若〃是整数，则〃(〃+1)5+2)表示.三个连续整数的积—;

(3)每支铅笔。元，每本笔记本〃元，则100—(4〃+3勿表示—用10()元买每

支。元的铅笔4支和每本6元的笔记本3本余下的钱数

四、课堂小结

谈谈本节课的收获？

五、课后作业

教材P73练习第1,2,3,4题.

二.教学反思

由于列代数式的内容既是本章的重点，又是本书的重点，同时也是学生学习

过程中的一个难点，故在设计其教学过程时，注意所选例题及练习题由易到难，

循序渐进，使学生逐步地掌握好这一内容，为今后的学习打下一个良好的基础同

时，也使学生的抽象思维能力得到初步的培养.第3课时成反比例关系

•1教学目标

1.通过具体问题让同学们理解成反比例关系的概念；

2.会判断两个相关联的量是不是成反比例关系；

3.会用成反比例关系解决实际问题.

♦.重点难点

重点

理解成反比例关系的概念.

难点

能正确判断两个相关联的量是否成反比例关系.

教学设计

一、导入新课

说出判断正比例关系的步骤.

说一说下面各题中两个量是否成正比例，你是怎样判断的？

(1)速度一定，路程和时间；

(2)工作效率一定，工作总量和工作时间；

(3)订购同一种牛奶，订的数量和总价.

二、探究新知

(一)成反比例关系的有关概念

问题北京是全球首个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运的城市，在

冬季奥运会前，某赛场计划造雪26()()0()nf,解答下列问题：

(1)根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写下表.

每天造雪量/n?500052006500……

造雪天数……

⑵每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关

系？

造雪总量

造雪天数=

每天造雪量.

可以发现，造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，而且造雪天数与每天造

雪量的乘积一定，总是260000.

归纳概念：反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变

化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反

比例关系.

判断步骤：

错误！

②一个变化，另一个也随着获

③乘积一定K

如果用字母x和），表示两个相关联的量，用A表示它们的积（&是一个确定的

值，且存0）,反比例关系可以用孙=女或＞=!来表示，其中％叫作比例系数.

（二）成反比关系的应用

例5如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为10cm2,20cm2,30cm2,

60cm2,分别往这四个容器中注入300cm$的水.

（1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？

（2）分别用M单位：cm）和），（单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，

用式子表示），与x的关系，丁与x成什么比例关系?

分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系：圆柱

的体积=底面积X高，

一圆柱的体积

底面积-

解：(1)四个容器中水的高度分别为：帑=30(cm),甯=15(cm),甯=

10(cm),喘=5(cm).

(2)邛=300或丁=丁，了与工成反比例关系.

三、课堂练习

1.判断下列各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理山.

(1)200名同学参加队列操表演，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与

排数；

(2)三角形的面积是6cm2,它的一条边的长与这条边上的高；

(3)张华每小时可以制作12。朵小红花，她制作的小红花朵数与制作时间.

2.某工厂生产一批零件，每天生产的零件个数与需要的天数如下表：

每天生产的零件个

200300400600

数

需要的天数36241812

(1)这批零件共有多少个？

(2)需要的天数是怎样随着每天生产的零件个数的变化而变化的？

(3)用x表示每天生产零件的个数，表示需要的天数，用式子表示)，与犬的

关系，)与x成什么比例关系？

【答案】1.(1)成反比例关系，理由：每排人数x排数=总人数，所以每排人

数与排数成反比例关系

(2)成反比例关系，理由：1x—边长x这条边上的高=三角形的面积6cm2,

所以一条边的长与这条边上的高成反比例关系(3)不成反比例关系，理由：她

制作花朵数=120x制作的时间，即她制作的花朵数与制作的时间成正比例，不是

反比例关系.

2.(1)7200(2)需要的天数随着每天生产的零件个数增大而减小(3»=

手，y与大成反比例关系

四、课堂小结

今天我们通过具体问题学习了反比例关系，在日常生活中，成反比例关系的

例子是很常见的，例如，在购买某种物品时，总价一定，购物的数量与商品的单

价成反比例关系.只要我们透彻理解了成反比例关系的概念，就不难判断两个相

关联的量是否成反比例关系，就会用成反比例关系解决实际问题.

五、课后作业

教材P75练习第1,2,3题.

二‘教学反思

本节课的内容比较抽象，难懂，历来都是学生怕学的内容.我从身边现实生

活中的素材里引入学习内容.

首先我把自主权交给学生，营造了民主、平等、宽松、和谐的课堂氛围，学

生通过对成正例、成反例的例题进行比较，归纳出成反比例的量的几个特点，促

使他们对成反比例关系的概念的正确理解.总之，在我精心的组织引导下.学生

通过自主学习，合作探究，猜想归纳，建构了新的知识结构，提高了各种能力，

培养了积极的情感和学习态度.

3.2代数式的值（2课时）

第1课时求代数式的值

♦,教学目标

1.理解代数式的值的概念；

2.会求代数式的值.

二.重点难点

重点

求代数式的值的步骤.

难点

用整体代入法求代数式的值.

二.教学设计

一、导入新课

由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式.这里的运算

是指加、减、乘、除、乘方和开方.单独一个数或者一个字母也称代数式.

1.方方在文具店买了2支单价为x元的笔芯，又买了3本单价为y元的笔

记本，方方这次买文具一共花了（2x+3y）一元.

2.圆圆在水果店买了2斤单价为X元的苹果，又买了3斤单价为y元的繇

猴桃，圆圆这次买水果一共花了（2工+3），）元.

注意：同一个代数式在不同的问题情境中具有不同的意义.

二、探究新知

（一）代数式的值

问题：为了开展体育活动，学校要购置一批排球，每班配5个，学校另外留

20个，学校总共需要购置多少个排球？

记全校的班级数是〃，则需要购置的排球总数是5〃+20

如果班级数是15,用15代替字母〃，那么需要购置的排球总数是

5/7+20=5x15+20=95.

如果班级数是20,用2()代替字母〃，那么需要购置的排球总数是

5A?4-20=5x204-20=120.

归纳概念：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系

计算得出的结果，叫作代数式的值.当字母取不同的数值时，代数式的值一般也

不同.

(二)求简单的代数式的值

例1根据下列U的值，分别求代数式烈+3)，的值.

(l)x=15,y=12;

(2)x=1,x=1.

解：(1)当x=15,)=12时，2x+3y=2xl5+3xl2=66;

117

(2)当x=l,y=^时，2x+3)，=2xl+3x]=-.

例2根据下列处人的值，分别求代数式〃一与的值.

⑴。=4,8=12;

(2)〃=—3,b=2.

解：(1)当。=4,力=12时，a2-j=42—彳=13;

(2)当。=-3,8=2时，/一9=(-3)2一春=y.

三、课堂练习

1.当以=2,/>=-1,c=—3时，求下列代数式的值.

(l»2-4ac;(2)(a+W+c)2.

2.当x=-2,)，=一13时，求下列代数式的值.

(l)3y-x;(2)|3)，+x|.

3.若。+〃=-1,求下列代数式的值.

(l)〃+b+2;(2)3〃+3b.

4.若x+2)，+5=7,求代数式3x+6y2-5的值.

【答案】1.(1)原式=1+24=25(2)原式=(-2/=42.(1)原式=-39+2

=-37(2)原式=|一39-2|=413.(1)原式=-1+2=1

(2)原式=3(。+切=一34.原式=3。+2)，2+5)—20=21-20=1

四、课堂小结

这节课你有什么收获？

五、课后作业

教材P80练习第1,2,3题.

二‘教学反思

本节课我通过实际问题引入代数式的值的概念，通过同学们思考、讨论得出

求代数的值的步骤是先代入后计算，同时让同学们回忆运算顺序是先乘方，再乘

除，最后加减；如果有括号，先算括号内的运算，以及在练习过程中强调求代数

式值的步骤和运算顺序.在讲解例题时，让学生回答解题过程，最后课堂小结时,

先让学生小结教师再作补充.整个课堂让学生积极主动参与到每个环节，收到了

较好的教学效果.

第2课时求公式中代数式的值

教学目标

1.能根据题意表示数量关系；

2.会用求代数式的值解决实际问题.

重点难点

重点

能根据题意表示数量关系，

难点

会用求代数式的值解决实际问题.

教学设计

一、导入新课

1.什么叫代数式。

2.怎么求代数式的值？

二、探究新知

例3如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组

成，其中直道的长为半圆形弯道的直径为儿

(1)用代数式表示这条跑道的周长；

(2)当〃=67.3m,b=52.6m时，求这条跑道的周长(九取3.14,结果取整数).

解：(1)两段直道的K为2a,两段弯道组成一个圆，它的直径为b,周K为兀心

因此，这条跑道的周长为为+汕.

(2)当。=67.3m,b=52.6m时,la+nb=2x67.34-3.14x52.6~300(m),因此,

这条跑道的周长约为300m.

例4一块三角尺的形状和尺寸如图所示，用代数式表示这块三角尺的面积

£若a=10cm,b=17.3cm,r=2cm,求这块三角尺的面积(几取3.14).

F---------h--------

解：三角形的面积为gM圆的面积为兀户，这块三角尺的面积(单位，cm2)S

ab—nr,当〃=10cm,/?=17.3