安徽省A10联盟2027届高三上学期8月底学情调研（开学）数学试卷（含解析）

2027届高三8月底学情调研数学满分150分，时间120分钟。请在答题卡上作答注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据5，2，7，6，1，4的第40百分位数为()A.2 B.4 C.5 D.72.已知平面向量，，，若，则()A.-5 B.-1 C.1 D.53.已知集合，，则的元素个数为()A.4 B.3 C.2 D.14.双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.5.《九章算术•商功》记载：“斜解立方，得两堑堵；斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑.”其中，“阳马”特指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥（即直四棱锥）.今有一阳马如图所示，其中平面，，若与所成角的余弦值为，则()A. B. C. D.6.若函数在上存在最小值m，则()A. B. C. D.7.已知各项均不相同的数列满足，则()A.2027 B.2028 C.2 D.18.在一节研究性学习的课程上，为了体现数学与生活的联系，唐老师准备了一个抽奖箱，里面有8张卡片，其中三张卡片上用绿色签字笔标有数字2、4、6，五张卡片上用黑色签字笔标有数字2、4、6、8、10，现邀请一名同学参与抽卡游戏，要求该同学从箱中任取三张卡片，则该生抽到的卡片都是绿色数字或都是黑色数字或卡片上的数字之和是6的倍数的概率为()A. B. C. D.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.设，则下列说法正确的是()A. B.C.的虚部为9 D.为纯虚数10.对严格减函数有如下定义：设函数的定义域为I，若，当时，，则称为区间I上的严格减函数.已知函数，的定义域为R，若，则下列说法正确的是()A.当，的图象均关于原点对称时，的图象也关于原点对称B.若，，且，则C.若，在R上均为严格减函数且连续，则没有极值点D.若，均存在最大值，则也一定存在最大值11.已知三棱锥的体积为V，外接球的球心为O，且点O在线段上，向量，的夹角与向量，的夹角分别为定值，若球O的体积为定值，则添加下列条件后，若V的值能够存在，则使得V的值唯一确定的是()A.的长 B.的度数C.与平面所成角的正弦值 D.二面角的度数三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.曲线在点处的切线与直线垂直，则m的值为____.13.半径相同的圆，交于，两点，若，则圆的标准方程为____.14.已知，函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，则___；函数，若关于x的方程在有且仅有1个根，则实数α的取值范围为_____.四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（13分）已知三棱锥如图所示，其中是面积为的等边三角形，，.(1)求证：；(2)若，三棱锥的体积为1，求直线与平面所成角的正弦值.16.（15分）某奢侈品专柜在开业100天的纪念日举办一项有奖回馈至尊VIP的活动，规定当天在专柜消费最多的VIP顾客（下面简称VIP顾客）可以通过抽奖获得最高金额为m万元的现金返利（其中m未知），具体抽奖活动规则如下：在一个封闭的抽奖箱里装有5张奖券，每张奖券上标注着不同的奖励金额，VIP顾客从抽奖箱中随机摸取1张奖券，查看数字后，若他认为符合自己的心理预期，则直接兑奖，若他认为不符合自己的心理预期，则可以丢掉奖券，再从剩下的奖券中随机抽取一张，重复该过程，直到奖券抽完，若奖券抽完，则按最后一张奖券的金额进行返现.(1)若该VIP顾客进行了2次抽奖后兑奖，其获得的返现金额为a，求；(2)经过思考，该VIP顾客决定采取如下抽奖策略，他决定先抽取了2次，记录下这两次抽奖的最高金额x，然后丢掉奖券继续抽取，若后续抽奖抽到奖券的金额小于x，则继续抽，若金额大于x，则直接兑奖，若抽到第5次，奖券的金额仍然小于最大金额x，则保留第5次的结果进行兑奖，求按照这种策略，该VIP顾客能够获得最高金额为m万元的现金返利的概率.17.（15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求的值；(2)若，且，求的外接圆面积.18.（17分）已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C形成的弦长为8.(1)求抛物线C的方程；(2)已知直线与抛物线交于，两点，其中，.(i)已知点T在抛物线C上，且，若，求m的值；(ii)探究：是否存在定点Q，使得（其中，分别为直线，的斜率），若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.19.（17分）已知函数.(1)若，求函数在上的最值；(2)已知函数有两个不同的零点，.(i)求a的取值范围；(ii)若，求a的取值范围.

参考答案：1.B解析：将样本数据从小到大排列为1，2，4，5，6，7，因为，所以第40百分位数为第3个数4.故选B.2.D解析：由题意得，，解得，故.故选D.3.C解析：由题意得，或，则.故选C.4.A解析：令，故所求渐近线方程为.故选A.5.B解析：设，，易知平面，且，故与所成角的余弦值为，化简得，即.故选B.6.D解析：，易知单调递增.由题意得，方程在上有解，故，即，则，而，故，此时，的解为，故当时，，当时，，故.故选D.7.A解析：由题意得，为等差数列，令，即，即，则.故选A.8.B解析：摸卡总的方法数为种，把符合条件的摸卡情况分为四类：第一类，全绿有种.第二类，两绿一黑，若绿卡摸，黑卡只能是6（1种）；若绿卡摸，黑卡可以是4或10（2种）；若绿卡摸，黑卡可以是2或8（2种），故第二类共5种.第三类：一绿两黑，若绿卡摸2，黑卡可以是、、（3种），若绿卡摸4号，黑卡可以是、、（3种）；若绿卡摸6号，黑卡可以是、、、（4种），故第三类共10种.第四类，全黑卡有种，故所求概率.故选B.9.ABD解析：因为，所以，故A正确；，故B正确；，则其虚部为-9，故C错误；，故D正确；故选ABD10.BC解析：令，则A错误；，故B正确；当，在R上均为严格减函数且连续时，在R上严格单调递减，则没有极值点，故C正确；令，，则无最大值，故D错误.故选BC.11.ABC解析：球心O在线段上，则是外接球的直径，（R为球的半径），由球O的体积为定值，得R是常数.由向量，的夹角与向量，的夹角分别为定值，得和的角度为定值.如图，已知，的长和的角度为定值，则的长为定值，所以三边长都是定值；同理，由的角度为定值，得的长为定值.对A，若已知的长，则在中，可以求出的长，则三棱锥的所有棱长都确定，则V唯一确定，故A正确；对B，若已知的度数，则在中，可以求出的长，再在中，可以求出的长，则三棱锥的所有棱长都确定，则V唯一确定，故B正确；对C，由的长和与平面所成角的正弦值，可以求出点S到平面的距离，由的三边长，可以求出的面积，则V唯一确定，故C正确；对D，已知点C的轨迹是一个圆周，点S随着点C的变化而变化，点S的轨迹也是一个圆周，若二面角的度数确定，则点S为上述圆周与平面的交点，一般会有两个交点，则此时V的值不确定，故D错误.故选ABC.12.4解析：由题意得，，则，故，解得.13.解析：由题意得，的中点坐标为，，则，圆的半径，故圆的标准方程为.14.；解析：由题意得，，则，由在上单调递增，得，则，故.由题意得，，若，，则，，令，则，所以在上单调递增，故，即，而恒成立，故只需解，解得；若，，则或，则在上单调递减，在上单调递增，令，结合，的图象知，（排除，因为此时有两根），故，解得.综上，实数α的取值范围为.15.(1)见解析(2)解析：(1)由，得O为线段的中点，因为是等边三角形，所以，因为，且，所以平面，因为平面，所以.(2)由是面积为的等边三角形，得，，由(1)知，平面，则，所以，即，故以O为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，即，取平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为θ，则，即直线与平面所成角的正弦值为.16.(1)(2)解析：(1)设抽到的第j张奖券的金额为，；设事件A为，事件B为，事件C为该VIP顾客进行了2次抽奖后获得最大金额m，注意到，，，则.(2)仍设事件C为该VIP顾客获得最大金额奖励m，若，则，故只需考虑的情况.设：抽到的第张奖券金额为m，由于是随机抽取，抽到的每张奖券为最大金额m的概率均相等，即；只有当x是前张奖券中的最大金额，顾客才会保留第i张奖券，，则.17.(1)(2)解析：(1)因为，所以，整理得，，由正弦定理得，，即.(2)由(1)知，，由余弦定理得，，因为，则，故，整理得，即，即，由，得，故的外接圆半径，则的外接圆面积为.18.(1)(2)(i)(ii)解析：(1)设直线，联立，得，设直线l与抛物线C交于，两点，则，由抛物线定义知，，解得，所以抛物线C的方程为.(2)(i)联立，得，则，，设，，代入抛物线得，，则，，所以.因为，，，所以.又因为，所以，解得或；因为，，所以，则，代入中，解得.(ii)当直线轴时，若，则点Q必在x轴上.设，则，所以，即，则，故.19.(1)见解析(2)(i)(ii)解析：(1)若，则，，的定义域为，令，解得，令，解得，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取到极大值，也是最大值，为；而，，故最小值为.(2