福建省福州市闽侯县第六中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（含解析）

福建省福州市闽侯县第六中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题1．在空间直角坐标系中，若，，则（

）A． B． C． D．2．已知空间向量，，若，则（

）A．1 B． C． D．33．已知向量，，且，则（

）A． B． C． D．4．已知点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（

）A． B． C． D．5．空间向量在上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．已知，，，则点A到直线BC的距离为（

）A． B． C． D．7．已知空间中三点，，，则（

）A．与是共线向量 B．的单位向量是C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是8．已知，若不能构成空间的一个基底，则（

）A．3 B．1 C．5 D．7二、多选题9．已知向量，，则下列正确的是（

）A． B． C． D．10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（

）A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则C．直线的方向向量，平面的法向量是，则D．直线的方向向量，平面的法向量是，则11．如图所示，正方体的棱长为1，、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（

）A．直线与直线所成角的余弦值为 B．点到距离为C．直线与平面平行 D．三棱锥的体积为三、填空题12．已知空间向量，，则______.13．已知空间向量，，两两夹角为，且，则______.14．如图所示,在空间四边形OABC中，,点在线段上，且，为中点，若，则_____________四、解答题15．已知，.(1)求；(2)当时，求实数的值.16．如图，四边形为矩形，平面平面，，．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小．17．如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点．(1)证明：；(2)当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；(3)当二面角的余弦值为时，求．参考答案1．B解：因为，，所以.故选：B2．B解析：因为，，且，所以，解得，故选：B.3．C解析：因为向量，，且，所以，即，可得，解得，所以.故选：C.4．C解析：由，，，得，，设是平面的一个法向量，则即,取，则，故，则与共线的向量也是法向量，经验证，只有C正确..故选：C．5．C解析：，，由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为，故选：C.6．B解析：由题意有：，所以，所以点A到直线BC的距离为，故选：B.7．C解析：A选项，，设，则，无解，故与不是共线向量，A错误；B选项，的单位向量为，B错误；C选项，由于，，与均垂直，又由A知，与不共线，故平面ABC的一个法向量是，C正确；D选项，，设与夹角为，则，D错误.故选：C8．B解析：若不能构成空间的一个基底，共面，存在，使，即，解得，故选：.9．AB解析：向量，，则，A正确；显然，B正确；由数量积的定义得，C错误；显然，则，即有，D错误.故选：AB10．AB解析：两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确；两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确；直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误；直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误．故选：AB11．ACD解析：在棱长为1的正方体中，建立以为原点，以，，所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示：因为、、分别为、、的中点，则、、、，对于A，，，，设直线与直线所成角为，所以，故A正确；对于B，，，所以，，所以，所以点到AF距离为，故B错误；对于C，连接、，，在正方体中，因为、分别为、的中点，则，又易得，所以，故、、、四点共面，又因为且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故C正确；对于D，因为平面，∴，故D正确.故选：ACD12．解析：，，故答案为：.13．解析：由于两两夹角均为60°，且模长均为2，有：，，，，因此：.故答案为：14．解析：点在上，且，为的中点故故答案为15．(1)6(2)解析：（1），所以（2），，因为，所以，解得：所以实数k的值为.16．(1)证明：法1：，，，又．四边形为矩形，．平面平面，且平面平面，平面,平面．平面，．平面,平面．法2：平面平面，且平面平面，且平面,,平面．平面，．由两两垂直，则以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．,，由．可得，，平面，平面．(2)．解析：（1）略（2）结合上问可知：，设平面的法向量为则，．即，令，则．即．因为，设所求角的大小为．则故直线与平面所成角的大小.17．(1)证明:因为，所以，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以．(2)(3)解析：（1）略；（2）因为，所以，则．由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．则，当点为棱的中点时，．设平面的一个法向量，则即令，